初中数学中考复习 考点22 全等三角形（解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点22 全等三角形（解析版），共39页。

考点二十二 全等三角形
【命题趋势】
在中考中，全等三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主。常结合常考的5种全等模型常结合四边形考查。

【中考考查重点】
一、 全等三角形常考5种模型
二、 全等三角形性质

考点一：全等三角形的概念及性质
概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
性质
1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．
3.全等三角形的周长、面积相等．


1．（2021秋•中山区期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．65° C．70° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，
∴∠BCE＝∠DCA＝40°．
∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
2．（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（　　）cm．

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
∴BE＝CF，
∵BE＝2cm，
∴CF＝BE＝2cm，
∵BF＝8cm，
∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），
故选：B．
3．（2021秋•武汉期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．35° C．70° D．30°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝30°，
故选：D．


考点二： 全等三角形的判定

模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
模型示例


4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【答案】（1） 略 （2）∠E的度数为60°
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS）；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．

模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.

5．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．

【答案】（1）略 （2）80°
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
6．（2021•江阳区一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．

【答案】略
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．
即：∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC＝DE．




模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.




7．（2012春•张家港市期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．

【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
∴AC＝DF，
∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
8．（2021•长安区一模）如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．

【答案】略
【解答】证明：∵△ABC和△EBD都是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．


模型四：一线三垂直型
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角
9
9．（2020秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B．
（1）求证：AB＝CP；
（2）若∠BAC＝120°，则∠ADP＝　　°．

【答案】（1）略 （2）75
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，且∠APD＝∠B，
∴∠CPD＝∠BAP，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝CP；
（2）解：∵∠BAC＝120°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB＝AC，AB＝PC，
∴PC＝AC，
∴∠CAP＝∠APC＝＝75°，
由（1）知：△ABP≌△PCD，
∴AP＝PD，
∴∠ADP＝∠CAP＝75°，
故答案为：75．

10．（2020春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　．

【答案】（1）略 （2）AD＝BE+DE
【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；

（2）∵△BCE≌△CAD，
∴BE＝DC，AD＝CE，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，
故答案为：AD＝BE+DE．

模型五：半角模型
1、等边角形半角

作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG
结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF


2、正方形含半角

作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG
结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF

11．（2021春•开州区期末）已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．
（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；
（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；
（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．





【答案】（1）7 （2）EF＝DF﹣BE （3）BE＝
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，
∵AB＝AD，∠D＝∠ABG，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠EAF，
又∵AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7；

（2）如图2，在DF上截取DM＝BE，

∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，DM＝BE，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，
∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM＝45°，
∴∠MAF＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AM，AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF＝FM，
∵DF＝DM+FM，
∴DF＝BE+EF，
∴EF＝DF﹣BE；

（3）如图，在DF上截取DM＝BE，

同（2）可证EF＝DF﹣BE，
∴DF＝BE+EF＝CF+DC＝18，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴（18﹣BE）2＝62+（8+BE）2，
∴BE＝．
12．已知如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF．求证：△ECF是等边三角形．

【答案】略
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，∠BCD＝120°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴AC＝CD，
∵BE＝AF，
∴AE＝DF，
在△ACE与△DCF中，，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴EC＝FC．∠ACE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠ACF＝60°，
∴∠ACE+∠ACF＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形．


1．（2020•雨花区校级三模）如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　）

A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E
【答案】C
【解答】解：∵AB∥ED，
∵∠B＝∠D，
∵CD＝BF，CF＝FC，
∴BC＝DF．
在△ABC和△DEF中
BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF．
故选：C．
2．（2021春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，

∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
3．（2021•凤山县模拟）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝　　°．

【答案】28
【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE＝28°．
故答案是：28．
4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【答案】（1）略 （2）60°
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS）；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
5．（2021秋•庐江县期末）如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．

【答案】略
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．

6．（2021秋•伊通县期末）已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

【答案】略
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
7．（2021秋•连云港期末）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．

【答案】（1） 略 （2）∠AEC＝102°
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠DFB，
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠D＝72°，
又∵∠C＝30°，
∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°，
∴∠AEC＝102°．
8．（2021•广东模拟）如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．
（1）求证：△AEC≌△ADB．
（2）求∠BFC的度数．

【答案】（1）略 （2）∠BFC＝90°
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）解：由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°．


9．（2021•蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

【答案】（1）略 （2）△OBC是等腰三角形
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
10．（2021秋•汝阳县期中）如图：∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求线段BE的长．

【答案】（1） 略 （2）BE＝8．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∵BE⊥CE，
∴∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE＝25，CD＝BE，
∵CD＝CE﹣DE＝25﹣17＝8，
∴BE＝8．
11．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．
（1）求证：△ECF为等边三角形；
（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．

