2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）

A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.

2．已知命题，，则p是q成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】根据两个命题得出x的范围，比较两个范围所构成集合间的关系，利用充分条件与必要条件的判定，即可得出结论.

【详解】解：因为，，所以p是q成立的既不充分又不必要条件，

故选：D．

3．已知是定义在上的增函数，则（    ）

A．函数为奇函数，且在上单调递增

B．函数为偶函数，且在上单调递减

C．函数为奇函数，且在上单调递增

D．函数为偶函数，且在上单调递减

【答案】C

【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性定义和其对称性可判断AB；利用奇偶性的定义以及复合函数单调性可判断CD.

【详解】不妨令，则，且的定义域为，

故为偶函数，则的图像关于轴对称，则不可能在上单调，故AB错误；

令，则，且的定义域为，

故是奇函数，

因为是定义在上的增函数，

所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，

故在上是增函数，故C正确，D错误.

故选：C.

4．甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意分析开始图象是重合的线段，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，即可.

【详解】由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，

所以图象是重合的线段，由此排除C，D，

再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，

图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确．

故选：A

5．已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间满足函数关系．若该食品在4℃时的保鲜时间为192h，在12℃时保鲜时间为48h，则该食品在28℃时的保鲜时间为（    ）

A．2h B．3h C．4h D．6h

【答案】B

【分析】由题可得，代入再结合条件即得.

【详解】由题意有：①，②，

②式除以①式得，

则.

故选：B.

6．下列函数中最小值为的是（    ）

A． B．当时，

C．当时， D．

【答案】B

【分析】对于，如果时，，故不符合题意；

对于，利用基本不等式得到函数的最小值为4，故正确；

对于，利用基本不等式得到最小值为，故错误；

对于，利用基本不等式得最小值取不到，故错误．

【详解】对于，，如果时，，故不符合题意；

对于，因为，

当且仅当，即时取等号，故正确；

对于，因为，

当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，故错误；

对于，，当且仅当即此时无解，这表明最小值取不到，故错误．

故选：．

7．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（    ）

A．的图象关于原点对称 B．的值域为

C．在上单调递减 D．

【答案】D

【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据奇偶性的判断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.

【详解】因为是幂函数,所以,解得或,

又是偶函数,所以,故,

故;

对于A;,故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，

对于B；，由于，所以，故，故值域为，故B错误,

对于C;,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C错误，

对于D；从而，故D正确，

故选：D

8．已知函数，()，对，，使成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别求出函数，在各自给定区间上的值域，再借助集合的包含关系即可计算作答.

【详解】函数的对称轴方程为，在上单调递减，则在的值域为，

又()在上单调递增，则在的值域为，

“对，，使成立”等价于“在的值域包含于在的值域”，

于是得，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：A

二、多选题

9．已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．函数的图像与x轴只有一个交点 D．函数是增函数

【答案】ACD

【分析】结合奇函数的定义可求函数解析式，然后结合函数的性质及解析式分别检验各选项即可判断．

【详解】定义在上的函数是奇函数，，

当时，，

当时，，所以，也满足，

所以当时，，A正确，B错误；

由题意可知，显然为函数的零点，当时，显然没有零点，根据奇函数对称性可知，当时，函数没有零点，所以函数的图像与x轴只有一个交点，C正确；

当时，单调递增，根据奇函数的对称性可知，时，函数单调递增，且在处连续，故在R上单调递增，D正确．

故选：ACD．

10．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BC

【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

结合a是正整数，所以BC正确.

故选： BC.

11．已知关于x的方程，下列结论中正确的是（　　）

A．方程有一个正根一个负根的充要条件是

B．方程有两个正根的充要条件是

C．方程无实数根的充要条件是

D．当时，方程的两个实数根之和为0

【答案】AB

【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合充要条件的定义逐一判断即可.

【详解】关于x的方程中，

两根和为、两根积为m.

