2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期数学期末复习卷

期末复习卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    函数的定义域是 (    )

A.  B.
C.  D.

2.    如果点位于第四象限，那么角所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.    若函数的定义域为，值域为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知函数，则其大致图象为(    )

A.  B.
C.  D.

6.    一次速算表演中，主持人出题：一个位整数的次方根仍是一个整数，下面我报出这个位数，请说出它的次方根，这个位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个整数的次方根．原理很简单，因为只有一个整数，它的次方是一个位整数．可是，在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算专家的秘诀是记住了下面的表．

根据上表，这个位整数的次方根是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知函数，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为   (    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    以下四个命题，其中是真命题的有(    )

A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若，则
C. 函数且的图象过定点
D. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角为，则

10. 已知函数，，则下列选项中正确的有．(    )

A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 的值域为 D. 有最小值

11. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有(    )

A. 的最小正周期为        B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

12. 下列说法中正确的是(    )

A. 若是第二象限角，则点在第三象限
B. 圆心角为，半径为的扇形面积为
C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D. 若，且，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，则          ．
14. 设幂函数同时具有以下两个性质：

函数在第二象限内有图象；

对于任意两个不同的正数，，都有恒成立．

请写出符合上述条件的一个幂函数          ．

15. 摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面即长，摩天轮的半径长为，摩天轮逆时针旋转且每分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为          ．
16. 已知，为正实数，且，则的最小值为           ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

化简：；
求值：．

18. 本小题分

已知函数，图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

若，．

求函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

求函数在上的单调增区间．

若在上的最大值为，最小值为，求实数的值．

19. 本小题分
    已知函数．
    若，求不等式的解集；
    若在上单调递增，求的取值范围；
    求在上的最小值．
20. 本小题分
    已知，，函数．
    当时，求不等式的解集；
    若，求的最小值，并求此时，的值．
21. 本小题分
    设，函数在上单调递减．
    求；
    若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
22. 本小题分

已知函数，．

若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；

若对任意的、，不等式恒成立，求实数的取值范围．

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．
由正切函数得，解出即可．

【解答】

解：函数，
则，即，
所以函数的定义域是．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角函数值的符号，是基础题．
直接由点位于第四象限求出和的符号，则答案可求．
【解答】
解：点位于第四象限，
，
角所在的象限是第二象限．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，值域为，
由，，
可得，时，取得最小值．
故选：．
计算可得，，结合的图象，即可得到所求最小值．
本题考查对数函数的图象和性质，注意运用数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数，对数函数的应用，涉及到三角函数的诱导公式的应用，属于基础题．
利用指数函数，对数函数的性质以及余弦函数的诱导公式即可判断求解．

【解答】

解：因为，
，，
则，，的大小关系为，
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
判断函数的奇偶性和对称性，利用当时，进行判断即可．

【解答】

解：，则是奇函数，排除，，
当时，，排除，
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数求值，属于基础题．
由对数估值可得，求出范围，对照对数表可得结果．

【解答】

解：设此数为，则，
，
而，观察已知数据，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．
利用的奇偶性与单调性将不等式转化为成立，求出的最大值即可求得的取值范围．

【解答】

解：因为函数为奇函数，且在上单调递增，
所以不等式成立等价于成立，
所以成立，
即，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点与方程根的关系，考查学生转化能力，属于中档题．

把问题转化为函数与图象有交点，再解不等式，最后计算得结论．

【解答】

解：  因为存在实数，使成立，

所以关于的方程有解，

即函数与图象有交点．

当时，，
当时，，
故函数的值域为，
存在实数，使，

故，

又因为，

所以，

解得，

即实数的取值范围是．

故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了全称量词命题的否定、不等式性质、对数函数的性质及扇形的弧长与面积公式，属于基础题．
根据全称量词命题的否定判断，取例判断，根据对数函数性质判断，求出，判断．

【解答】

解：命题“，”的否定是“，”，故正确；
B.取，，满足，但不满足，故错误；
C.函数且的图象过定点，故正确；
D.因为扇形的周长为，面积为，
所以，解得：或，
所以或，
又因为，
所以，故正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域、最值及函数的奇偶性，属于基础题．
由奇偶性定义可判断利用基本不等式求得的值域，即可判断；利用单调性可判断．

【解答】

解：对于，因为，，所以为奇函数，故A正确
对于，因为，所以，所以为偶函数，故B正确
对于，当时，，当且仅当，即时等号成立
当时，，当且仅当，即时等号成立，
即的值域为，故C错误
对于，当时，是单调递增函数，所以
当时，是单调递减函数，，
所以有最小值为，故 D错误．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，即可得到结论．

