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2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1A. {−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1}D. {0,1,2}
2.函数f(x)=lnx−4x+1的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.函数f(x)=lnx+x1−x的定义域是( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (0,1)∪(1,+∞)D. [0,1)∪(1,+∞)
4.已知函数f(x)=x3，不等式f(1−x)+f(1)>0的解集为( )
A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)
5.从1，2，3，4这4个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为( )
A. 16B. 23C. 13D. 12
6.已知函数f(x−2)=x2−4x，则f(e)=( )
A. 1e−2B. 1e2−4eC. e2−4D. e2+2
7.函数f(x)=1|x|−e|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数，g(x)=ln(x2+b)，若对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，则b的取值范围为( )
A. (0,e]B. (−∞,e)C. [e,+∞)D. [−e,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=2|x|B. f(x)=(13)xC. f(x)=x−1xD. f(x)=2x2+2
10.下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)=x与函数g(x)=x2x是同一函数
B. 函数f(x)=x−2在定义域上是偶函数
C. 若f(x)=1x，则f(x)在定义域内单调递减
D. 若f(x)=x2，x∈{1,2}，则函数f(x)的值域为{1,4}
11.某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则( )
A. m=0.08
B. 女观众收看节目时长的中位数为6.5小时
C. 女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D. 收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的13
12.已知函数f(x)=lg(x2+ax+1)，下列论述中正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)的定义域为R
B. f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是(−2,2)
C. f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)
D. 若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是[−4,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=lg2x(x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是______．
14.若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−2n在(0,+∞)上单调递减，则n=______．
15.设函数f(x)=g(x)+5，g(x)为奇函数，且f(−7)=−17，则f(7)= ______ ．
16.已知函数f(x)=|2x−4|，若关于x的方程[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0有3个不同的实数根，则m的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式x2+mx−12<0的解集为(−6,n)．
(1)求实数m，n的值；
(2)正实数a，b满足na+2mb=2，求1a+1b的最小值．
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)关于直线x=1对称，f(0)=3，且二次函数f(x)的图像经过点(1,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0,3]上的值域．
19.(本小题12分)
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求直方图中x的值；
(Ⅱ)求续驶里程在[200,300]的车辆数；
(Ⅲ)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200,250)的概率．
20.(本小题12分)
某太空设施计划使用30年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层.另因技术原因，该保护层的厚度不能超过10mm，且其成本以厚度计为6万元/mm.已知此太空设施每年的能源消耗费用Q(单位：万元)与保护层厚度x(单位：mm)满足关系Q(x)=p2x+4(p为常数)，若不涂装保护层，每年能源消耗费用为10万元.设f(x)为保护层涂装成本与30年的能源消耗费用之和．
(1)求p的值及f(x)的表达式；
(2)当涂装保护层多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+a⋅2x+3，a∈R
