第17章 勾股定理 专题 人教版八年级数学下册课件

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综合专题讲解第十七章 勾股定理专题一：勾股定理的方程思想 专题二：最短路径 专题目录例1 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，求 △ABE 的面积.分析：39x9 - x求 △ABE 的面积求 AE 的长，设 AE = x BE = ED = 9 - x9 - x在 Rt△ABE 中，BE2 = AB2 + AE232 + x2 = (9 - x)2专题一：勾股定理的方程思想解：由折叠可知 ED = BE.设 AE = x cm，则 ED = BE = (9 - x) cm．在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2，∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4.∴ △ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2).39x9 - x9 - x【应对策略】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解．例2 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 试求 △ABC 的面积．分析：求 △ABC 的面积 17 9 10 求 AD 的长观察图形，AD 既是 Rt△ABD 的一直角边也是Rt△ACD 的一直角边AB2 - BD2 = AC2 - CD2 设 CD = x ，列方程求解解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2．设 CD = x，则 BD = 9 + x．故 172 - (9 + x)2 = 102 - x2，解得 x = 6.∴ AD2 = AC2 − CD2 = 64．∴ AD = 8.∴ S△ABC = ×9×8 = 36．17 9 10 x 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm，动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t s，当 t = ________s 时， △ABP 为直角三角形.分析： 使△ABP 为直角三角形，且动点 P 在射线 BC 上运动，则需分两种情况讨论：①∠APB = 90°； ②∠BAP = 90°；分别求出此时 t 的值.解：∵∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm，∴ BC = 4 cm.① 当∠APB = 90° 时，点 P 与点 C 重合， BP = BC = 4 cm，∴ t = 4÷2 = 2 s.5 3 ② 当∠BAP = 90° 时，BP = 2t cm，CP = (2t - 4) cm， AC = 2t cm，在 Rt△ACP 中，AP2 = AC2 + CP2 = 32 + (2t - 4)2.在 Rt△BAP 中，AP2 = BP2 - AB2 = (2t)2 - 52. 32 + (2t - 4)2 = (2t)2 - 52， 解得 t = 综上，当 t = 2 s 或者 时， △ABP 为直角三角形. 5 3 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 8. 斜边 AB 中的垂直平分线交 BC 于点 D ， 则 CD = _________. 3 解：(1) 如图① 作 AD⊥BC，∵ AB = AC = 5，BC = 8，∴ BD = CD = 4 cm.∴ 由勾股定理得 AD = 3.∴ S△ABC = BC· AD = ×3×8 = 12.2. 如图，等腰三角形 ABC 的底边长为 8 cm，腰长为 5 cm，一动点 P 在底边上从点 B 向点 C 以 1 cm/s 的速度移动.(1) 求 △ABC 的面积；(2) 请你探究：当点 P 运动多长时间时，点 P 与顶点 A 的连线 PA 与腰垂直？5 3 5 (2) 分两种情况讨论：如图①，当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC，BP = t，PC = 8 - t，PD = 4 - t，∵ AP2 = PD2 + AD2 = PC2 - AC2，∴ (4 - t )2 + 32 = (8 - t)2 - 52 .∴ t = 1.75. ∴ PD = 2.25.如图②，当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，同理可证得 PD = 2.25.∴ BP = 4 + 2.25 = 6.25. ∴ t = 6.25.综上所述，当 P 运动 1.75s 或 6.25s 时， P 点与顶点 A 的连线 PA 与腰垂直.专题二：最短路径 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：根据展开图的不同形式，运用勾股定理算出最短路线长.解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式：①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展成平面图形，如下：解：① 在 Rt△ABC1中，②在 Rt△ACC1 中，③在 Rt△AB1C1中，∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5.例4 如图，∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 5，Q、R 分别是 AO、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值( ) A.5 B. C. 10 D.分析：本题考查轴对称—最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识. 可过点 P 作关于 OA、OB 对称点，分别为 M、N，当点 R、Q 在 MN 上时，△PQR 周长为 PR + RQ + QP = MN，此时周长最小.解：分别做点 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连接 OM、ON、MN，MN 交 OA、OB 于点 Q、R，连接 PR、PQ，此时 △PQR 周长的最小值等于 MN.由轴对称性质可得，OM = ON = OP = 5，∠MOA = ∠POA，∠NOB = ∠POB，则∠MON = 2∠AOB = 2×45° = 90°.在 Rt△MON 中，例5 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 8，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， PE⊥AC 于点 E，则 PD + PE 的长是( ) A. 4.8 B. 4.8 或 3.8 C. 3.8 D. 5分析：本题考查勾股定理，等腰三角形的性质和面积法的应用，过点 A 作 AF⊥BC 于 F ，连接 AP.首先由等腰三角形的性质得到 BF = 4，再有勾股定理求出 AF 的长，然后由面积法求解即可.∵ 在 Rt△ABC 中，AB = AC = 5，BC = 8，∴ BF = 4.∴ AF2 = AB2 - BF2 = 9.∴ AF = 3.∵ S△ABC = S△ABP + S△APC ∴ ×8×3 = ×5×PD + ×5×PE∴ 12 = ×5×(PD + PE)，即 PD + PE = 4.8.解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F ，连接 AP.【应对策略】最短路径问题①根据展开图的不同形式，运用勾股定理算出最短路线长．②综合应用了轴对称(找对称点)、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识.1. 有一圆柱体高为 8 cm，底面圆的半径为2 cm，如图. 在 AA1 上的点 Q 处有一只蜘蛛，QA1 = 3 cm，在 BB1 上的点 P 处有粘住了一只苍蝇，PB = 2 cm. 求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长 (π 取 3).解：如图，沿 AA1剪开，过 Q 作 QM⊥BB1于 M， 连接 QP.则 PM = 8 - 3 - 2 = 3 (cm)，QM = A1B1 = ×2×π×2= 6 (cm)．在 Rt△QMP 中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm．M2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，点 M 在 AC 边上，且 AM = 1， MC = 4，动点 P 在 AB 边上，连接 PC， PM，则 PC + PM 的最小值是( ) A. B. 6 C. D. 7解：过点 C 作 CO⊥AB 于 O，延长 CO 到 C′，使 OC′ = OC，连接 MC′，交 AB 于 P，此时 MC′ = PM + PC′ = PM + PC 的值最小，连接 AC′ .∵ CO⊥AB，AC = BC，∠ACB = 90°，∴ ∠ACO = ×90° = 45°.∵ CO = OC′ ，CO⊥AB，∴ AC′ = CA = AM + MC = 5，∴ ∠OC′A = ∠OCA = 45°.∴ ∠C′AC = 90°. ∴ C′A⊥AC.∴ MC′ = .∴ PC + PM 的最小值是 .3. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6， D 为 BC 上一动点(不与 B、C 重合)，DE⊥AB ， DF⊥AC，垂足分别为 E、F，则 DE + DF =__________.