2022-2023学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖北省十堰市高二（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知数列，，，，，，则该数列的第项为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知直线：与直线：，若，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.  如图，在四面体中，是的中点，，设，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在，轴上的截距分别为，的直线被圆：截得的弦长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  过直线：上一点向圆：作切线，切点为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格记跳到第格可能有种情况，的前项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知双曲线，则(    )

A. 的一个顶点坐标为 B. 的实轴长为
C. 的焦距为 D. 的离心率为

10.  连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记为“第一次骰子出现的点数为“；为“第二次骰子出现的点数为“；为“两次点数之和为“；为“两次点数之和为”“，则(    )

A. 与相互独立 B. 与相互独立
C. 与为互斥事件 D. 与为互斥事件

11.  如图，平行六面体的体积为，，，，且，，，分别为，，的中点，则(    )

A. 与夹角的余弦值为 B. 平面
C.  D. 到平面的距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.  甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局，乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是        ．

13.  已知两圆与外离，则整数的一个取值可以是        ．

14.  “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，构成的数列的第项，则        ．

15.  如图所示，在几何体中，，，平面，则点到直线的距离为        、直线与平面所成角的正弦值为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．

17.  本小题分
某两个班的名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，．
求语文成绩在内的学生人数；
如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于分的概率；
若语文成绩在内的学生中有名女生，名男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取人背诵课文，求抽到的是名男生和名女生的概率．

18.  本小题分
已知圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面平面．
求二面角的大小．

20.  本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，在上，垂直于轴，为坐标原点，且，．
求椭圆的标准方程．
过的直线与椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，试判断轴上是否存在一点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题知，该数列的通项公式为，
所以．
故选：．
由题知，进而根据通项公式求解即可．
本题主要考查数列的通项，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则，
所以或．
当时，，重合，不符合题意，所以舍去；
当时，符合题意．
故选：．
解方程，再检验即得解
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为是的中点，，
所以，
故选：．
根据向量的线性运算可解．
本题考查向量的线性运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知直线的方程为，即．
因为圆：的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为．
故选：．
先求出直线方程，再根据几何法得出弦长．
本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，解得．
故选：．
由对立事件和相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
本题主要考查对立事件和相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为圆的半径为，所以，
当时，最小，因为圆的圆心为，
所以，所以的最小值为．
故选：．
求出圆的半径和圆心，由勾股定理可得，当时最小，再由点到直线的距离公式可得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由椭圆的定义得：，
因为，所以．
所以，在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以，．
故选：．
根据椭圆的定义得，，进而结合余弦定理得，再求离心率即可．
本题主要考查椭圆的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，，，，，，
则．
故选：．
由题意分别求出数列的前项，计算可得所求和．
本题考查数列在实际问题中的运用和求和，考查运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：双曲线，
，且焦点在轴上，
双曲线的顶点坐标为，实轴长为，
离心率为，焦距为，，D正确，，C错误．
故选：．
根据双曲线方程可得，，，从而可分别求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，为“第一次骰子出现的点数为“与为“第二次骰子出现的点数为“相互独立，故A正确，
当第一次骰子出现的点数为，且第二次点数为，则事件发生，故A与不独立，故B错误，
又为“第二次骰子出现的点数为“；为“两次点数之和为“；能同时发生，故B与不互斥，故C错误，
又为“两次点数之和为“；为“两次点数之和为”，故C与不能同时发生，则与为互斥事件，则D正确，
故选：．
根据相互独立事件以及互斥事件定义可解．
本题考查互独立事件以及互斥事件定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，且，
四边形的面积为，
平行六面体的体积为，
平行六面体的高为，
，
在底面的投影在上，
设在底面的投影为，则，
，，
，为的中点，
以的方向分别为，，轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：
，，，，
，，，，
，，，
，，，
，，
，
与夹角的余弦值为，A正确；
设平面的法向量为，
则，取，
，
与平面不平行，B错误；
，
与不垂直，C错误；
设平面的法向量为，
则，取，
到平面的距离为：
，D正确．
故选：．
先求出底面积，再根据棱柱的体积求出高，依题意可得在底面的投影在上，设出投影，证明投影为的中点，即可以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可．
本题考查向量法求解线线角问题，向量法判断线面平行问题，向量法判断线线垂直问题，向量法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制无平局，由题意知甲每局比赛获胜的概率都为，
因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，
所以最后甲获胜的概率．
故答案为：．
判断甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，根据互斥事件的概率加法公式即可求得答案．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为圆的圆心为，圆的圆心为，
所以两圆圆心的距离为．
因为圆的半径为，圆的半径为，所以，
所以，故整数的取值可能是，，．
故答案为：答案不唯一，只需从，，中写一个答案即可．
求出两个圆的圆心和半径，得到圆心距，利用位置关系列不等式即可．
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为数列的递推公式为，，
所以，
所以，
故．
故答案为：．
由，结合累加法得出，再由求和公式得出．
本题主要考查归纳推理，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：以的方向分别为，，轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：
，，，，
，
，
，
点到直线的距离为；
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
，，
故答案为：；．
建立坐标系，利用向量法，求解即可．
本题考查向量法求解点面距问题，向量法求解线面角问题，属中档题．
 