(1)当a=−4时，且x∈[0,2]，求函数f(x)的值域；
(2)若f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知1≤lg2x≤3，f(x)=[lg2(4m⋅x)](lg24x)，m为实数．
(1)当m=1时，求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的最大值g(m)的解析式；
(3)若g(m)≥t+m+2对任意m∈[−4,0]恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1则A∩B={0,1}．
故选：C．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，可知f(x)是定义域在(0,+∞)上连续不断的递增函数，
又f(2)=ln2−2+1=ln2−1<0,f(3)=ln3−43+1=ln3−13>0，
所以由零点存在定理可知，零点所在区间为(2,3)．
故选：C．
直接根据零点存在性定理判断零点所在区间即可．
本题考查了零点存在定理，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于函数f(x)=lnx+x1−x，由x>01−x≠0，求得01，
可得函数的定义域为：(0,1)∪(1,+∞)．
故选：C．
由题意，根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x的取值范围可得答案．
本题主要考查对数、分式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：f(x)=x3，
则f′(x)=3x2>0，f(x)在R上单调递增，
而f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，
所以f(1−x)+f(1)>0⇒f(1−x)>−f(1)=f(−1)，
所以1−x>−1，x<2，
所以不等式f(1−x)+f(1)>0的解集是(−∞,2)．
故选：A．
结合f(x)的单调性和奇偶性求得正确答案．
本题主要考查不等式的解法，考查导数的应用，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，
其中满足条件有(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)共8种情况，
故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率P=812=23．
故选：B．
根据已知从1，2，3，4这4个数中不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数的和是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f(x−2)=x2−4x，令x=e+2得：f(e)=(e+2)2−4(e+2)=e2−4．
故选：C．
将x=e+2代入求解即可．
本题主要考查了求函数值，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(−x)=1|−x|−e|−x|=1|x|−e|x|=f(x)，
∴f(x)为偶函数，排除A．
∵f(1)=1−e<0，排除B和C．
故选：D．
根据函数的奇偶性排除A，再根据函数在x=1处函数值的正负排除B和C，得出结果．
本题考查函数图象，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，
所以f(0)=1−a1+1=0，解得a=1，所以f(x)=2x−12x+1，
所以f(x)=2x+1−22x+1=1−22x+1<1，
要使对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，只需f(x)max≤g(x)min，
显然b>0，由复合函数的单调性可知，g(x)=ln(x2+b)在(−∞,0)上单调递减，
在(0,+∞)上单调递增，又g(x)min=ln(b)，
所以ln(b)≥1，即b≥e，
所以b的取值范围为[e,+∞)．
故选：C．
根据题意可知，要使对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，只需f(x)max≤g(x)min，再求出b的取值范围即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，复合函数的单调性和利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：f(x)=2|x|，函数定义域为R，
f(−x)=2|−x|=2|x|=f(x)，即f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=2x，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确；
对于B：f(x)=(13)x为非奇非偶函数，故B错误；
对于C：f(x)=x−1x，函数定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=−x+1x=−f(x)，此时f(x)是奇函数，故C错误；
对于D：f(x)=2x2+2，函数定义域为R，
f(−x)=2(−x)2+2=f(x)，即f(x)是偶函数，
令u=x2+2，显然u=x2+2在(0,+∞)上单调递增，
又f(u)=2u在(2,+∞)上单调递增，
则f(x)=2x2+2在(0,+∞)上单调递增，故D正确．
故选：AD．
根据函数的奇偶性和单调性，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x的定义域为{x|x≠0}，
定义域不相同，不是同一函数，所以A错误；
