2021-2022学年浙江省台永六校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省台永六校联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由，得，

故选：A

2．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定理解判断.

【详解】∵命题，，则：，.

故选：D.

3．设函数，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】先求出，进而求出.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

故选：A

4．若函数，则在上的最大值与最小值之和为（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】利用换元法求，再结合二次函数的性质求最值.

【详解】令，则，

∴，即，

∵的开口向下，对称轴为，则在上单调递增，在上单调递减，

∴在上的最大值为，最小值为，则.

故选：B.

5．已知，，且，则（    ）

A．为定值 B．的最小值为

C．为定值 D．的最小值为6

【答案】B

【分析】根据基本不等式即可根据选项逐一求解.

【详解】由，，且得，当且仅当时取等号，故A不正确，

，当且仅当时取等号，故B正确,

，当且仅当时取等号，故C错误，

，当且仅当时取等号，故D错误.

故选：B

6．设、，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.

【详解】设，则函数在、上均为增函数，

又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，

若，则，即；

若，则，可得.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

7．已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围.

【详解】画出的图象，如下：

显然要满足，则要，且，

解得：.

故选：C

8．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的，都有恒成立，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知，可令，即可求得的值.

【详解】∵函数的定义域为且有意义，

∴令，则，

又∵是上的单调函数，

∴存在唯一，使，且，

∴由已知，有，即，

∴.

故选：D.

二、多选题

9．下列等式不成立的是（    ）

A．（，且） B．（，且）

C． D．

【答案】AD

【分析】根据根式、分数指数幂的定义与运算逐项分析判断.

【详解】对A：∵（，且），A不成立；

对B：（，且），B成立；

对C：可得，则，

∴，C成立；

对D：∵，D不成立；

故选：AD.

10．已知函数，则下列描述一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．在R上是增函数 D．的解集为

【答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义判断出为奇函数，A正确，B错误；

求出在上单调递增，结合函数奇偶性得到在R上是增函数，C正确；

根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到D正确.

【详解】定义域为R，且，

故为奇函数，A正确，B错误；

当时，开口向上，对称轴为，

在上单调递增，

根据为奇函数，得到在R上是增函数，C正确；

因为为奇函数，故变形为，

又在R上是增函数，所以，

解得：，D正确..

故选：ACD

11．设函数的定义域为D，如果对，都，使得，称函数为“关联函数”，则下列函数为“关联函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】AC选项可举出反例；

B选项，对，存在，使得；

D选项，对，存在，使得.

【详解】A选项，在R上恒大于0，不妨取，，令，无解，

此时不存在，使得，故A错误；

单调递增，且定义域和值域均为R，所以对，存在，此时，故，B正确；

，不妨取，，

令，即，由于，无解，

此时不存在，使得，故C错误；

单调递增，且定义域和值域均为R，所以对，存在，此时，

即，D正确；

故选：BD

12．设函数，若实数m，n满足，且，记，则M的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据得到，分，，，，与，三种情况，前两种情况推导出矛盾，第三种情况得到，结合得到，由求出取值范围，求出答案.

【详解】，即，

所以，

若，，或，，

此时，代入中，

，矛盾，舍去；

当，，即，，此时，即，

因为，所以，解得：，

与取交集得：，

此时，

因为，所以，

，BC符合要求，

故选：BC

三、填空题

13．___________.

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.

【详解】,

故答案为：

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】利用抽象函数的定义域可得出，解该不等式，可得出函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，有，即，

解得或.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

15．设函数，若函数在上为减函数，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】在上为减函数，即当和时，均单调递减，同时当时函数图象右端点的纵坐标不小于当时函数图象左端点的纵坐标即可.

【详解】①当时，，

若要使在单调递减，需满足或，

解得，

②当时，，在单调递减恒成立，

③，解得，

综上所述，若在上为减函数，则有，

∴的取值范围是.

故答案为：.

16．设函数，，若对于，或成立，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】分m=0， ，进行分类，针对，，讨论，对，恒成立求解.

