2022-2023学年山西省名校联考高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年山西省名校联考高二（上）期末数学试卷

1.  已知集合A中元素x满足，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设x，y是实数，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  设复数z满足：，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若两平行直线与之间的距离是，则(    )

A. 0
B. 1
C.
D.

6.  设F为抛物线C：的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  过坐标原点O作直线l：的垂线，若垂足在圆上，则r的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设，，且，则(    )

A. 有最小值为
B. 有最小值为
C. 有最大值为
D. 有最大值为

9.  若曲线C：，下列结论正确的是(    )

A. 若曲线C是椭圆，则
B. 若曲线C是双曲线，则
C. 若曲线C是椭圆，则焦距为
D. 若曲线C是双曲线，则焦距为

10.  下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知抛物线C：的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则(    )

A. 若，则
B. 以PQ为直径的圆与准线l相切
C. 设，则
D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
 

12.  已知点P为双曲线C：右支上一点，，为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为A，B，过点P作交于点M，过点P作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

13.  已知两个向量，若，则m的值为______.

14.  已知数列的前n项和，则______.

15.  已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为______.

16.  已知在菱形ABCD中，，，平面ABCD外一点P满足，，则四棱锥体积的最大值为______.

17.  已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且求直线的方程．

18.  已知等差数列中，，且前9项和
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和．

19.  在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
求角B的大小；
若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积．

20.  已知圆C：和直线l：
证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；
当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；
已知点在圆C上，求的最大值．

21.  如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分线，且
棱PC上是否存在点E，使平面PAD？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；
若四棱锥的体积为10，求平面PBD与平面PCD的夹角的余弦值．

22.  已知椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于P，Q两点，且的周长为
求椭圆E的方程；
已知过点与椭圆E相切的直线分别为，，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，与，分别交于点M，N，若，求t的值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，
，解得，
又，
，解得，

故选：
由已知条件列出不等式求解即可．
本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：当，时，满足，但不满足，故充分性不成立，
当时，一定有，故必要性成立，
所以，“”是“”的必要不充分条件．
故选：
根据必要不充分条件的概念判断即可．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：设复数，，，
则，，，
则，
故，
，

故选：
根据复数的运算法则和模的概念可证得，由此即可求得结果．
本题主要考查复数的模公式，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：如图所示：
平面ABCD，是与底面所成角，

底面ABCD，是与底面所成的角，

连接，，则或其补角为异面直线与所成的角．
不妨设，则，，
，
在等腰中，
故选：
利用长方体的性质、线面角的定义、异面直线所成的角的定义即可得出．
熟练掌握长方体的性质、线面角与异面直线所成的角的定义是解题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：两直线与平行，
，解得
又两平行直线与之间的距离是，
，解得

故选：
两直线与平行，可得，解得n，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由已知得焦点坐标为，
由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，
因此设直线AB的方程为，，
与抛物线的方程联立，化简得，
设，，则，
因为，故，
则，解得，
因此
故选：
设出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理及由得到的，求出直线AB的斜率，即可求解三角形的面积．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：过坐标原点O作直线l：的垂线，设垂足为H，且，
直线l的方向向量，
则，解得，
垂足在圆上，
，当且仅当时，取得最大值为8，
即的取值范围为可得r的取值范围是
故选：
设垂足为H，且，由已知得直线l的方向向量，列式求得s，t关于a的函数，结合垂足在圆上，即可求得r的取值范围．
本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当，故，
即取等号．
故选：
对变形得到，利用基本不等式求出最小值．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：对于A：若曲线C：表示椭圆，则，解得，故A错误；
对于B：若曲线C：表示双曲线，则，解得，故B正确；
对于C：若曲线C：表示椭圆，由，故，，，
，则焦距，故C正确；
对于D：若曲线C是双曲线，由B知，，，
则焦距为故D正确．
故选：
利用圆锥曲线的几何性质，结合曲线方程逐项判断求解即可．
本题考查圆锥曲线的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：对于A，在上单调递减，
因为，
所以，故A正确；
对于B，，在上单调递减，
因为，所以，
即，故B错误；
对于C，函数在R上单调递增，，
因为，所以，即，故C正确；
对于D，，
故，故D错误，
故选：
由在上单调递减，即可判断A；由在上单调递减，即可判断B；由函数在R上单调递增，即可判断C；由，即可判断
本题考查利用函数的单调性比较大小，通过中间值传递比较大小，属基础题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，因为，
所以，
又因为，
所以，故A正确；
对于B，设N为PQ中点，点N在l上的射影为，点Q在l上的射影为，
则由梯形性质可得，故B正确，