对于B，f(x)=x−2=1x2，定义域为{x|x≠0}，∀x∈{x|x≠0}，f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)，
所以函数定义域上是偶函数，故B正确；
对于C，f(x)=1x在(−∞,0)，(0,+∞)单调递减，故C错误；
对于D，因为x∈{1,2}，f(1)=1，f(2)=4，
所以值域为{1,4}，故D正确．
故选：BD．
根据函数相等的两要素可判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据幂函数的性质判断C，根据函数的定义判断D．
本题考查了偶函数的定义，函数的定义，反比例函数的单调性，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由(0.05+0.075+0.075+m+0.200)×2=1，解得m=0.1，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在[3,5)的频率为0.1×2=0.2，在[5,7)的频率为0.2×2=0.4，所以女观众收看时长的中位数落在[5,7)中，不妨设为x，
则0.2+0.2×(x−5)=0.5，解得x=6.5，则女观众收看时长的中位数为5+34×2=6.5，故B正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为0.1×4+0.15×6+0.4×8+0.2×10+12×0.15=8.3小时，女性观众收看节目的平均时长为0.2×4+0.4×6+0.3×8+0.1×10=6.6小时，故C正确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为200×60%×(0.2+0.15)=42人，女性观众收看达到9小时人数为200×40%×0.1=8人，故D错误．
故选：BC．
利用频率分布直方图频率、频数、中位数与平均数的求法，对选项逐一检验即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A：当a=0时，f(x)=lg(x2+1)，由x2+1>0解得x∈R，故A正确；
对于B：f(x)的定义域为R，则x2+ax+1>0恒成立，则Δ=a2−4<0，
解得−2对于C：f(x)的值域为R，则t=x2+ax+1能取完所有正数，此时Δ=a2−4≥0，
解得a∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，故C正确；
对于D：因为复合函数f(x)=lg(x2+ax+1)是由y=lgt，t=x2+ax+1，复合而成，而y=lgt在(0,+∞)上单调递增，又f(x)=lg(x2+ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增，
所以t=x2+ax+1在(2,+∞)上单调递增，则有−a2≤2，解得a≥−4，
又x2+ax+1>0在(2,+∞)上恒成立，则有22+2a+1≥0，解得a≥−52，
综上，a≥−52，故D错误；
故选：ABC．
由对数型复合函数的定义域可判断AB；由对数函数的值域判断C；由复合函数的单调性可判断D
本题综合考查了函数的定义域，值域及复合函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】19
【解析】解：f(14)=lg214=−2，
f[f(14)]=f(−2)=3−2=19
故答案为：19
先求f(14)，14>0，故代入x>0时的解析式；求出f(14)=−2，f[f(14)]=f(−2)，再求值即可．
本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f(f(a))形式的值，要由内而外．
14.【答案】1
【解析】解：因为幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−2n在(0,+∞)上单调递减，
所以n2−3n+3=1n2−2n<0，
解得n=1或n=2(舍)，
故答案为：1．
由已知结合幂函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．
15.【答案】27
【解析】解：因为f(−7)=g(−7)+5=−17，所以g(−7)=−22，
因为g(x)为奇函数，所以g(−7)=−g(7)=−22，则g(7)=22，
所以f(7)=g(7)+5=27．
故答案为：27．
根据奇函数的定义求解即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
16.【答案】[3,5)∪{1}
【解析】解：作出f(x)=|2x−4|的图象：
因为[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0，故[f(x)−(m+1)][f(x)−(m−1)]=0，
即f(x)=m+1或f(x)=m−1．
由题意，f(x)与y=m+1和y=m−1的图象共3个公共点，
由图象可得m−1=0或m+1≥4m−1<4，故m=1或3≤m<5．
所以m的取值范围为[3,5)∪{1}．
故答案为：[3,5)∪{1}．
作出f(x)=|2x−4|的图象数形结合，根据[f(x)−(m+1)][f(x)−(m−1)]=0分析即可．
本题考查嵌套函数零点问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得−6和n是方程x2+mx−12=0的两个根，
由根与系数的关系可得−m=−6+n−12=−6n，解得m=4，n=2．
(2)正实数a，b满足na+2mb=2，由(1)可得2a+8b=2，即a+4b=1，
所以1a+1b=(1a+1b)(a+4b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab，即a=2b=13时等号成立，
所以1a+1b的最小值为9．
