初中数学中考复习 考点22 全等三角形（原卷版）

考点二十二   全等三角形

【命题趋势】

   在中考中，全等三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主。常结合常考的5种全等模型常结合四边形考查。

【中考考查重点】

一、全等三角形常考5种模型

二、全等三角形性质

     考点一：全等三角形的概念及性质

1．（2021秋•中山区期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．65° C．70° D．80°

2．（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（　　）cm．

A．5 B．4 C．3 D．2

3．（2021秋•武汉期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．35° C．70° D．30°

考点二： 全等三角形的判定

模型一：平移型

模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.

模型示例

4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：△ACE≌△BDF；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

模型二：轴对称模型

模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.

5．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．

6．（2021•江阳区一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．

模型三：旋转型

模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：

①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角

②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.

7．（2012春•张家港市期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）BC∥EF．

8．（2021•长安区一模）如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．

模型四：一线三垂直型

模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角

       9

9．（2020秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B．

（1）求证：AB＝CP；

（2）若∠BAC＝120°，则∠ADP＝　　°．

10．（2020春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．

（1）求证：△BCE≌△CAD；

（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　              　．

模型五：半角模型

1、等边角形半角

作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG

结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF

2、正方形含半角

 作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG

结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF

11．（2021春•开州区期末）已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．

（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；

（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；

（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．

12．已知如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF．求证：△ECF是等边三角形．

1．（2020•雨花区校级三模）如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　）

A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E

2．（2021春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4

3．（2021•凤山县模拟）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝　　°．

4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：△ACE≌△BDF；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

5．（2021秋•庐江县期末）如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．

6．（2021秋•伊通县期末）已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

7．（2021秋•连云港期末）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．

（1）求证：△ABE≌△DCF；

（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．

8．（2021•广东模拟）如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．

（1）求证：△AEC≌△ADB．

（2）求∠BFC的度数．

9．（2021•蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

10．（2021秋•汝阳县期中）如图：∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）求线段BE的长．

11．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．

（1）求证：△ECF为等边三角形；

（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．

12．（2021秋•济阳区期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．

（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：　EF＝BE+DF　；

（2）拓展延伸：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

（3）尝试应用：在（2）的条件下，若BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．

1．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

2．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°

3．（2020•常州）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：∠E＝∠F；

（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．

4．（2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．

（1）求证：△AOD≌△OBC；

（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．

5．（2020•柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．

求证：△AOC≌△BOC．

6．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

7．（2020•百色）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E．

求证：（1）△ABC≌△DEF．

（2）AF＝DC．

8．（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．

（1）求证：AE＝BD；

（2）求∠AFD的度数．

1．（2021•商河县校级模拟）如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

2．（2020•清苑区一模）如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是（　　）

A．68° B．62° C．60° D．50°

3．（2020•南宁二模）如图，△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠DEC＝76°，则∠BCE的度数是　　．

4．（2021•温州二模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．

（1）求证：△ACE≌△BDF；

（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．

5．（2021秋•长兴县期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若AB＝5，BC＝8，求DE的长．

6．（2019•曲靖模拟）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为多少时，四边形BCEF是菱形．

7．（2020•沈河区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．

（1）求证：△BCE≌△CAD；

（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是　 　．

8．（2021•思明区校级二模）如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

9．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

10．（2012•许昌一模）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，CD＝3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？