浙江省宁波六校联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前

2021学年第二学期宁波六校联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

绝密★考试结束前

选择题部分（共60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

1．已知向量，，则的坐标为（      ）

A．           B．               C．              D．

2．已知x，，若（i为虚数单位），则x的值为（      ）

A．                B．1                    C．                  D．2

3．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（      ）

A．8                  B．                C．16                   D．

4．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（      ）

A．，，                  B．，，

C．，，                     D．，，

5．已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（      ）

A．2                  B．               C．              D．1

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当角C取得最大值时，三角形是（      ）

A．锐角三角形         B．直角三角形           C．钝角三角形           D．等腰直角三角形

7．如图，在△ABC中，已知，，，，，线段AM和BN交于点P，则NPM的余弦值为（      ）

A．             B．                C．              D．

8．已知，为平面内两个不共线的向量，满足，，，则与的夹角的最小值是（      ）

A．                B．                  C．                   D．

二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9．下列命题中为假命题的是（      ）

A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱

D．正四棱柱是平行六面体

10．已知复数，（i为虚数单位），若为实数，则（      ）

A．                                     B．

C．为纯虚数                              D．复数在复平面内对应的点位于第四象限

11．已知△ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（      ）

A．

B．若，则

C．若，，则

D．若，，则当取得最小值时，

12．已知点A，B，C，D是半径为2的球面上不共面的四个点，且，则四面体ABCD体积的值可能为（      ）

A．3                  B．4                    C．                D．6

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，若，则实数           ．

14．设复数满足（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第一象限，则           ．

15．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为           ．

16．已知△ABC中，，且的最小值为，则           ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）．

18．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，，侧面的中心为O，点E是侧棱上的一个动点．

（Ⅰ）求直三棱柱的侧面积；

（Ⅱ）求证：三棱锥的体积为定值．

19．（本题满分12分）

已知点，，O为坐标原点，函数．

（Ⅰ）求函数的解析式和最小正周期；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC的角平分线，，，若，求△ACD面积．

20．（本题满分12分）

如图，在平行四边形ABCD中，，，，E为CD中点，且，（）．

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）求的取值范围．

21．（本题满分12分）

如图，某专用零件四边形ABCD由平面图是一个半圆形钢板切割而成，其中O为圆心，，OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，设．

（Ⅰ）当时，求该零件的面积；

（Ⅱ）若该零件周长为函数，且恒成立，求实数m的取值范围．

22．（本题满分12分）

如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．

（Ⅰ）若点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；

（Ⅱ）求该八面体表面积S的取值范围．

2021学年第二学期宁波六校联盟期中联考

高一年级数学学科参考答案

命题：余姚八中    韩丹娜  13566093685

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

1．【答案】B

【解析】，，∴．故选：B．

2．【答案】D

【解析】，∴，∴，∴．

故选：D

3．【答案】B

【解析】，由，∴．

故选：B．

4．【答案】C

【解析】由正弦定理可得，

对于选项A，，，，有，∴，∴，故△ABC有唯一解．

对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解．

对于选项C，，，，有，∴，又，故△ABC有两个解．

对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解．

故选：C．

5．【答案】B

【解析】令，x，，则表示与点距离为1的点集，即，此时，表示圆上点到原点距离，

所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，而圆心到原点距离为，且半径为1，

所以圆上点到原点的距离的最大值为．

故选：B．

6．【答案】C

【解析】由正弦定理得，即．

又．

当且仅当，即时，取到最小值，从而角C取到最大值．

当时，，则．

所以，从而．故选：C．

7．【答案】A

【解析】法一：

坐标法：如图以B为原点建立平面直角坐标系，则，，，，，计算可得，，可得，，

所以

法二：

基底法

设，，可得，，

可得．

故选：A．

8．【答案】C

【解析】设，，并设，，；

，，；

由题意：，

由余弦定理：，

，

∴

即，

两边同时平方，整理得：，

再一次两边平方得：，

由于，；

由于，所以；

∴，；

在△ABM中，，，

，

，

∴，

解得：，

．

故选：C．

二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】ABC

【解析】

对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体；

对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立；

对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体．

故选：ABC．

10．【答案】AD

【解析】因为，，

所以

，

因为为实数，所以，解得，所以A正确，

，，所以，所以B错误，

为纯虚数，所以C错误，

，所以D正确，

故选：AD．

11．【答案】AC

【解析】设AB的中点为D，则，则，即，由重心性质可知成立，故A正确；

，则，即，所以E为边BC上靠近点B的三等分点，则△ABE的面积是△ABC面积的，故B错误；

在△ABC中，设D为BC的中点，则；，故C正确；

当取得最小值时，，则当时，取得最小值，此时，故D错误．

故选：AC．

12．【答案】AB

【解析】设O为A，B，C，D所在球面的球心，

∴．

∵，且E，F分别是AB，CD的中点，

∴，，且，

∴，

则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，

则，

∵E是AB中点，

∴，

d为点A到平面CDE距离，，

又，h为点E到CD距离，，

∴，

当且仅当E，O，F三点共线，且时，等号成立．

故选：AB．

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】1

【解析】∵，，∴，∵，，∴，∴

14．【答案】

【解析】，所以，得，．

15．【答案】

【解析】根据圆内接四边形的性质可知，，

所以，

即，

在△BAD中，，

故，

由题意可知：，

则，

所以，

故，

当且仅当时等号取得，

又，所以，

则，则实数的最小值为．

16．【答案】4

【解析】记，则，．又，则B、D、E三点共线．

当与垂直时，有最小值，所以．所以．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）因为复数，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，

因为点满足方程，

所以，

∴

（Ⅱ）∵向量与复数z对应，∴，

由题意可知，如图，，

∴

18．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）∵在直三棱柱中，，，，

∴底面ABC和均是等腰直角三角形，侧面均是矩形，

∴

（Ⅱ）三棱锥的体积即为三棱锥的体积，

∵点E是侧棱上的一个动点，

∴的面积不变，又O的位置不变，

∴三棱锥的高不变，

∴三棱锥的体积不变．

19．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）∵，，

∴，，

∴

∴

（Ⅱ）∵，

∴，

∴，

即∴，

∴，

∵△ABC为锐角三角形，

∴

如图，

∵AD为BAC的角平分线，，

∴，

∴，，

设，∴，

由余弦定理可知，，

∴，

∴，

∴

20．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，，，，

∴，

建立如图坐标系，

则，，，，

∵E为CD中点，

故，

∵，故，

∴，，

∵，∴，

所以，

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，

所以，，

，

∵

当时，的最大值为，

当时，最小值为．

21．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）∵OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，

∵，

∴，

∵，∴

∴．

（Ⅱ）由题意，在△BOC中，，由正弦定理

∴

同理在△AOD中，，，

由正弦定理

∴

∴，

令

∴

∴时，即，的最大值为5

∵，

∴恒成立，

∴

∴或

22．（本题满分10分）

解：

（Ⅰ）由点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，

∴，

∴．

（Ⅱ）如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为，且的中心为O，过点O作，垂足为G．

由对称性，不妨设，

则，

，

．

设AD的中点为H，如图2，

则，

，

所以

．

因为，

所以，

则，

故，

所以，

所以此八面体的表面积S的取值范围为．