【解析】(1)由一元二次不等式的解集可知−6和n是方程x2+mx−12=0的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；
(2)由已知结合(1)可得a+4b=1，将1a+1b变形为(1a+1b)(a+4b)，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题考查一元二次不等式以及基本不等式相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意可得−b2a=1f(0)=c=3f(1)=a+b+c=2，
解得a=1b=−2c=3，
故f(x)=x2−2x+3．
(2)由题可知函数f(x)=x2−2x+3的对称轴为x=1，
所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，
因为f(0)=3，f(3)=6，f(1)=2，
所以函数在[0,3]上的值域为[2,6]．
【解析】(1)待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
(2)利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的最值(或值域)．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由直方图可得：(0.002+0.005+0.008+x+0.002)×50=1，
∴x=0.003；
(Ⅱ)由题意可知，续驶里程在[200,300]的车辆数为：20×(0.003×50+0.002×50)=5；
(Ⅲ)由(Ⅱ)及题意可知，续驶里程在[200,250)的车辆数为3，
续驶里程在[250,300]的车辆数为2，
从这5辆中随机抽取2辆车，共有C52=10种抽法；
其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法有C31⋅C21=6种，
∴恰有一辆车的续驶里程为[200,250)的概率为610=35．
【解析】(I)利用小矩形的面积和为1，求得x值；
(II)求得续驶里程在[200,300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；
(III)利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．
20.【答案】解：(1)当x=0时，Q=10，
∴p=40，∴Q(x)=20x+2，
∴f(x)=6x+600x+2(0≤x≤10)；
(2)f(x)=6x+600x+2=6(x+2)+600x+2−12，
设t=x+2，t∈[2,12]，
y=6t+600t−12≥2 6t⋅600t−12=108，
当且仅当6t=600t，即t=10时，y有最小值108．
此时x=8，f(x)的最小值为108．
即涂装保护层厚度为8mm时，总费用f(x)达到最小，最小值是108万元．
【解析】(1)由题知，x=0时，Q=10，可求出p，得出f(x)=6x+30p2x+4，化简列出定义域即可；
(2)结合换元法和基本不等式即可求解．
本题考查函数模型的运用，基本(均值)不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=−4时，令t=2x，
由x∈[0,2]，得t∈[1,4]，y=t2−4t+3=(t−2)2−1
当t=2时，ymin=−1；当t=4时，ymax=3．
∴函数f(x)的值域为[−1,3]；
(2)设t=2x，则t>1，f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立
等价于t2+at+3>0在t∈(1,+∞)上恒成立，
∴a>−(t+3t)在(1,+∞)上恒成立，
∴a>[−(t+3t)]max，
设g(t)=−(t+3t)，t>1，函数g(t)在(1, 3)上单调递增，在( 3,+∞)上单调递减
∴g(t)max=g( 3)=−2 3，
∴a>−2 3
【解析】(1)把a=−4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f(x)的值域；
(2)令t=2x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为t2+at+3>0在t∈(1,+∞)上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．
本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
22.【答案】解：(1)∵1≤lg2x≤3，
∴当m=1时，f(x)=(2+lg2x)(2−lg2x)=4−lg22x≤3(当lg2x=1时取等号)，
即当m=1时，函数f(x)的最大值是3；
(2)∵f(x)=(2m+lg2x)(2−lg2x)，令lg2x=s，则s∈[1,3]，
上式可化为h(s)=(2m+s)(2−s)=−s2+(2−2m)s+4m=−[s−(1−m)]2+m2+2m+1；
讨论对称轴t=1−m，
若1−m<1，即m>0时，h(s)在[1,3]上单调递减，h(s)max=h(1)=2m+1；
若1≤1−m≤3，即−2≤m≤0时，h(s)在[−2,1−m]上单调递增，在[1−m,0]上单调递减，h(s)max=h(1−m)=m2+2m+1；
若1−m>3，即m<−2时，h(s)在[1,3]上单调递增，h(s)max=h(3)=−2m−3；
综上，g(m)=2m+1,m>0m2+2m+1,−2≤m≤0−2m−3,m<−2；
(3)根据题意：t≤g(m)−m−2对任意的m∈[−4,0]恒成立，
①当m∈[−4,−2)时，t≤−3m−5，由于−3m−5关于m单调递减，
∴t≤−3(−2)−5=1．
②当m∈[−2,0]时，t≤m2+m−1，
而(m2+m−1)min=(−12)2+(−12)−1=−54，
∴t≤−54．
综上，t≤−54，即t∈(−∞,−54].