【详解】解：当m=0时，，，

所以对，或不恒成立，

当时，对，，则，

要使对，或成立，

则对恒成立，

因为的对称轴 ，

所以，

解得，此时，

当时，对，，则，

要使对，或成立，

则，对恒成立，

因为的图象此时开口向下，，对不恒成立，

所以实数m的取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．集合，.

(1)求；

(2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求解不等式得到，，从而求出；

（2）根据“”是“”的必要条件得到是的子集，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】（1），

所以或，

，

故或或

（2）若“”是“”的必要条件，则是的子集，

若，故，解得：，

若，则，解得：，

综上：，故实数a的取值范围是

18．已知幂函数在上单调递增.

(1)求m的值和函数的解析式；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）根据幂函数的性质即可得，结合为自然数，即可求解，

（2）根据的单调性和奇偶性即可转化为指数不等式进行求解.

【详解】（1）由于幂函数在上单调递增,

所以，

解得，又,所以,

；

（2）由可知：为奇函数，且在定义域内单调递增，

所以由得,

故，

解得，

故不等式的解为

19．已知二次函数.

(1)若，请利用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；

(2)求函数在区间上的最小值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）利用求出，利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论；

（2）先得到，由对勾函数的性质得到函数单调性，再分与两种情况进行求解，得到答案.

【详解】（1），解得：，

故，此时为，

任取且，

则，

因为且，

，，

则，即，

故函数在区间上单调递增；

（2），

由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，

若，即时，则在上单调递增，

，

若，即时，则在上单调递减，在上单调递增，

，

综上：.

20．已知函数，.

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)若关于x的不等式对于恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析.

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断，

（2）分离参数,构造函数，利用单调性求解最值即可.

【详解】（1）为奇函数.证明如下：

由，得，

令，则的定义域为，故定义域关于原点对称，

，故为奇函数，即为奇函数.

（2）由得，

，由于,所以，

由于，所以，故，

记，由于在上单调递增，故，所以，故的最大值为，所以

21．如图，是矩形，矩形上方是一个以为直径的半圆，且，，点、在及线段、上运动，且.

(1)当和之间的距离为（如图1）时，求此时的面积；

(2)设和之间的距离为，试将的面积表示成关于的函数并求出的最大值.

【答案】(1)

(2)，的最大值为

【分析】（1）取线段的中点，则，可知，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式可求得的面积；

（2）分、两种情况讨论，结合三角形的面积公式可得出的解析式，结合分段函数的基本性质可求得函数的最大值.

【详解】（1）解：取线段的中点，则，

在矩形中，，，则半圆的半径为，由题意可知，

所以，，

所以，.

（2）解：①当时，点在线段上运动（不包括点），

此时点到直线的距离为，则；

②当时，取线段的中点，则，

，，

此时，，

所以，.

当时，；

当时，，当且仅当时，等号成立.

综上所述，，的最大值为.

22．函数，其中.

(1)当时，写出函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最大值.

【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为

(2)当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为

【分析】（1）考虑与，两种情况，结合二次函数的开口方向和对称轴，求出单调区间；

（2）对进行分类讨论，得到不同取值范围下的函数单调性，从而求出最大值.

【详解】（1）当时，，

当时，开口向上，对称轴为，

故在上，单调递增，

当时，开口向下，对称轴为，

故在上单调递增，在上单调递减，

综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2），

当时，在上，，对称轴为，

故在上单调递增，最大值为；

当时，在上，，

在上，，

此时在上单调递增，在上，单调递减，在上单调递增，

且，，，

最大值为，

当时，在上，，

在上，，

此时在上单调递增，在上，单调递减，在上单调递增，

且，，，

最大值为；

当时，在上，，对称轴为，

故在上单调递增，在上单调递减，

最大值为；

当时，在上，，对称轴为，

故在上单调递增，

最大值为；

综上：当时，最大值为；

当时，最大值为；

当时，最大值为.