2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则与之间的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得到，据此得到集合的关系.

【详解】，，

故错误；错误，错误；正确.

故选：D

2．“角为钝角”是“角”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用充分、必要条件的概念即得.

【详解】由角为钝角可推出角，

由角可推出角为钝角，

所以“角为钝角”是“角”的充要条件.

故选：C

3．以下四组数中大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解.

【详解】对A，，故，错误；

对B，在第一象限为增函数，故，错误；

对C，为增函数，故，正确；

对D，，，故，错误；

故选：C

4．已知，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义即得.

【详解】由三角函数的定义可知，

即.

故选：B.

5．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（    ）A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.

【详解】解：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，

而函数，在的增大幅度越来越大，函数呈线性增大，只有函数与已知数据的增大趋势接近，

故选：A.

6．已知函数的部分函数值如下表所示

那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ）A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

【详解】函数在R上单调递增，

由数表知：，

由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，

所以函数的一个零点的近似值为.

故选：B

7．函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（    ）

A． B．10 C． D．8

【答案】B

【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.

【详解】当时，，即函数的图象恒过定点，

因为在直线上，所以，

当且仅当时，取等号，即的最小值为10.

故选：B

8．设函数与有相同的对称轴,且在内恰有3个零点,则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据与有相同对称轴,求出的值,对的相位进行换元,根据,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点,写出不等式求出范围即可.

【详解】解:由题知,因为与有相同对称轴,

所以,

即,,

令,

即在上有3个零点,

因为,所以

画出图象如下所示:

当时,

在上有3个零点,

只需,

解得,

故;

当时,

在上有3个零点,

只需,

解得,

综上: 或.

故选:D

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数

B．函数的定义域为

C．若函数的值域为，则实数的取值范围为

D．函数的定义域为则的定义域为

【答案】BD

【分析】利用特例可判断A，求函数的定义域可判断B，根据对数函数及二次函数的性质可判断C，根据抽象函数的定义域可判断D.

【详解】对于A，如与定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A不正确；

对于B，函数定义域为，故B正确；

对于C，要使函数的值域为R，令，则，故C错误；

对于D，因为函数定义域为，则要使有意义，必须，

所以定义域为，故D正确.

故选：BD.

10．函数，则下列结论正确的为（    ）

A．函数的图象关于对称

B．函数的图象关于直线对称

C．若，则函数的值域为

D．函数的单调减区间为

【答案】BD

【分析】代入验证正弦型函数的对称性判断AB，求正弦型函数在给定区间的值域判断C，求解正弦型函数的递减区间判断D.

【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称，故A错误；

选项B：，则函数的图象关于直线对称，故B正确；

选项C：由，可得，则，

即若，则函数的值域为，故C错误；

选项D：由，可得，，

即函数的单调递减区间为，故D正确.

故选：BD.

11．下列函数中，最小值不为4的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式逐项分析判断即得.

【详解】对于A，当时，，所以A最小值不为4；

对于B，，，，

当且仅当，即时，取得最小值，但无解，故B最小值不为4；

对于C，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为4，所以C最小值为4；

对于D，当，，所以D最小值不为4.

故选：ABD.

12．已知是定义域为的奇函数，且满足：，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．为周期函数

B．

C．不等式的解集为

D．关于的方程恰有三个不同的解，则

【答案】AC

【分析】利用周期性的定义可判断A选项，计算出的值，可判断B选项，求出不等式在上的解，结合周期可判断C选项，数形结合可判断D选项.

【详解】对于A，由已知可得，故函数为周期函数，A对；

对于B，由A知， B错；

对于C，由奇函数的性质可得，则，，

当时，，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则.

故当时，不等式的解为，

又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对；

对于D，作出函数与函数的部分图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象也有三个交点，D错.

故选：AC

三、填空题

13．已知全集为,则__________.

【答案】或

【分析】先化简集合,再根据补集的定义写出结果即可.

