2022-2023学年江西省宜春市丰城市高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年江西省宜春市丰城市高二（上）期末数学试卷

1.  已知向量，，若，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  直线，当k变动时，所有直线都通过定点(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，，则原点到平面ABC的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为(    )

A.  B.
C.  D. 或

5.  已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 3

6.  为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若二项式的展开式中的各项系数之和为，则a的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

8.  如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为(    )
①平面ABCD；
②平面平面；
③直线MN与所成的角为；
④直线与平面所成的角为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.  已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是(    )

A. 椭圆的焦距为2
B. 椭圆的离心率
C. 椭圆的短轴长为4
D. 的面积的最大值是4

10.  如图，在正四棱柱中，，O为四边形对角线的交点，下列结论正确的是(    )

A. 点O到侧棱的距离相等
B. 正四棱柱外接球的体积为
C. 若，则平面
D. 点B到平面的距离为

11.  已知空间中三点，，，则下列结论正确的有(    )

A.  B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是

12.  已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有(    )

A. 点P到x轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.

13.  ，，则______.

14.  椭圆C：的离心率为，焦距为2，则椭圆的短轴长为______.

15.  从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有______种选法．

16.  直线l过点且与圆C：相切，则直线l的方程为______.

17.  某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？
若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？
若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

18.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．
求证：平面PAD；
求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值．

19.  已知对任意给定的实数x，都有求值：
；
 

20.  已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且经过点
求双曲线C的方程；
求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．

21.  已知抛物线C：与直线l：相交于点A，
求弦AB的中点；
求弦AB的长．

22.  直三棱柱中，，，点D为线段AC的中点，直线与的交点为M，若点P在线段上运动，CP的长度为
求点M到平面的距离；
是否存在点P，使得二面角的余弦值为，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，且，
则存在实数使得，
则，
即，
解得，，
故选：
根据，得，利用坐标表示列出方程组，求出x、y的值．
本题考查了空间向量的坐标运算问题，是基础题目．
 

2.【答案】A 

【解析】解：直线方程转化为：，
令，解得，，
所以直线过定点，
故选：
直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
本题考查了直线过定点的问题，考查了学生的理解转化能力，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，，，
，
设平面ABC的法向量为，
，，取，
又，
原点到平面ABC的距离
故选：
先求出平面ABC的法向量，再用点到平面的距离公式可得答案．
本题考查向量法求解点面距问题，属基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：根据题意，抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
设其方程为，
又由抛物线经过点，则有，解可得，
则抛物线的方程为；
故选：
根据题意，设要求抛物线的方程为，将点代入方程，计算可得m的值，即可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向，基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：双曲线的一条渐近线经过点，
，
，可得，
所以
故选：
根据双曲线的一条渐近线经过点，可得a，b的关系，然后转化求解离心率即可．
本题考查双曲线的几何性质，渐近线与离心率的关系，考查学生的计算能力．
 

6.【答案】A 

【解析】解：记1，2表示夫妻二人，a，b，c表示其他的3人，
则从5人中选出2人的基本事件有：
，，，，，，
，，，，共10个基本事件，
其中这对夫妻恰有一人被选中的有：
，，，，，，共6个，
故这对夫妻恰有一人被选中的概率为，
故选：
记1，2表示夫妻二人，a，b，c表示其他的3人，从5人中选出2人，利用列举法能求出这对夫妻恰有一人被选中的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：二项式的展开式中的各项系数之和为，
令，则二项式的展开式中的各项系数之和为，
所以，解得，
故选：
令，求出二项式的展开式中的各项系数之和，再结合条件求出a的值即可．
本题主要考查二项式定理和赋值法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：在正方体中，点M，N分别是，的中点，
以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，

则，，，，，，，
由正方体的性质可知：平面ABCD，
则平面ABCD的法向量为，，
，，
平面ABCD，平面ABCD，故①正确；
设平面的法向量为，，，
，取，得，
同理可求出平面的法向量，
，，平面平面，故②正确；
，，
，
异面直线所成的角范围为直线MN与所成的角为，故③正确；
设直线与平面所成的角为，
，平面的法向量为，
，
直线与平面所成的角不是，故④错误．
故选：
以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，利用向量法求解．
本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、异面直线所成角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：因椭圆方程为，
所以，
所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，
故A错误，B，C正确；
对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2，
此时的面积取最大为，故正确．
故选：
由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
 