【解答】

解：，
，故A正确；
，
可得是的最小值，故B正确；
，
，
，，
，
，，
，故C错误，
将的图象向右平移个单位得到的图象为
，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数诱导公式、扇形面积公式及利用二分法求函数的零点，属于基础题．
根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及，之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．

【解答】

解：对若是第二象限角，则，，故点在第三象限，则A正确；
对根据题意，扇形面积，故B正确；
对对，当时，当时，，
故可以取的一个区间是，则C正确；
对，且，则，解得，
则，故D错误．
故选ABC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查转化计算能力．
将原式分子分母同时除以，化为关于的三角式求解．

【解答】

解：将原式分子分母同时除以，得，
故答案为：．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，单调性的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键，属于基础题．
根据幂函数在第二象限内有图象，及在上是减函数，即可写出满足条件的一个函数解析式 ．

【解答】

解：由幂函数在第二象限内有图象，所以，
对于任意两个不同的正数，，都有恒成立，则在上是减函数，
所以幂函数的解析式可以是，
其图象如图，满足条件，

故答案为：答案不唯一．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数，解析式的确定，属于中档题．
依题意，可设，易求，，，，代入即可获得答案．

【解答】

解：设点的方程为，
依题意得，
解得，，
又因为，
所以，
此时，
又当时，，
所以，
，，
所以，
所以当时，，
所以距离地面的高度．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值．
由已知得，，解不等式即可求解．

【解答】

解：因为，为正实数，且，
所以
，
当且仅当时取等号，
整理得，
解得或舍，
则的最小值为．
故答案为：．

17.【答案】解：；
 

【解析】本题考查利用诱导公式化简求值，考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
直接根据诱导公式化简即可求得；
根据指数、对数运算性质计算即可．
 

18.【答案】解：若，．
图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，
，即，
 ，
  ，
令，，
则，
所以图象的对称轴方程为，  
令，，则，
所以图象的对称中心的坐标为，   
令，则，
当时，，当时，，                           
函数在时的单调增区间为      
，
，且由已知可得．
若，则，，
解得；   
若，则，，
解得；       
综上得：或 

【解析】本题主要考查了函数的图象与性质，函数的周期性与对称性，三角函数的最值的应用，属于中档题．
根据已知及函数的图象与性质，求出函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标，从而求出函数在上的单调增区间；
根据已知及三角函数的最值的计算，求出实数的值．
 

19.【答案】解：当时，函数，
不等式，即，
解得或，即不等式的解集为；
由函数，可得的图象开口向上，
且对称轴为，要使得在上单调递增，
则满足，所以的取值范围为；
由函数，可得的图象开口向上，
且对称轴为，当时，函数在上单调递增，
所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为． 

【解析】本题考查二次函数的性质，考查不等式的解法，属于基础题．
把代入函数解析式，利用因式分解可得二次不等式的解集；
求出二次函数的对称轴方程，结合函数的单调性可得关于的不等式，求解得答案；
利用二次函数性质求最值．
 

20.【答案】解：当时，，因为
由整理得，
解得，
所以不等式的解集是，
方法一：因为，所以，
，
因为，
所以，即的最小值是．
当且仅当即时等号成立，又，
所以，，
方法二：因为，所以，，
令，因为，所以，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，即的最小值是．
当且仅当，时等号成立，
所以，． 

【解析】本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的变形配凑基本不等式的应用条件，属于中档题．
把代入已知函数解析式，然后求不等式的解集；
方法一：由，代入得，然后结合乘法，利用基本不等式可求；
方法二：由，得，变形得，利用换元法进行变形后，利用基本不等式可求．
 

21.【答案】解：因为，函数在上单调递减，
所以，，解得．
又，且，解得．
综上，．
由知，所以，．
由于函数在区间上有且只有一个零点，
等价于函数的图象与直线 在区间上有且只有一个交点．
在区间上，
当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递减，且，
，或．
解得，或．
故的取值范围为． 

【解析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意，利用正弦函数的单调性，求得的值．
由题意，函数的图象与直线 在区间上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．
 

22.【答案】解：由题意可知，，
所以，
令，
因为，所以，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
 

因为当时，，

所以不等式恒成立，即在上恒成立，

令，对称轴为，

当时，，

，解得；

当时，，

，解得；

当时，，

因为，所以不等式无解，

综上所述，的取值范围是．

【解析】本题考查应用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，考查二次函数的性质以及对数函数的性质，考查计算能力．
先求出，再构造基本不等式，即可求出最小值；
先根据复合函数的单调性，求出函数，则可得在上恒成立，再分类讨论，即可求出的范围．