若方程有一个正根一个负根，则，解得，故A对；

若方程有两个正根，则，解得，故B对；

若方程无实根，则，解得或，故C错；

当时，方程可化为，显然无实数解，故D错.

故选：AB.

12．已知，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用指数函数的性质及幂函数的性质即得.

【详解】由题得，，，，

因为幂函数在上单调递增，

所以，

又因为指数函数在上单调递增，

所以.

故选：ABC.

三、填空题

13．函数的定义域是      .

【答案】

【分析】根据具体函数求解定义域的方法直接列不等式求解即可.

【详解】解：函数，定义域满足，解得：且

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

14．用一段长为20m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，则矩形菜园的最大面积为     ．

【答案】50

【分析】设菜园宽为x,则长为20- 2x,由面积公式写出y与x的函数关系式,然后利用二次函数的最值可得出菜园的最大面积.

【详解】设矩形的宽为xm，面积为S m2，根据题意得：

时，最大，最大值为.

此时，矩形长为满足题意，

即当矩形的长为10m ( 不超过墙长) , 宽为5m时，矩形菜园的面积最大,最大面积为50m2.

故答案为：50

15．已知，则实数a的取值范围是         .

【答案】

【分析】对进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得的取值范围.

【详解】当时，在上递减，

恒成立.

当时，在上递增，

无解.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

四、双空题

16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义为：，则        ；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则        .

【答案】          /

【分析】由的定义可求得；奇函数任意x都有，可得的周期为2，则，然后利用已知的函数关系式求值即可.

【详解】解：因为，所以；

∵是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，∴，

∴，即的周期为2，

∵当时，，

故.

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）求值：；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）2.

【分析】（1）由指数幂的运算性质与对数的运算性质求解即可；

（2）由指数与对数的互化和对数的运算性质求解即可

【详解】解：（1）原式；

（2），则，

∴，

∴．

18．已知函数的定义域是，集合.

(1)若，求，；

(2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据函数解析式，求出集合,然后利用集合的运算即可求解；

(2)将条件进行等价转化，也即，列出条件成立的不等式组，解之即可.

【详解】（1）要使函数有意义，

则有，解得，故.

若，则， ，.

（2）由（1）知：，

若命题“”是真命题，则.

，                      

故实数的取值范围是.

19．已知函数．

(1)用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合函数单调性的定义，通过计算，来证得在上递增.

（2）结合函数的奇偶性的单调性求得不等式的解集.

【详解】（1）任取，则，

因为，

所以，

所以，

所以f（x）在（0，2）上单调递增.

（2）函数f（x）的定义域为（－2，2）．

因为，

所以函数f（x）为奇函数，

又f（0）＝0，所以函数f（x）在（－2，2）上单调递增，

原不等式可化为不等式，

因此解得，

所以原不等式的解集为．

20．已知函数．

(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数a的取值区间；

（2）由题得方程的两根分别为1、，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.

【详解】（1）函数的对称轴，依题意得或，

解得或，

所以实数的取值范围为.

（2）由，得方程的两根分别为1、，

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

21．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）

【答案】(1)车流密度的取值范围是

(2)隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.

【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；

（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.

【详解】（1）解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），

代入，解得，

所以.

当时，，符合题意；

当时，令，解得，所以.

所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.

（2）解：由题意得，

当时，为增函数，所以，当时等号成立；

当时，

.

当且仅当，即时等号成立.

所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.

22．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．

(1)已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

(2)若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．

【答案】(1)为“局部奇函数”，理由见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；

（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.

【详解】（1）当时，方程，即有解，

解得，

所以为“局部奇函数”.

（2）当时，可化为

，

令，则，

从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，

令，

①当时，在上有解，

由，即，解得；

②当时，在上有解等价于

此时无解.

则所求实数的取值范围是.

令，因为，所以，

则，

令，对称轴为，

当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；

当时，时，取得最小值，，

即时，.

综上，当时，；

当时，.