【详解】解:由题知,

解得:,

故或.

故答案为:或

14．的值为__________．

【答案】1

【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出．

【详解】原式＝．

故答案为：1．

15．已知定义在上的函数为偶函数，记：，，则的大小关系按从大到小排列为__________.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性结合条件即得.

【详解】因为函数为偶函数，

所以，即，

所以，即，函数在上单调递增，

又，，，

所以.

故答案为：.

16．已知，关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】令，结合的图象将问题转化为“方程在上有两不等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出的取值范围.

【详解】作的图象如下图所示，

令，因为关于x的方程有8个不等的实数根，

结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且，

因为，，所以，

又因为，，即，所以的取值范围是，

所以的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题

17．已知角的终边经过点，

(1)求值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点坐标求出正余弦三角函数值结合诱导公式和同角的三角函数关系即可求出结果；

（2）直接代入正余弦值即可．

【详解】（1）由题意，，则

原式；

（2）原式．

18．已知，当时的值域为集合，关于的不等式：的解集为，集合，集合

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据对数函数及指数函数性质可得集合，由题可得，由此列出不等式求解，即得；

（2）先解分式不等式，根据，分别讨论，两种情况，即得.

【详解】（1）由对数函数的单调性可得，在上单调递增，

所以其值域，

又由，可得，

所以，即，

所以，

又，所以，

所以，所以，

即实数的取值范围为；

（2）由，可得，

所以，即，

对于集合有：

当时，即时，，满足；

当时，即时，，

所以，

所以；

综上，实数的取值范围为．

19．解决下列问题：

(1)若不等式对于恒成立，求实数的范围；

(2)函数，若存在使得成立，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】对于（1），，

分两种情况讨论可得答案；

对于（2），存在使得等价于，其中.

【详解】（1）.

①当时，有，则符合题意；

②当时，有.

综上，实数的范围是.

（2）存在使得等价于，其中.

又.

①当，在上单调递增，

则，得此时；

②当时，在在单调递减，在

上单调递增，则

或，结合，可知此时不存在；

③当时，在上单调递减，

则，结合，得此时不存在.

综上：实数的范围是

20．已知，且．

(1)若，求的值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)或2

(2)

【分析】（1）由对数的运算得，解方程可得答案；

（2）由得，解不等式得，根据可得答案.

【详解】（1）由题意，，即，解得或2．

（2）因为，所以，

所以，

因此，即，

解得或，

因为，所以，

故，

当时取等号，

所以的最小值为．

21．已知函数在一个周期内的图象如图所示：

(1)求函数的解析式，并写出它是由的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应的函数；

(2)若存在使得关于的不等式成立，求实数的最小值.

【答案】(1),向左平移个单位长度；

(2).

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再由函数图象的平移求解即可；

（2）假设存在，使得不等式成立，分离参数可转化为存在使成立，求出的最小值即可得解.

【详解】（1）由所给函数图象可知，，，即,

所以，又图象过点，所以，

解得，

因为，所以当时，，

故.

由的图象向左平移个单位长度可得函数，即的图象.

（2）存在，使得关于x的不等式成立，

即存在，使得关于x的不等式成立，

即存在，使得成立.

当时，，令时，为减函数，

所以当时， 取得最小值为，即的最小值为，

故实数，所以的最小值为.

22．已知函数

(1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性；

(2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)在区间上是减函数，详见解析；

(2)．

【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可；

（2）根据函数的单调性结合条件可将问题变转化为在上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答即可.

【详解】（1）由题可得，

在区间上是减函数，

任取，且，则，

则，

由题设知，

故，

所以，

所以在区间上是减函数；

（2）由（1）知在区间上是减函数，

所以当时，在区间上单调递减，

所以函数在区间上的值域为，

所以，

所以在上有两解，

所以在上有两解，

令，则，

则关于的方程在上有两解，

即在上有2解，

所以，解得，

所以的取值范围为．