2021-2022学年广西桂林市临桂区五通中学高一下学期期中段考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西桂林市临桂区五通中学高一下学期期中段考数学试题

一、单选题

1．化为弧度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，正确运算，即可求解.

【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得.

故选：D.

2．在中，，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】由正弦定理即可求得的值.

【详解】

故选：A

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】解：由诱导公式可得，所以，.

因此，.

故选：D.

4．在中，D为的中点，E为上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.

【详解】由已知，D为的中点，所以，

所以.

故选：D.

5．已知平面向量，，且，则等于（    ）

A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）

【答案】D

【分析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解.

【详解】解：因为，，且，

所以m=-4，，

所以=（-4，-8），

故选：D

6．已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】B

【分析】判断各选项向量组是否共线即可得出答案.

【详解】因为，所以和共线，所以和不能作为基底.

故选：B.

7．已知平面向量，，若，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据公式先求数量积，再利用向量的坐标运算求出向量，最后根据求模公式即可得解.

【详解】，

所以，

所以，

故选：D.

8．已知，，与的夹角为，则在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，，设与上的夹角为可得，由在上的投影为可得答案.

【详解】因为，，与的夹角为，

所以，

，所以，

设与上的夹角为，则，

所以，

可得在上的投影为.

故选：A.

9．函数的的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将给定函数变形成，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.

【详解】函数，由得：

，

所以函数的的单调递减区间是：.

故选：B

10．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用图象的变换可得，进而可得，即求.

【详解】由题可得，又，

∴函数为偶函数，

∴，即，,

∴时，有最小值为.

故选：B

11．如图所示，A，B，C三点共线，且，设，，则下列等式中成立的是（    ）

A．＝－＋ B．＝－＋2 C．＝－ D．＝－＋2

【答案】A

【分析】由平面向量基本定理求解．

【详解】因为，

所以，

故选：A．

12．已知平面向量，满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量垂直的性质、向量的模长公式以及夹角公式求解.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以，故B，C，D错误.

故选：A.

二、多选题

13．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ）

A． B．α为钝角

C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限

【答案】ACD

【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可

【详解】角θ的终边经过点，，A正确．

θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确．

因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．

故选：ACD

14．在直角坐标系xOy中，，，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值是（　　）

A．1 B．－1 C．3 D．－6

【答案】BD

【分析】分∠A＝90°，∠B＝90°，∠C＝90°三种情况依次求解即可.

【详解】若∠A＝90°，则，k＝－6；若∠B＝90°，则，k＝－1；

若∠C＝90°，则无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数．

故选：BD.

15．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的图像的对称中心是，

C．函数的递增区间是，

D．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得到

【答案】BCD

【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及图象变换的概念判断各选项．

【详解】对于A，时，，时，，不是函数的周期，A错；

对于B，，，因此函数图象对称中心是，，B正确；

对于C，，，，，

是增函数，在上是增函数，在上是减函数，因此原函数的增区间是，C正确；

对于D，函数的图像向右平移个单位得图象的函数解析式为，D正确．

故选：BCD．

三、填空题

16．已知等边的边长为3，则________

【答案】

【分析】根据平面数量积概念求解即可.

【详解】.

故答案为：

17．已知向量＝(cos θ，sin θ)，向量＝(，0)，则的最大值为______．

【答案】##

【分析】利用向量坐标的求模公式展开，结合余弦函数的最值即可得解.

【详解】2＝(2cos θ－，2sin θ)，

＝，

当且仅当cos θ＝－1时，取最大值.

故答案为：.

18．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】转化为值域问题，由换元法求解

【详解】令，则，．

令，则在上单调递增，

，，．

故答案为：

19．已知函数，且此函数的图像如图所示，则点的坐标是________．

【答案】

【分析】由函数的图象求得最小值正周期为，得出，再结合，求得的值，即可求解.

【详解】由函数的图象，可得，可得，

则，所以，

又由，可得，

解得，解得，

因为，所以，

所以点的坐标是.

故答案为：.

20．设函数，则下列结论中正确的序号为___________.

①的最小正周期为；

②的图象关于点对称；

③在区间上单调递增；

④在区间上的最大值为；

⑤的图象的一条对称轴为.

【答案】①③⑤

【分析】求出函数的最小正周期即可判断①；

求出，即可判断②；

求出函数的单调增区间，判断是否为其子集，即可判断③；

根据，利用整体思想，求出函数的最大值，即可判断④；

求出函数的对称轴，即可判断⑤.

【详解】解：①中，∵，∴①对；

②中，当时，，∴的图象不关于点对称，∴②错；

③中，∵的增区间为，∴，，当时，，，所以在区间上单调递增，∴③对；

④中，∵，∴，∴，∴，∴④错；

⑤中，∵的对称轴为，∴，.当时，对称轴，∴⑤对.

故答案为：①③⑤.

四、解答题

21．（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图

（2）求下列未知向量；

（3）化简下列式子

【答案】（1）答案见解析

（2）

（3）

【分析】（1）根据正弦函数的五点法完成表格并画出图象即可：

（2）根据向量运算律计算可得答案；

（3）根据向量运算律化简可得答案.

【详解】（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图

（2）由得，所以；

（3）.

22．解决下列问题

(1)已知，且，求点的坐标

(2)求下列三角函数值.

，，

【答案】(1)；

(2)；；.

【分析】(1) 设，由向量的坐标运算求解即可；

(2)根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可.

【详解】（1）解：设，则有，

又因为,,

所以,,

又因为，

所以，解得，

所以；

（2）解：；

；

.

23．

(1)化简：；

(2)已知角的终边经过点，求，的值；

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）利用诱导公式求解即可.

（2）利用三角函数定义求解即可.

【详解】（1）.

（2）因为角的终边经过点，所以，

所以，.

24．已知向量，，，．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据平面向量的线性运算的坐标表示即可求得结果；（2）由即可得到.

【详解】（1）；

（2）由可得，，

又，则，解得.

25．知非零向量和不共线.

（1）如果＝＋，＝2＋8，＝3（－），求证：A，B，D三点共线；

（2）欲使向量k＋与＋k平行，试确定实数k的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）±1.

【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；

（2）利用向量共线可得，又非零向量和不共线，只能，求解即可.

【详解】（1）因为=＋==5，

且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线.

（2）因为k＋与＋k平行，且两向量都为非零向量，

所以存在实数λ使得k＋=＋k成立，

即,

因为e1和e2不共线，

所以所以k＝±1.

26．在中，已知，，在线段上，且，，设，．

(1)用向量，表示；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；

（2）利用基底法求向量的数量积.

【详解】（1）由题得；

（2）由已知得

.

27．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．

(1)若与垂直，求；

(2)若，求的最小值及对应的的值.

【答案】(1)

(2)时，最小值为

【分析】（1）由数量积为0求得后可得；

（2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值．

【详解】（1）因为与垂直，

所以，

所以，，

所以，

；

（2）

，

所以时，取得最小值．