16.【答案】解：当时，．
当时，，
所以，
因为也满足，
所以通项公式为．
由得，
所以，
所以． 

【解析】根据和与项的递推关系求解即可；
由题知，进而根据裂项求和法求解即可．
本题主要考查了和与项的递推关系及数列的裂项求和，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，，则
语文成绩在内的学生人数为人，
语文成绩不低于分的概率为，
根据题意语文成绩在内的学生有人，则有名女生，名男生，
则从语文成绩在内的学生中随机抽取人背诵课文共有种抽法，
则抽到的是名男生和名女生共有种抽法，
则抽到的是名男生和名女生的概率为． 

【解析】根据题意结合频率之和为可得，再计算出语文成绩在内的频率，从而可解．
利用频率分布直方图可直接求解，
根据题意可得语文成绩在内的学生的人数，再利用古典概型可解．
本题考查频率分布直方图相关知识以及古典概型相关知识，属于中档题．
 

18.【答案】解：圆心在直线上，
设圆心，
已知圆经过点，，则由，
得
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为；
设，
在圆上，，
又，，
由可得：，
化简得，
联立
解得或． 

【解析】设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程．
根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取的中点，连接，，，如图所示：

是边长为的菱形，且，
为等边三角形，
，
又，，
又，
平面，
又平面，，
，分别是，的中点，，
，
，且，四边形为平行四边形，
，
，又，
平面，
又平面，平面平面．
解：由可知平面，
，，
四棱锥的高的高为，
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，以过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，取，解得，，
设平面的法向量为，则，取，解得，，
，，
又二面角为钝二面角，
二面角的大小为． 

【解析】取的中点，连接，，，易证平面，所以，又因为，所以，再结合，可证得平面，进而证得平面平面．
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，以过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面和平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可．
本题主要考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知点的坐标为，
，，，，
又，，
，，
椭圆的标准方程为；
假设轴上存在点，使得，则，
设直线的方程为，，，
联立，得，
，
，
，
，解得，
故存在，使得． 

【解析】由，结合，，即可求解；
联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合，求解即可．
本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
则，又，，解得，，
故双曲线的标准方程为；
证明：设，，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立，消去，化简得，
，即，
且，，
以为直径的圆经过点，，
，
，
，
化简得，
或，且均满足．
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，
不妨设直线：，
联立，解得，，此时直线过定点，
，点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为该圆的半径，
故存在定点，使得为定值． 

【解析】由已知求得，结合双曲线的渐近线方程及隐含条件列式求解与，则双曲线方程可求；
对直线的斜率能否为进行讨论，斜率不为时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，化简得到，的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可．
本题考查了直线与双曲线的综合问题，重点考查了双曲线中的定点、定值问题，属于中档题．