2023届福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、连江文笔中学、长乐高级中学、元洪中学）高三上学期期中联考数学试题（解析版）

2023届福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、连江文笔中学、长乐高级中学、元洪中学）高三上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B．2 C．1 D．4

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算可得复数，再根据复数的模长公式可得结果.

【详解】由得，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题.

2．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解不等式确定集合，然后由必要不充分条件得是的真子集可得结论．

【详解】∵且或，，又是的必要不充分条件，∴，∴，

故选：D.

【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：

命题对应集合，命题对应的集合，则

（1）是的充分条件；

（2）是的必要条件；

（3）是的充分必要条件；

（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．

3．已知，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】由基本不等式求解即可

【详解】因为，

所以可得，

则，

当且仅当，即时，上式取得等号，

的最大值为2．

故选：A．

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数与指数函数的性质，即可得到答案；

【详解】因为，，所以，，排除A，C.

又因为即，所以，故，

故选：D.

5．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.

【详解】因为，定义域为R，

又，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，

又当时，，，故排除B.

故选：A.

6．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（    ）

A．(－2，2) B．(－2，1) C．(0，2) D．(1，3)

【答案】C

【分析】利用导数及对数函数的单调性作出函数图像，数形结合判断当函数与直线有三个交点时参数k的取值范围.

【详解】当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)＝0，解得或1(舍去)，

故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.

又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.

则函数f(x)的图象如图所示，

f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，

数形结合知当k∈(0，2)时，函数与直线有三个交点，即y＝f(x)－k有三个不同零点.

故选：C

【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.

7．已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（    ）

A．621 B．622 C．1133 D．1134

【答案】C

【分析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.

【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：

共10项，

和为；

，共10项，

其和为；

∴该数列前20项的和；

故选：C.

8．已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求得结论.

【详解】由题意知.

如图，

在平面内任取一点P，使，

则，

故以A为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆弧，

故该交线长为.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据奇偶性的定义及常见基本初等函数的单调性即可求解.

【详解】解：对A：因为时，在上单调递增，故选项A错误；

对B：因为在上单调递增，故选项B错误；

对C：因为，定义域为，所以为偶函数，又为增函数，时，为减函数，所以由复合函数单调性的判断法则有函数在区间上单调递减，故选项C正确；

对D：为偶函数，又在区间上单调递减，故选项D正确.

故选：CD.

10．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则下列说法中正确的有（    ）

A．侧棱与底面所成的角为

B．侧面与底面所成角的正切值为

C．正三棱锥外接球的表面积为

D．正三棱锥内切球的半径为

【答案】BC

【分析】若分别是的中点，连接，找到侧棱与底面所成角的平面角，应用余弦定理求角的大小；若是底面中心，连接、，找到侧面与底面所成角的平面角，由正三棱锥的性质在直角三角形求二面角的正切值；由正三棱锥外接球的性质确定球心位置，进而求球的半径即可得表面积；内切球的半径为，由求半径即可.

【详解】若分别是的中点，连接，易知为侧棱与底面所成角，

由题设，，，，则，

∴，故A错误；

若是底面中心，易知：面，连接、，则侧面与底面所成角为，

又，，则，故B正确.

若外接球的半径为，则，解得，

∴正三棱锥外接球的表面积为，故C正确.

由题设易知：，若内切球的半径为，则，

又，，则，故D错误.

故选：BC

11．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．是偶函数 B．为奇函数

C．函数有个不同的零点 D．

【答案】ABC

【分析】根据函数关系式可推导得到关于直线和点对称，且周期为；令，，由奇偶性定义可得的奇偶性，知AB正确；作出和的图象，根据图象可得两函数交点个数，进而确定函数零点个数，知C正确；根据周期性可求得，知D错误.

【详解】，，且关于直线对称；

又，，且关于中心对称；

，，

则是周期为的周期函数；

对于A，令，则，

为偶函数，A正确；

对于B，令，则，

为奇函数，B正确；

对于C，作出和的图象如下图所示，

当时，，又，

由图象可知：与共有个不同的交点，

则有个不同的零点，C正确；

对于D，，

，D错误.

故选：ABC.

12．正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．直线与平面所成角的余弦值为

D．点C和点G到平面的距离相等

【答案】AB

【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量逐项分析判断作答.

【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长，

则，

，则，即，直线与直线垂直，A正确；

，令平面的法向量，则，

令，得，而，，平面，而平面，则平面，B正确；

，，所以直线与平面所成角的正弦值为，C不正确；

，则点C和点G到平面的距离分别为：，，D不正确.