【解析】(1)当m=1时，利用对数函数的性质可求得函数f(x)的最大值；
(2)令lg2x=s，s∈[1,3]，可得f(x)=(2m+s)(2−s)=−[s−(1−m)]2+m2+2m+1，讨论对称轴s=1−m，可得函数f(x)的最大值g(m)的解析式；
(3)根据题意：t≤g(m)−m−2对任意的m∈[−4,0]恒成立，①当m∈[−4,−2)时，t≤−3m−5，解之可得t≤1；②当m∈[−2,0]时，t≤m2+m−1恒成立，解之可得t≤−54，综合可得实数t的取值范围．
本题考查函数恒成立问题与函数的最值的求法，考查等价转化思想与计算能力和逻辑推理能力，属于难题．
1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1
2.函数f(x)=lnx−4x+1的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.函数f(x)=lnx+x1−x的定义域是( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (0,1)∪(1,+∞)D. [0,1)∪(1,+∞)
4.已知函数f(x)=x3，不等式f(1−x)+f(1)>0的解集为( )
A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)
5.从1，2，3，4这4个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为( )
A. 16B. 23C. 13D. 12
6.已知函数f(x−2)=x2−4x，则f(e)=( )
A. 1e−2B. 1e2−4eC. e2−4D. e2+2
7.函数f(x)=1|x|−e|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数，g(x)=ln(x2+b)，若对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，则b的取值范围为( )
A. (0,e]B. (−∞,e)C. [e,+∞)D. [−e,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=2|x|B. f(x)=(13)xC. f(x)=x−1xD. f(x)=2x2+2
10.下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)=x与函数g(x)=x2x是同一函数
B. 函数f(x)=x−2在定义域上是偶函数
C. 若f(x)=1x，则f(x)在定义域内单调递减
D. 若f(x)=x2，x∈{1,2}，则函数f(x)的值域为{1,4}
11.某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则( )
A. m=0.08
B. 女观众收看节目时长的中位数为6.5小时
C. 女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D. 收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的13
12.已知函数f(x)=lg(x2+ax+1)，下列论述中正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)的定义域为R
B. f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是(−2,2)
C. f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)
D. 若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是[−4,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=lg2x(x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是______．
14.若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−2n在(0,+∞)上单调递减，则n=______．
15.设函数f(x)=g(x)+5，g(x)为奇函数，且f(−7)=−17，则f(7)= ______ ．
16.已知函数f(x)=|2x−4|，若关于x的方程[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0有3个不同的实数根，则m的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式x2+mx−12<0的解集为(−6,n)．
(1)求实数m，n的值；
(2)正实数a，b满足na+2mb=2，求1a+1b的最小值．
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)关于直线x=1对称，f(0)=3，且二次函数f(x)的图像经过点(1,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0,3]上的值域．
19.(本小题12分)
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求直方图中x的值；
(Ⅱ)求续驶里程在[200,300]的车辆数；
(Ⅲ)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200,250)的概率．
20.(本小题12分)
某太空设施计划使用30年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层.另因技术原因，该保护层的厚度不能超过10mm，且其成本以厚度计为6万元/mm.已知此太空设施每年的能源消耗费用Q(单位：万元)与保护层厚度x(单位：mm)满足关系Q(x)=p2x+4(p为常数)，若不涂装保护层，每年能源消耗费用为10万元.设f(x)为保护层涂装成本与30年的能源消耗费用之和．
(1)求p的值及f(x)的表达式；
