2022-2023学年浙江省浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的交并补运算法则即可求解.
【详解】，，，
又，
故选：B.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可
【详解】由，
即，
解得，
即函数的定义域为：
故选：A.
3．已知幂函数在上单调递增，则实数a的值为（ ）
A．B．3C．或3D．不存在
【答案】B
【分析】根据幂函数定义得到，解方程并验证单调性得到答案.
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递增，不满足，所以
故选：B.
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算，幂函数及对数函数的性质即得.
【详解】，，，
，
，又，
故选：C.
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象的运用，先根据函数的奇偶性，排除选项，在利用特殊值排除选项C即可求解.
【详解】依题意可知：函数的定义域为，
定义域关于原点对称，又因为，
所以函数为偶函数，故排除;
又当时，，故排除C，
故选：A.
6．已知，则满足关于x的方程的充要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由题可知，构造函数，根据二次函数的性质可得当时函数取得最大值，进而即得.
【详解】由于，令函数，
此时函数对应的开口向下，当时，取得最大值，
因为满足关于x的方程，即，
所以，
所以，.
故选：D.
7．如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到平方米（ ）
A．32B．36C．38D．40
【答案】B
【分析】设出仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，得到，由基本不等式求出，从而得到，得到正确答案.
【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，
则，整理得，
，，
∴由基本不等式可得，
，
，解得：，
故，当且仅当时等号成立，
所以仓库占地面积最大能达到平方米.
故选：B
8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，的零点相同，再判断，，恒成立得到，根据条件依次判断每个选项得到答案.
【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，
故，，的零点相同，设为，
恒成立，，故，解得，
故，即，，故，，
，A错误；，B错误；，C错误，
，D正确.
故选：D.
【点睛】本题参考了指数函数，对数函数，二次函数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数有相同的零点，通过计算放缩是解题的关键.
二、多选题
9．已知a，b，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据得到，从而判断AB选项；作差法比较大小，得到C正确；D选项可举出反例.
【详解】对于A，由，得，，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错；
对于C，因为，所以，故，C正确，
对于D，当为0时，，D错误.
故选：AC
10．对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
【答案】ABC
【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.
【详解】因为，且，
所以若，则，故A正确，
若，则,则，故B正确;
，，或，则，故C正确，
若，，则，，
或，故D错误.
故选：ABC
11．已知函数，，下列成立的是（ ）
A．若是偶函数，则
B．的值域为
C．在上单调递减
D．当时，方程都有两个实数根
【答案】ACD
【分析】对于A选项，由偶函数定义可得答案.
对于B选项，因，则.
对于C选项，由复合函数单调性可得答案.
对于D选项，结合单调性可画出大致图像，方程根的个数即是与图像交点个数.
【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确.
对于B选项，注意到，又在R上单调递增，
则值域为，故B错误.
对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确.
对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确.
故选：ACD
12．存在函数满足：对于任意都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.
【详解】对于A，令，得，令，得，
不符合函数的定义，故A错误;
对于B，
符合题意，故B正确;
对于C，令，则，故C正确;
对于D，当时，函数无意义，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．__________
【答案】2
【分析】根据分数指数幂运算法则和对数运算法则进行计算.
【详解】
故答案为：2.
14．不等式的解集是__________
【答案】
【分析】不等式转化为，再解不等式得到答案。
【详解】原不等式可化为，即，解得
故答案为：
15．若，则的最小值是__________
【答案】
【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值.
【详解】因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
16．函数，，最大值为，则的最小值是__________
【答案】4
【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案.
【详解】，
，函数在上单调递减，在上单调递增，故，
设，，，
当，即时，函数在上单调递增，，
则，
当，即时等号成立，；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.
，则；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则；
当，即时，函数在上单调递减，，
则；
综上可知
故答案为：4
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键.
四、解答题
17．已知集合，
(1)若，求
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，代入得出集合，根据集合的并集运算即可；
（2）根据，可得，结合子集关系分类讨论即可求得实数m的取值范围.
【详解】（1）解：
若，则
.
（2）解：若，则，
当时，，则，
当时，可得，解得，
综上所述，m的取值范围是.
18．已知函数
(1)判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明;
(2)若对，都有恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义证明单调性步骤证明即可；
（2）分离函数得，，由此可确定恒成立，即可得实数t的取值范围.
【详解】（1）解：在上单调递增.
证明：，，且，
，，，
，
所以，因此，在R上单调递增.
（2）解：，
当时恒成立，
19．已知函数是定义在上的奇函数，当
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由是奇函数，，以及，求解即可；
（2）转化为，结合函数单调性以及函数定义域，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由题意当时，，
故
又是奇函数，所以，所以
（2）
又是奇函数，所以
由都为上的增函数，故在上递增，
又是奇函数，，
故是上的增函数
不等式的解集为
20．平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm（dm是分米符号，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕线段将木料分为面积比为的两部分含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合，有如下三种切割方式如图：①点在线段AB上，N点在线段AD上;②点在线段AB上，N点在线段DC上;③点在线段AD上点在线段BC上.设dm，割痕线段的长度为ydm，
(1)当时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕 MN的取值范围无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准
(2)当时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.
【答案】(1)选①：，选②：，选③：
(2)方式②割痕MN的最大值较小，理由见解析
【分析】（1）根据题干要求，无需求解过程，故当时，直接对其中的某一个求解即可；
（2）当时，逐个对以上三种切割方式进行计算，方能判别三种切割方式中哪一种割痕MN的最大值较小.
【详解】（1）选①：，选②：，选③：
（2）选①：令，则，，，
，
时，为减函数，时，为增函数，
当时，，当时，，
选②：令，则，，，
，
时，为减函数，时，为增函数，
当或时，
选③：令，则，，，
，
时，为减函数，时，为增函数，
当或时，，
综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为
21．已知，函数
(1)若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值;
(2)设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值；
（2）由题可知函数在区间上单调递增，进而可得，然后通过换元法及函数的单调性求函数的最值，即得．
【详解】（1）由题可知有且仅有一解，
所以有且仅有一解，等价于有且仅有一解，
当时，可得，经检验符合题意；
当时，则，解得，
再代入方程可解得，经检验符合题意；
综上所述，或；
（2）当时，，，
所以在上单调递增，
因此在上单调递增，
故只需满足，即，
所以，
即，设，则，
，
当时，，
当时，，又对勾函数在单调递减，
所以，
故，
所以，，
所以a的取值范围为
22．已知函数，.
(1)若，求函数在上的最小值的解析式;
(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，对进行分类讨论，结合分段函数的单调性即可得函数在上的最小值的解析式；
（2）由题可得，则可确定为上的奇函数，结合函数的奇偶性与二次函数的性质即可求对任意恒成立时，实数m的取值范围..
【详解】（1）若，则，
①当时，在单调递减，的最小值为，
②当时，在单调递减，在单调递增，的最小值为，
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，
的最小值为，
由得，，解得，
所以，当时，的最小值为，
当时，的最小值为
综上所述，的最小值为：.
（2）显然，且为上的奇函数，
①当时，为上的增函数，此时恒有，符合题意；
②当时，令得：，所以，解得：，或者舍去；
（i）时，，，
，
又，所以，令，
则，，
所以当，即，恒成立，
当时，只要，得，所以；
（ii）时，，，
，
，显然恒成立!
综上所述， m的取值范围为或.