【答案】（1）略 （2）3或6
【解答】解：（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC＝AD＝DC，又∵∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝60°，
∴△ECF为等边三角形；
（2）由（1）可知△CBE≌△CAF，
∴S△CBE＝S△CAF，
∴S四边形AECF＝S△ABC，
作AH⊥BC交BC于点H，
在△ABH中，∠B＝60°，AB＝6，
∴BH＝3，
∴AH＝3，
∴S△ABC＝×6×3＝9，
当S△CBE：S△CAE＝1：2时，S△BEC的面积＝S△ABC＝3；
当S△CBE：S△CAE＝2：1时，S△BEC的面积＝S△ABC＝6；
综上，△BEC的面积为3或6

12．（2021秋•济阳区期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：　EF＝BE+DF　；
（2）拓展延伸：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（3）尝试应用：在（2）的条件下，若BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．

【答案】（1） EF＝BE+DF （2）6
【解答】解：（1）探究发现：将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，

∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；

（2）拓展延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，

∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
（3）尝试应用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5，
设正方形ABCD的边长是x，
在Rt△CEF中，EC＝x﹣3，CF＝x﹣2，EF2＝EC2+CF2，
∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的边长是6．


1．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
2．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
3．（2020•常州）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

【答案】（1）略 （2）∠E的度数为60°
【解答】证明：（1）∵EA∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC与△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴∠E＝∠F；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠D＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
答：∠E的度数为60°．
4．（2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．
（1）求证：△AOD≌△OBC；
（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．

【答案】（1）略 （2）35°
【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝BO，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC，
在△AOD与△OBC中，，
∴△AOD≌△OBC（SAS）；
（2）解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB＝35°．
5．（2020•柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．

【答案】略
【解答】证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
6．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

【答案】（1） 略 （2）∠BAC＝80°
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
7．（2020•百色）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E．
求证：（1）△ABC≌△DEF．
（2）AF＝DC．

【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AF＝CD．
8．（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．

【答案】（1）略 （2）90°
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）设BC与AE交于点N，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．




1．（2021•商河县校级模拟）如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝DE＝5，BC＝AE＝2，
∴CE＝5﹣2＝3．
故选：C．
2．（2020•清苑区一模）如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是（　　）

A．68° B．62° C．60° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵∠E＝50°，∠D＝62°，
∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°，
∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD＝68°，
故选：A．
3．（2020•南宁二模）如图，△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠DEC＝76°，则∠BCE的度数是　　．

【答案】28°
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CB＝CE，∠B＝∠DEC＝76°，
∴∠BCE＝180°﹣2∠B＝28°，
故答案为：28°．
4．（2021•温州二模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．

【答案】（1）略 （2）∠D＝80°
【解答】证明：（1）∵FB∥EA，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BDF，
∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ACE，
∵∠A＝50°，
∴∠FBD＝50°，
∵CH＝BC，
∴∠FBD＝∠BHC＝50°，
∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°，
∴∠D＝80°．

5．（2021秋•长兴县期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若AB＝5，BC＝8，求DE的长．

【答案】（1）略 （2）DE＝
【解答】（1）证明：如图，连接AD，

∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）解：∵AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
∴AD＝＝＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝BD•AD，
∴5DE＝4×3，
∴DE＝．
6．（2019•曲靖模拟）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为多少时，四边形BCEF是菱形．

【答案】（1）略 （2）AF＝时，四边形BCEF是菱形
【解答】解析　（1）证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）如解图，连接BE，交CF于点G，

∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴CG＝，∵FG＝CG，
∴FC＝2CG＝，
∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝，
∴当AF＝时，四边形BCEF是菱形．

7．（2020•沈河区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是　 　．

【答案】（1）略 （2）30
【解答】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；

（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，
∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．
∴由勾股定理得：AC＝13，
∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，
故答案为：30．

8．（2021•思明区校级二模）如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【答案】略
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即CF＝BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD．
9．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

【答案】略
【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
10．（2012•许昌一模）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，CD＝3，求AD的长；
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

【答案】（1） AB＝AH （2）AD的长为6
【解答】（1）答：AB＝AH，
证明：延长CB至E使BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°
又∵AB＝AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1＝∠2，AE＝AN，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
即∠EAM＝45°，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是对应边，
∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴∠E＝∠F＝90°，
又∵∠BAC＝45°
∴∠EAF＝90°
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD＝AF
∴四边形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3，
设AD＝x，则EG＝AE＝AD＝FG＝x，
∴BG＝x﹣2；CG＝x﹣3；BC＝2+3＝5，
在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52
解得x1＝6，x2＝﹣1，
故AD的长为6．