2022-2023学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x的不等式，即可解得函数的定义域.

【详解】令，解得，

故函数的定义域为.

故选：B.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件．

故选：A．

3．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是（    ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．

【详解】解：根据，，代入计算，可以排除；

根据，，代入计算，可以排除、；

将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意

故选：．

【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．

4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（    ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.

【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.

故选：C

5．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【分析】根据分段函数运算求解.

【详解】由题意可得：，故.

故选：B.

6．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．

【详解】由函数定义域为,,故为奇函数，

故它的图像关于原点对称，可以排除C和D；

又函数在时,函数，可以排除B，所以只有A符合．

故选:A．

7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则（    ）

A． B． C．4 D．6

【答案】C

【分析】根据题意结合指、对数运算求解.

【详解】由题意可得：.

故选：C.

8．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围.

【详解】已知,,

函数的零点为，

函数的零点为，

则

又因为,这两函数均单调递增，

当时，,解得.

故选:D.

二、多选题

9．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据三角函数的定义计算即可.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，故A正确；

，故B错误；

，故C正确，D错误.

故选：AC.

10．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A：构造函数，利用单调性判断；对于B：构造函数，利用单调性判断；对于C：构造函数，利用单调性判断；对于D：利用作差法比较大小.

【详解】对于A：因为，所以单调递减.

因为，所以.故A错误；

对于B：因为，所以单调递增.

因为，所以.故B正确；

对于C：因为，所以单调递减.

因为，所以.故C正确；

对于D：因为，所以.故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称

C．的最小值为2 D．在上为增函数

【答案】AD

【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A正确；举反例即可排除B；取特殊值计算即可判断C错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D正确.

【详解】对于A，因为，

设的正周期为，则，即，

所以，

由诱导公式可得，即，

又，故，即，则，故，

所以的最小值为，即的最小正周期为，故A正确；

对于B，因为，

又与不关于轴对称，

所以的图象关于轴对称，故B错误；

对于C，因为，所以2不是的最小值，故C错误；

对于D，因为，所以，故在上单调递减，且，

又在上单调递减，

所以在单调递增，故D正确.

故选：AD.

12．已知函数，对于任意，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.

【详解】令，故A正确；

由已知，①

令满足题干要求，则，故B错误；

由①可知，令，则，

又因为，则，所以，故C正确；

因为，所以，

又由①，令，则，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】对称中心的横坐标满足，取得到

【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.

故答案为：

14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.

【答案】

【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】由的解集为，

可得，且方程的解为，

所以，则，

所以，

即关于的不等式的解集为.

故答案为：.

15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若，则___________.

【答案】1

【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.

【详解】由可得的函数周期为4，则，

由，则，解得.

故答案为：1.

四、双空题

16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则___________；若，，且存在，，则实数的取值范围是_______________.

【答案】         

【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a的大致范围，最后列出不等式求解即可.

【详解】即则一定有，所以分三段研究：

时，，，即；

时，，，即；

且时，，，即.

综上所述，；

由已知

且，

要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中，即为集合的补集中一段的区间长）

此时，因此满足题意的反面情况有或，

解得或，因此满足题意的范围为.

五、解答题

17．求下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)128

(2)8

【分析】（1）根据指数幂的运算求解；

（2）根据对数和指数的运算性质求解.

【详解】（1）.

（2）.

18．若.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案.

（2）根据得到，解得，得到答案.

【详解】（1），则，

，，，则；

（2），所以，即，，

.

，解得，

19．已知集合，.

(1)若，求；

(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_________，求实数的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2)选①；若选②.

【分析】(1)代入的值，求出集合B，用并集的运算性质计算即可.

(2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围.

【详解】（1），即，

而，即，所以；

（2）若选①即

时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍；

时，，即，符合题意；

时，，即，要满足题意则，即.

综上所述，实数的取值范围是.

若选②，若，

时，，即，要满足题意则，则满足，解得，则；

若时，，即，满足；

时，，即，要满足题意则解得，即；

综上，实数的取值范围是.

20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为偶函数.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式；

（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.

【详解】（1）由最值得，

由相邻两条对称轴距离得，则，即，

此时，

代入点得：，

则，即，

又因为，所以，

故.

（2）由题意得，

则，

因为，

所以为偶函数.

21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.

(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；

(2)设备占地面积为多少时，的值最小？

【答案】(1)

(2)设备占地面积为时，的值最小.

【分析】（1）由题意解不等式，即可求得；

（2）利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由题意得.

要满足题意,则，

即，解得：.

即设备占地面积的取值范围为.

（2），

当且仅当时等号成立.

所以设备占地面积为时，的值最小.

22．已知函数，.

(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；

(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；

(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围；

（3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.

【详解】（1）解：，

因为，所以，，所以，

即在上是增函数.

（2）解：由已知

设，由（1）得在上单调递增，即，

所以，

①时，，即，当且仅当时取等，

此时要满足恒成立，即，所以；

②时，，此时在上单调递减，

即，

此时要满足恒成立，即，化简得，

此时因为，此时恒成立

综上所述，实数的取值范围是.

（3）解：

因为（当且仅当时取等），所以，即，

由已知，所以，

又因为，所以，即，

因此，所以.