10.【答案】ABC 

【解析】解：对A，根据题意可得O为正四棱柱的中心，
点O到侧棱的距离相等，选项正确；
对B，设正四棱柱外接球的半径为R，
则根据对称性及长方体的体对角线公式可知：
，，
正四棱柱外接球的体积为，正确；
对C，，
根据题意可得，
∽，
，从而易得，
又易知平面，且平面，
，又，且，
平面，又易知平面与平面重合，
平面，选项正确；
对D，由C分析知点B到平面的距离为0，错误，
故选：
对A，根据对称性易得正确；
对B，根据对称性及长方体的体对角线公式，可计算出正四棱柱外接球的半径，代入球的体积公式即可求解；
对C，根据题意易证∽，从而可得，从而易得，又易知，从而可得平面，又易知平面与平面重合，从而得C正确；
对D，由C的分析易得点B到平面的距离为0，从而判断D错误．
本题考查正四棱柱的性质，正四棱柱的外接球问题，线面垂直的证明，点面距的求解，属中档题．
 

11.【答案】AD 

【解析】解：对于，，所以，所以A正确；
对于B，因为，所以与AB共线的单位向量为或，所以B错误；
对于C，向量，所以，所以C错误；
对于D，设平面ABC的法向量是，因为，所以，即，令，则，所以D正确．
故选：
由向量垂直的性质，即可判断A，根据单位向量的定义判断B，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断C，利用法向量定义求得法向量判断
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】BC 

【解析】解：设点因为双曲线，所以
又，所以，故A错误．
将代入，得，得
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：
根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，同时还涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，

故答案为：
首先求出，然后由向量的模的公式求其模．
本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．
 

14.【答案】 

【解析】解：由椭圆C：的离心率为，焦距为2，
得，，则，

椭圆的短轴长为
故答案为：
由已知求得c与a的值，再由隐含条件求得b，则答案可求．
本题考查椭圆的几何性质，考查隐含条件的应用，是基础题．
 

15.【答案】30 

【解析】解：分两类：一类是1男2女共有种情况，
另一类是2男1女共有情况，
由加法原理，可得男生女生都要有人参加共有种情况，
故答案为：
分1男2女和2男1女两类，结合分步乘法计数原理和加法原理求解即可．
本题主要考查组合与计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由，得圆心为，半径，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则，，
解得，
所以直线l的方程为，即，
综上，直线l的方程为或，
故答案为：或
先求出圆的圆心和半径，然后分直线l的斜率不存在和存在两种情况求解即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的选法；
先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的选法；
先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种． 

【解析】利用分步原理即得；
利用先选后排可求；
先分类再分步即得．
本题考查了分类，分步计数原理的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，则，
又底面ABCD为正方形，则，
因为，AD，平面PAD，
故平面PAD；

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，
设平面AEF的法向量为，
则，即，
令，则，故，
又平面ABCD的一个法向量为，
则，
所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为 

【解析】由线面垂直的性质可得，由底面ABCD为正方形，结合线面垂直的判定定理即可证明；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AEF的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
令，则；
令，则①，
由得②，
由②-①得 

【解析】利用赋值法，令，即可得出答案；
利用赋值法，令，即可得出答案；
本题考查二项式定理，考查转化思想，考查赋值法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的方程为，
代入得，
故双曲线的方程为：
由方程得，，，故离心率
其渐近线方程为；实轴长为2，
焦点坐标，解得到渐近线的距离为： 

【解析】由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程．
利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
本题考查双曲线的方程及简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：设，，
联立，可得，
；
，
弦AB的中点坐标为，即为；
抛物线C：的焦点为点，
直线过焦点，
如图：设A，B到准线的距离分别为，，
，
线段AB的长为 

【解析】设，，联立抛物线和直线方程，消去y可得到，从而有，根据直线方程求解，根据中点坐标公式即可得；
根据抛物线方程可看出直线过焦点，从而根据抛物线定义可得到，结合中结论，即可求得线段AB的长．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
 

22.【答案】解：由题意可知：四边形为矩形，则M为中点，
以B为坐标原点，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，则可取，
点M到平面的距离
存在，理由如下：
设点，平面PBD的法向量，
，，则，则可取，
，解得：或，
当时，P与重合，此时二面角为锐二面角，不合题意；
当时，二面角为钝二面角，符合题意；
综上所述：存在点P，使得二面角的余弦值为，此时 

【解析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离；
设点，求平面PBD的法向量，利用空间向量处理二面角的问题．
本题考查利用空间向量研究点到平面的距离以及二面角问题，考查运算求解能力，属于中档题．