故选：AB

三、填空题

13．设等差数列的前n项和为，若，，则n=___________时，取得最大值.

【答案】7

【分析】根据题目条件利用等差数列性质，可求出且，进而分析出结果.

【详解】等差数列中，，，

即，

所以且，

所以当时，取得最大值.

故答案为：7.

14．已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是.若AB，AC的夹角是，且AC与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为________.

【答案】

【分析】画出圆锥几何体，数形结合可知是等边三角形，求出，再由直角求出圆锥底面半径，最后用圆锥的表面积公式即可解得结果.

【详解】如图所示, 的夹角是 是等边三角形，，解得.

与圆锥底面所成的角是，

圆锥底面半径.

则该圆锥的表面积.

故答案为：.

15．函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.

【答案】

【分析】先求得的值域，然后根据不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】依题意函数是奇函数，且在是单调增函数，又，

所以，所以的值域是.

所以对任意恒成立，

即任意恒成立，

所以，解得或或，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.

【答案】

【分析】设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.

【详解】如下图所示：

设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，

，

当为正方形的某边的中点时，，

当与正方形的顶点重合时，，即，

因此，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，其图像相邻两条对称轴的距离为，且，.

（1）求；

（2）求函数图像在区间上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对称轴间的距离求出周期，得到；再根据，求出；最后由，求出，即可得到的解析式；

（2）根据，求出的取值范围，确定单调递增区间，再反求的取值范围即可.

【详解】解：（1）由题知，即，故.

又，则，

又，故,

又，则，

故.

（2），则，

当，即，

函数单调递增，故函数在区间上的单调递增区间为.

18．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.

(1)求M，N两地间的直线距离；

(2)求观光线路长的取值范围.

【答案】(1)

(2)长的取值范围是（单位：）.

【分析】（1）利用余弦定理求得正确答案.

（2）设，利用三角函数表示出，并求得取值范围.

【详解】（1）由余弦定理得.

（2）设，

由正弦定理得，

，

所以，

所以

，

由于，所以.

即长的取值范围是（单位：）.

19．已知函数，函数图象在处的切线与x轴平行.

（1）求a的值；

（2）讨论方程根的个数.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）由导数求曲线在某点处的斜率有，代入运算即可求a的值；

（2）由导数的应用可求得函数的增区间与减区间，即得函数的极大值与极小值，再结合函数的性质确定零点个数.

【详解】（1），

由题意知，，即，解得，  

（2）由（1）得：，此时，

令，解得或，令，解得，

即函数的增区间为，，减区间为，

即，，

且当时，，当时，.

所以，当时，方程无根，当或时，方程有一根，

当或时，方程有两个根，当时，方程有三个根；

【点睛】本题考查了利用导数求求曲线在某点处的斜率及由导数研究函数的单调性、极值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.

20．已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

【答案】（1）若a1 =0, 若a1；（2）数列{lg}的前6项的和最大.

【详解】(1)取n=1,得

若a1=0,则s1="0," 当n

若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,

若a1

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大

【点睛】本小题主要考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.

21．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.

(1)求证AE平面PCD；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)存在，.

【分析】（1）根据平面得到，根据为等边三角形，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；

（3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可.

【详解】（1）∵平面，平面，

∴，

∵为等边三角形，为中点，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面.

（2）

取中点，连接，，

∵平面，平面，平面，

∴平面平面，，

∵为中点，为等边三角形，

∴，，

∵平面平面，平面，

∴平面，

∵，，

∴四边形为平行四边形，，

如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，,

∵平面，

∴可以作为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则

，令，则，，，

所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

（3），，，，

设，则，

∵∥平面，

∴，解得，

所以在棱上存在点使∥平面，此时.

22．设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值及直接写出的单调减区间；

(2)设函数，且在区间（为自然对数的底数）内存在单调递减区间，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；单调减区间见解析

(2)

【分析】（1）根据切线方程，由和可求得；求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得单调减区间；

（2）将问题转化为在内有解，分离变量可得，令，利用导数可求得的单调性，从而得到，由此可得的范围.

【详解】（1），，又，，；

，；

当时，，在上单调递增，无单调减区间；

当时，若，；若，；

的单调减区间为；

当时，若，；若，；

的单调减区间为；

综上所述：当时，无单调减区间；当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为.

（2）由（1）知：，，

在内存在减区间，，即在内有解，

在时能成立，

令，则；

令，则，

在上单调递增，又，

当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，，

，即实数的取值范围为.