(2)当涂装保护层多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+a⋅2x+3，a∈R
(1)当a=−4时，且x∈[0,2]，求函数f(x)的值域；
(2)若f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知1≤lg2x≤3，f(x)=[lg2(4m⋅x)](lg24x)，m为实数．
(1)当m=1时，求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的最大值g(m)的解析式；
(3)若g(m)≥t+m+2对任意m∈[−4,0]恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1
故选：C．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，可知f(x)是定义域在(0,+∞)上连续不断的递增函数，
又f(2)=ln2−2+1=ln2−1<0,f(3)=ln3−43+1=ln3−13>0，
所以由零点存在定理可知，零点所在区间为(2,3)．
故选：C．
直接根据零点存在性定理判断零点所在区间即可．
本题考查了零点存在定理，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于函数f(x)=lnx+x1−x，由x>01−x≠0，求得0
可得函数的定义域为：(0,1)∪(1,+∞)．
故选：C．
由题意，根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x的取值范围可得答案．
本题主要考查对数、分式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：f(x)=x3，
则f′(x)=3x2>0，f(x)在R上单调递增，
而f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，
所以f(1−x)+f(1)>0⇒f(1−x)>−f(1)=f(−1)，
所以1−x>−1，x<2，
所以不等式f(1−x)+f(1)>0的解集是(−∞,2)．
故选：A．
结合f(x)的单调性和奇偶性求得正确答案．
本题主要考查不等式的解法，考查导数的应用，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，
其中满足条件有(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)共8种情况，
故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率P=812=23．
故选：B．
根据已知从1，2，3，4这4个数中不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数的和是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f(x−2)=x2−4x，令x=e+2得：f(e)=(e+2)2−4(e+2)=e2−4．
故选：C．
将x=e+2代入求解即可．
本题主要考查了求函数值，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(−x)=1|−x|−e|−x|=1|x|−e|x|=f(x)，
∴f(x)为偶函数，排除A．
∵f(1)=1−e<0，排除B和C．
故选：D．
根据函数的奇偶性排除A，再根据函数在x=1处函数值的正负排除B和C，得出结果．
本题考查函数图象，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，
所以f(0)=1−a1+1=0，解得a=1，所以f(x)=2x−12x+1，
所以f(x)=2x+1−22x+1=1−22x+1<1，
要使对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，只需f(x)max≤g(x)min，
显然b>0，由复合函数的单调性可知，g(x)=ln(x2+b)在(−∞,0)上单调递减，
在(0,+∞)上单调递增，又g(x)min=ln(b)，
所以ln(b)≥1，即b≥e，
所以b的取值范围为[e,+∞)．
故选：C．
根据题意可知，要使对任意x1，x2∈R，f(x1)≤g(x2)恒成立，只需f(x)max≤g(x)min，再求出b的取值范围即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，复合函数的单调性和利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：f(x)=2|x|，函数定义域为R，
f(−x)=2|−x|=2|x|=f(x)，即f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=2x，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确；
对于B：f(x)=(13)x为非奇非偶函数，故B错误；
对于C：f(x)=x−1x，函数定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=−x+1x=−f(x)，此时f(x)是奇函数，故C错误；
对于D：f(x)=2x2+2，函数定义域为R，
f(−x)=2(−x)2+2=f(x)，即f(x)是偶函数，
令u=x2+2，显然u=x2+2在(0,+∞)上单调递增，
又f(u)=2u在(2,+∞)上单调递增，
则f(x)=2x2+2在(0,+∞)上单调递增，故D正确．
故选：AD．
根据函数的奇偶性和单调性，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x的定义域为{x|x≠0}，
定义域不相同，不是同一函数，所以A错误；
对于B，f(x)=x−2=1x2，定义域为{x|x≠0}，∀x∈{x|x≠0}，f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)，
