2022-2023学年江西省宜春市丰城市高二上学期1月期末考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省宜春市丰城市高二上学期1月期末考试数学试题

一、单选题

1．向量，，若，则（    ）

A． B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据题意，设，即，即可求得、的值

【详解】因为向量，，且，

则设，即，

则有，则，，解得，，

故选：C

2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线过定点问题分析运算.

【详解】直线可以为，

表示过点，斜率为的直线，所以所有直线都通过定点为.

故选：A.

3．已知，则原点到平面的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式可得答案.

【详解】

设其法向量为，取得

又

故选：A

4．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.

【详解】根据题意设出抛物线的方程，

因为点在抛物线上，

所以有，解得，

所以抛物线的方程是：，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.

5．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】求得双曲线的渐近线方程，再由离心率公式，计算可得所求值．

【详解】解：∵双曲线的一条渐近线经过点，∴，

∴，可得，所以．

故选：C．

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

6．为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用古典概型公式求解即可.

【详解】该事件的基本事件为,

符合条件的事件分为夫妻中男方被选中和女方被选中两种情况，其中男方被选中的事件数为,女方被选中的事件数为,

根据古典概型公式可知，这对夫妻恰有一人被选中的概率为,

故选：.

7．若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】赋值法解决即可.

【详解】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为，

所以，解得，

故选：D

8．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ）

①∥平面；    ②平面平面；

③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.

【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，

，

由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，

，因为，所以，而平面，

因此∥平面，故①对；

设平面的法向量为，，，

所以有，

同理可求出平面的法向量，

因为，所以，因此平面平面，故②正确；

因为，，

所以，

因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；

设直线与平面所成的角为，

因为，平面的法向量为，

所以，

所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，

一共有个结论正确，

故选：C

二、多选题

9．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4

【答案】BCD

【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断.

【详解】解：因椭圆方程为，

所以，

所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，

故A错误，B,C正确；

对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,

此时的面积取最大为,故正确.

故选：BCD.

10．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ）

A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为

C．若，则平面 D．点到平面的距离为

【答案】BD

【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.

【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,

到侧棱的距离相等且等于,故A错误；

对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,

即，所以外接球的体积等于，故B正确；

对于C，建立空间直角坐标系，如图，

则,

因为，所以,

所以，，,

所以，所以与平面不垂直，故C错误；

对于D,由以上知，设平面的法向量为，

则有，,

,即，令则，

所以，

因为,所以点到平面的距离为，故D正确.

故选:BD.

11．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A． B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】AD

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.

【详解】由题意可得，，，

选项A：，故，正确；

选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；

选项C：，错误；

选项D：设，则，，

所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；

故选：AD

12．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ）

A．点到轴的距离为

B．

C．为钝角三角形

D．

【答案】BC

【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．

【详解】设点．因为双曲线，所以．

又，所以，故A错误．

将代入得，得．

由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．

由双曲线的定义得，所以，故B正确．

在中，，且，

则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．

由余弦定理得，所以，故D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．若，则＝______．

【答案】

【分析】利用空间向量的运算的坐标表示求解即可

【详解】解：因为

所以，

所以

故答案为：．

14．椭圆C: 的离心率为，焦距为2，则椭圆的短轴长为_____

【答案】

【分析】由焦距可得c，离心率得到a，再根据可得答案.

【详解】因为椭圆的离心率为，焦距为2，

，所以，

由，得，

则椭圆的短轴长，

故答案为：.

【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.

15．从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有_______种选法．

【答案】30

【分析】分两类：1男2女和2男1女，每类用分步乘法计数原理，然后再根据分类加法计数原理可得总的选法数量.

【详解】分两类：一类是1男2女共有种情况，

另一类是2男1女共有情况，

由加法原理得共有种情况，

故答案为：30

16．直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．

【答案】或.

【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可.

【详解】由，得圆心为，半径，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则

，，

解得，

所以直线的方程为，即，

综上，直线l的方程为或，

故答案为：或.

四、解答题

17．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．

(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？

(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？

(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

【答案】(1)64；

(2)128；

(3)51.

【分析】（1）利用分步原理即得；

（2）利用先选后排可求；

（3）先分类再分步即得

【详解】（1）利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的的选法；

（2）先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的的选法；

（3）先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，

则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.

18．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题：

(1)求证：平面PAD；

(2)求平面AEF与底面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

（2）利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）由题知AB，AD，AP两两相互垂直．

以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，．

∴，，．

∴，，∴，．

又平面，平面，．

∴平面．

（2）易知平面的一个法向量为，

设平面AEF的法向量为，

∵，，

∴即

取，解得

则平面的一个法向量为．

.

因为平面与平面所成角为锐角，

所以平面与平面所成角的余弦值为.

19．已知对任意给定的实数，都有.求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果；

（2）利用赋值法求解，令可得结果；

【详解】（1）因为，

令，则；

（2）令，则，

由（1）知，

两式相减可得.

20．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为

【解析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；

（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离

【详解】（1）解：在双曲线中，，，

则渐近线方程为，

∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，

，

∴方程可化为，

又双曲线经过点，代入方程，

，解得，，

∴双曲线的方程为.

（2）解；由（1）知双曲线中，

，，，

∴实轴长，离心率为，

设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，

，

即焦点到渐近线的距离为.

【点睛】此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题

21．已知抛物线与直线相交于点AB.

(1)求弦AB的中点；

(2)求弦AB的长.

【答案】(1)弦AB的中点坐标为

(2)线段的长为8

【分析】（1）设,，,,联立抛物线和直线方程，消去可得到，从而有，根据直线方程求解，根据中点坐标公式即可得；

（2）根据抛物线方程可看出直线过焦点，从而根据抛物线定义可得到，结合（1）中结论这样便可求得线段的长．

【详解】（1）解：设,，,，

由方程组得：，则：；

则，所以弦AB的中点坐标为，即为，

所以弦AB的中点坐标为；

（2）：抛物线的焦点为点，则直线过焦点，如图：

设，到准线的距离分别为，；

由抛物线定义可知；

即线段的长为8．

22．直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．

(1)求点到平面的距离；

(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离；（2）设点，求平面PBD的法向量，利用空间向量处理二面角的问题.

【详解】（1）由题意可知：四边形为矩形，则M为中点，

以B为坐标原点，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

设平面的法向量，则，

令，则，，即，

∴点M到平面的距离．

（2）存在，

设点，平面PBD的法向量，

∵， ，则，

令，则，，即，

∴，解得：或，

当时，P与重合，此时二面角为锐二面角，不合题意；

当时，二面角为钝二面角，符合题意；

综上所述：存在点，使得二面角的余弦值为，此时．