对于C，因为，
所以，当P，M，F三点共线时取等号，故C正确；
对于D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，
当直线的斜率存在且不为0时，设过M的直线为，
联立，可得，
令，则，所以直线与抛物线也只有一个公共点，
所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误，
故选：
利用抛物线焦点弦长公式可判断A选项；
设N为PQ中点，点N在l上的射影为，可得即可判断B选项；
利用抛物线的定义结合三点共线可判断C选项；
求出过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D选项．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：由，，则O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，则，
故选项B正确；
由双曲线C：，
可设：，：，
则，
由，，
则，
所以，，
故，
，
所以，
故选项C错误；
设，满足，
则，
由点到直线的距离的公式可得，
同理可得，
所以
所以选项A正确；
故，
中，由余弦定理可得：
，
所以，当且仅当时等号成立，所以D正确．
故选：
利用，，确定O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，即可判断选项B，求出，，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求出面积的关系，设，由点到直线的距离公式求出PA，PB，验证的值，即可判断选项A，进而求出的值，在中，由余弦定理表示出MN，进而求得范围．
本题考查了双曲线的综合应用，双曲线的标准方程的应用，点到直线距离公式的应用，双曲线几何性质的运用，余弦定理的运用，综合性强，对学生有较高的要求，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，解得
故答案为：
根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
当时，，
又当时，，
数列的通项公式为，
故答案为：
分和两种情况，根据与的关系，利用作差法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设椭圆的标准方程为，
由题意，椭圆被直线所截得弦AB的中点的坐标为，
设，，则，，
由，得，即，
则，
，即，
又，所以，，
故椭圆的标准方程为
故答案为：
由点差法可得，则，又，联立解得，，即可得出椭圆方程．
本题主要考查椭圆的标准方程，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于四边形ABCD为菱形，，，则，
设，连接OP，

由于，则，
由余弦定理得，
则，整理得：；
同理由，可得，
于是，解得，
当平面ABCD，四棱锥体积取到最大值，
四棱锥体积的最大值
故答案为：
设，由，则，结合余弦定理得，同理，结合已知条件可得当平面ABCD，四棱锥体积取到最大值，利用体积公式求解即可得出答案．
本题主要考查四棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为3，
则的斜率为，
由，解得，
切点为，
所以切线的方程为，
即为 

【解析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得的斜率，求得切点的坐标，由点斜式方程可得所求直线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：设公差为d，由已知得，
解得
所以数列的通项公式为
，
所以 

【解析】根据等差数列中，，列出关于首项、公差d的方程组，解方程组可得与d的值，从而可得数列的通项公式；
由可得，利用裂项相消法求解即可．
本题主要考查数列的求和，等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
又，，，
，即，
又，
；
由BD平分，，，
则，即，
在中，由余弦定理可得，
又，则，
联立，可得，解得或舍去，
故 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，结合三角函数的恒等变换公式，角B的取值范围，即可求解；
根据已知条件，结合三角形的面积公式，以及余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为l：，
所以，
令，解得，
所以直线l过定点，
而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交；
解：如图所示，过圆心C作于E，
设l所过定点为，

由图可知圆心到直线的距离，且，
又直线l被圆C截得的弦长为，故当d取最大值时，弦长最小，
所以当，即直线时，直线被圆C截得的弦长最小，
又圆心，
所以，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
因为，表示圆C上的点到的距离的平方，
因为圆心到原点的距离，
所以 

【解析】把直线l的方程变形后，根据直线l恒过定点，得到关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d，发现d小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线l与圆恒交于两点；
根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线l与CM垂直时，求得直线方程；
表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：点E为PC中点时，平面
延长CB，DA交于点F，连接PF，
在中，BD是的平分线，且，
是等腰三角形，点B是CF的中点，
又是PC的中点，，
又平面PAD，过平面PAD，
平面
在中，，满足，
则，即，
由，得，则，，
四边形ABCD的面积为，
又平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD，又平面PAD，则，
作，垂足为O，
平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，
则平面ABCD，
则四棱锥体积为，解得，，
又，所以为正三角形，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设分别为平面PBD和平面PCD的法向量，
则，取，则，，所以平面PBD的法向量，
，取，则，，所以平面PCD的法向量，
所以，
则平面PBD与平面PCD的夹角的余弦值为 

【解析】点E为PC中点时，平面延长CB，DA交于点F，连接PF，证明即可；
由题意得，得，则平面PAD，作，则平面ABCD，由四棱锥体积求得，则为正三角形，根据以上信息建立空间直角坐标系，求出平面PBD和平面PCD的法向量，用向量夹角公式解决问题．
本题主要考查直线与平面平行的判断，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意知，的周长为，
所以，
又，
所以，
所以，
所以椭圆E的方程为；
设过点的直线方程为，
联立方程，得，
由，得，
所以直线，的方程分别为，，
由，得AB与MN的中点重合，从而，
由，可得，
由得，从而，
又由，可得，
又由，可得，
从而，
所以，解得 

【解析】由题意知，的周长为，又，求得a，c，再由a，b，c的关系得到b，进而得到椭圆的方程；
设过点的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由求得直线，的方程，由得，结合韦达定理即可得到答案．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于中档题．