所以函数定义域上是偶函数，故B正确；
对于C，f(x)=1x在(−∞,0)，(0,+∞)单调递减，故C错误；
对于D，因为x∈{1,2}，f(1)=1，f(2)=4，
所以值域为{1,4}，故D正确．
故选：BD．
根据函数相等的两要素可判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据幂函数的性质判断C，根据函数的定义判断D．
本题考查了偶函数的定义，函数的定义，反比例函数的单调性，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由(0.05+0.075+0.075+m+0.200)×2=1，解得m=0.1，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在[3,5)的频率为0.1×2=0.2，在[5,7)的频率为0.2×2=0.4，所以女观众收看时长的中位数落在[5,7)中，不妨设为x，
则0.2+0.2×(x−5)=0.5，解得x=6.5，则女观众收看时长的中位数为5+34×2=6.5，故B正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为0.1×4+0.15×6+0.4×8+0.2×10+12×0.15=8.3小时，女性观众收看节目的平均时长为0.2×4+0.4×6+0.3×8+0.1×10=6.6小时，故C正确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为200×60%×(0.2+0.15)=42人，女性观众收看达到9小时人数为200×40%×0.1=8人，故D错误．
故选：BC．
利用频率分布直方图频率、频数、中位数与平均数的求法，对选项逐一检验即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A：当a=0时，f(x)=lg(x2+1)，由x2+1>0解得x∈R，故A正确；
对于B：f(x)的定义域为R，则x2+ax+1>0恒成立，则Δ=a2−4<0，
解得−2
解得a∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，故C正确；
对于D：因为复合函数f(x)=lg(x2+ax+1)是由y=lgt，t=x2+ax+1，复合而成，而y=lgt在(0,+∞)上单调递增，又f(x)=lg(x2+ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增，
所以t=x2+ax+1在(2,+∞)上单调递增，则有−a2≤2，解得a≥−4，
又x2+ax+1>0在(2,+∞)上恒成立，则有22+2a+1≥0，解得a≥−52，
综上，a≥−52，故D错误；
故选：ABC．
由对数型复合函数的定义域可判断AB；由对数函数的值域判断C；由复合函数的单调性可判断D
本题综合考查了函数的定义域，值域及复合函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】19
【解析】解：f(14)=lg214=−2，
f[f(14)]=f(−2)=3−2=19
故答案为：19
先求f(14)，14>0，故代入x>0时的解析式；求出f(14)=−2，f[f(14)]=f(−2)，再求值即可．
本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f(f(a))形式的值，要由内而外．
14.【答案】1
【解析】解：因为幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅xn2−2n在(0,+∞)上单调递减，
所以n2−3n+3=1n2−2n<0，
解得n=1或n=2(舍)，
故答案为：1．
由已知结合幂函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．
15.【答案】27
【解析】解：因为f(−7)=g(−7)+5=−17，所以g(−7)=−22，
因为g(x)为奇函数，所以g(−7)=−g(7)=−22，则g(7)=22，
所以f(7)=g(7)+5=27．
故答案为：27．
根据奇函数的定义求解即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
16.【答案】[3,5)∪{1}
【解析】解：作出f(x)=|2x−4|的图象：
因为[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0，故[f(x)−(m+1)][f(x)−(m−1)]=0，
即f(x)=m+1或f(x)=m−1．
由题意，f(x)与y=m+1和y=m−1的图象共3个公共点，
由图象可得m−1=0或m+1≥4m−1<4，故m=1或3≤m<5．
所以m的取值范围为[3,5)∪{1}．
故答案为：[3,5)∪{1}．
作出f(x)=|2x−4|的图象数形结合，根据[f(x)−(m+1)][f(x)−(m−1)]=0分析即可．
本题考查嵌套函数零点问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得−6和n是方程x2+mx−12=0的两个根，
由根与系数的关系可得−m=−6+n−12=−6n，解得m=4，n=2．
(2)正实数a，b满足na+2mb=2，由(1)可得2a+8b=2，即a+4b=1，
所以1a+1b=(1a+1b)(a+4b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab，即a=2b=13时等号成立，
所以1a+1b的最小值为9．
【解析】(1)由一元二次不等式的解集可知−6和n是方程x2+mx−12=0的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；
(2)由已知结合(1)可得a+4b=1，将1a+1b变形为(1a+1b)(a+4b)，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题考查一元二次不等式以及基本不等式相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意可得−b2a=1f(0)=c=3f(1)=a+b+c=2，
解得a=1b=−2c=3，
故f(x)=x2−2x+3．
(2)由题可知函数f(x)=x2−2x+3的对称轴为x=1，
所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，
因为f(0)=3，f(3)=6，f(1)=2，
所以函数在[0,3]上的值域为[2,6]．
【解析】(1)待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
(2)利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的最值(或值域)．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由直方图可得：(0.002+0.005+0.008+x+0.002)×50=1，
∴x=0.003；
(Ⅱ)由题意可知，续驶里程在[200,300]的车辆数为：20×(0.003×50+0.002×50)=5；
(Ⅲ)由(Ⅱ)及题意可知，续驶里程在[200,250)的车辆数为3，
续驶里程在[250,300]的车辆数为2，
从这5辆中随机抽取2辆车，共有C52=10种抽法；
其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法有C31⋅C21=6种，
∴恰有一辆车的续驶里程为[200,250)的概率为610=35．
【解析】(I)利用小矩形的面积和为1，求得x值；
(II)求得续驶里程在[200,300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；
(III)利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．
20.【答案】解：(1)当x=0时，Q=10，
∴p=40，∴Q(x)=20x+2，
∴f(x)=6x+600x+2(0≤x≤10)；
(2)f(x)=6x+600x+2=6(x+2)+600x+2−12，
设t=x+2，t∈[2,12]，
y=6t+600t−12≥2 6t⋅600t−12=108，
当且仅当6t=600t，即t=10时，y有最小值108．
此时x=8，f(x)的最小值为108．
即涂装保护层厚度为8mm时，总费用f(x)达到最小，最小值是108万元．
【解析】(1)由题知，x=0时，Q=10，可求出p，得出f(x)=6x+30p2x+4，化简列出定义域即可；
(2)结合换元法和基本不等式即可求解．
本题考查函数模型的运用，基本(均值)不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=−4时，令t=2x，
由x∈[0,2]，得t∈[1,4]，y=t2−4t+3=(t−2)2−1
当t=2时，ymin=−1；当t=4时，ymax=3．
∴函数f(x)的值域为[−1,3]；
(2)设t=2x，则t>1，f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立
等价于t2+at+3>0在t∈(1,+∞)上恒成立，
∴a>−(t+3t)在(1,+∞)上恒成立，
∴a>[−(t+3t)]max，
设g(t)=−(t+3t)，t>1，函数g(t)在(1, 3)上单调递增，在( 3,+∞)上单调递减
∴g(t)max=g( 3)=−2 3，
∴a>−2 3
【解析】(1)把a=−4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f(x)的值域；
(2)令t=2x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为t2+at+3>0在t∈(1,+∞)上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．
本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
22.【答案】解：(1)∵1≤lg2x≤3，
∴当m=1时，f(x)=(2+lg2x)(2−lg2x)=4−lg22x≤3(当lg2x=1时取等号)，
即当m=1时，函数f(x)的最大值是3；
(2)∵f(x)=(2m+lg2x)(2−lg2x)，令lg2x=s，则s∈[1,3]，
上式可化为h(s)=(2m+s)(2−s)=−s2+(2−2m)s+4m=−[s−(1−m)]2+m2+2m+1；
讨论对称轴t=1−m，
若1−m<1，即m>0时，h(s)在[1,3]上单调递减，h(s)max=h(1)=2m+1；
若1≤1−m≤3，即−2≤m≤0时，h(s)在[−2,1−m]上单调递增，在[1−m,0]上单调递减，h(s)max=h(1−m)=m2+2m+1；
若1−m>3，即m<−2时，h(s)在[1,3]上单调递增，h(s)max=h(3)=−2m−3；
综上，g(m)=2m+1,m>0m2+2m+1,−2≤m≤0−2m−3,m<−2；
(3)根据题意：t≤g(m)−m−2对任意的m∈[−4,0]恒成立，
①当m∈[−4,−2)时，t≤−3m−5，由于−3m−5关于m单调递减，
∴t≤−3(−2)−5=1．
②当m∈[−2,0]时，t≤m2+m−1，
而(m2+m−1)min=(−12)2+(−12)−1=−54，
∴t≤−54．
综上，t≤−54，即t∈(−∞,−54].
【解析】(1)当m=1时，利用对数函数的性质可求得函数f(x)的最大值；
(2)令lg2x=s，s∈[1,3]，可得f(x)=(2m+s)(2−s)=−[s−(1−m)]2+m2+2m+1，讨论对称轴s=1−m，可得函数f(x)的最大值g(m)的解析式；
(3)根据题意：t≤g(m)−m−2对任意的m∈[−4,0]恒成立，①当m∈[−4,−2)时，t≤−3m−5，解之可得t≤1；②当m∈[−2,0]时，t≤m2+m−1恒成立，解之可得t≤−54，综合可得实数t的取值范围．
本题考查函数恒成立问题与函数的最值的求法，考查等价转化思想与计算能力和逻辑推理能力，属于难题．
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