湖南省邵阳市隆回县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

这是一份湖南省邵阳市隆回县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省邵阳市隆回县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1．如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（　　）

A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
5．质检部门为了检测某品牌汽车的质量，从同一批次共10万件产品中随机抽取2000件进行检测，共检测出次品3件，则估计在这一批次的10万产品中次品数约为（　　）
A．15件 B．30件 C．150件 D．1500件
6．若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＜5 B．k＞5 C．k≤5 D．k≥5
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（　　）

A． B． C． D．
8．如图，已知矩形ABCD中，E为BC边上一点，DF⊥AE于点F，且AB＝6，AD＝12，AE＝10，则DF的长为（　　）

A．5 B． C． D．8
9．以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y＝的图象经过点D，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．16 C．18 D．20
10．若＝＝（a+c≠0），则＝（　　）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 　 　．
12．若方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为 　 　．
13．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，S△ABC＝4，则S△A′B′C′＝　 　．
14．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　 　．

15．一组数据：1，2，3，3，4，5；这组数据的方差为　 　．
16．某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了200件进行检查发现有4件次品，据此估计这批产品的次品率约为 　 　．
17．计算cos30°cos45°•cos60°＝　 　（结果保留根号）．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝6，AC＝8，设∠BCD＝α，则tanα＝　 　．

19．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为　 　．

20．将4个数a，b，c，d排成2行2列，记成＝ad﹣bc，若＝5，则x＝　 　．
三、解答题（21～24小题每题6分。25～26小题每题8分，共40分。答题时要写出解答过程）
21．计算：（）﹣1﹣tan60°+（π﹣2）0．
22．解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
23．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
24．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝6，AD＝4，CE＝10．
（1）求证：△ADE∽△ACB．
（2）求AE的长．

25．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量某古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角∠DAB＝45°，再沿BA方向后退15米至C处，测得古塔顶端点D的仰角∠DCB＝30°，求该古塔BD的高度（结果保留根号）．

26．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△CDG∽△EAD．
（2）若正方形DEFG的面积为4，求AC的长（结果保留根号）．

27．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第一、三象限的交点分别为A（5，1），B（﹣2，m）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△AOB的面积．



参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1．如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（　　）

A． B． C． D．
【分析】把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．
解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式．
2．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求得根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：x2﹣3x+3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算即可．
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴tanB＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
5．质检部门为了检测某品牌汽车的质量，从同一批次共10万件产品中随机抽取2000件进行检测，共检测出次品3件，则估计在这一批次的10万产品中次品数约为（　　）
A．15件 B．30件 C．150件 D．1500件
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据检测出次品3件，直接相除得出答案即可．
解：∵随机抽取2000件进行检测，检测出次品3件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批次产品中的次品件数是：100000×＝150（件），
故选：C．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
6．若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k＜5 B．k＞5 C．k≤5 D．k≥5
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得到Δ＝42﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜5．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△ABC中，AB＝4，sinA＝，
∴BC＝AB•sinA＝，
根据勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝．
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
8．如图，已知矩形ABCD中，E为BC边上一点，DF⊥AE于点F，且AB＝6，AD＝12，AE＝10，则DF的长为（　　）

A．5 B． C． D．8
【分析】通过证明△ADF∽△EAB，可得，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵DF⊥AF，
∴∠DFA＝∠B＝90°，
∴△ADF∽△EAB，
∴，
∴，
∴DF＝，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
9．以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y＝的图象经过点D，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．16 C．18 D．20
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
解：∵双曲线y＝经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是4，
∴正方形ABCD的面积是4×4＝16．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
10．若＝＝（a+c≠0），则＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】根据已知条件得到a＝2b，c＝2d，代入代数式即可得到结论．
解：∵，
∴a＝2b，c＝2d，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比例线段，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【分析】根据反比例函数的性质得k+1＜0，然后解不等式即可．
解：根据题意得k+1＜0，
解得k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
12．若方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为 　﹣2　．
【分析】先利用根与系数的关系求得x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝﹣2，再整体代入所求的代数式通分后的式子即可求解．
解：∵方程x2﹣4x﹣2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝﹣2，
∴＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，S△ABC＝4，则S△A′B′C′＝　16　．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝（）2＝1：4，
∵S△ABC＝4，
∴S△A′B′C′＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　4　．

【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°
∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°
∴∠A＝∠ECD
∴△ABC∽△CDE
∴
∴AB＝4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识．
15．一组数据：1，2，3，3，4，5；这组数据的方差为　　．
【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
解：这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+2（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是熟记方差公式，此题难度不大．
16．某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了200件进行检查发现有4件次品，据此估计这批产品的次品率约为 　2%　．
【分析】用次品的件数除以抽取的总数即可求得产品的次品率．
解：∵共200件，次品4件，
∴这批产品的次品率为＝＝2%，
故答案为：2%．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解计算的公式，比较简单．
17．计算cos30°cos45°•cos60°＝　　（结果保留根号）．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．
解：原式＝××
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝6，AC＝8，设∠BCD＝α，则tanα＝　　．

【分析】证明∠BCD＝∠A，在Rt△ABC中求tanA．
解：由勾股定理知，AB2＝BC2+AC2＝36+64＝100，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°
∴∠α+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∴∠α＝∠A，
∴tanα＝tanA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为　16　．

【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，
在Rt△AOB中，∵AB＝10，sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝＝，
∴BO＝×10＝6，
∴AB2＝OB2+AO2，
∴AO＝＝＝8，
∴AC＝2AO＝16．
故答案为：16．

【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．
20．将4个数a，b，c，d排成2行2列，记成＝ad﹣bc，若＝5，则x＝　4或﹣2　．
【分析】根据＝ad﹣bc，可以将＝5变形，转化为一元二次方程，然后求解即可．
解：∵＝ad﹣bc，＝5，
∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）×2＝5，
解得x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：4或﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确新定义，将所求问题转化为一元二次方程．
三、解答题（21～24小题每题6分。25～26小题每题8分，共40分。答题时要写出解答过程）
21．计算：（）﹣1﹣tan60°+（π﹣2）0．
【分析】利用负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可．
解：原式＝3﹣×+1
＝3﹣3+1
＝1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
22．解方程：2x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】利用因式分解法把原方程化为x﹣2＝0或2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（x﹣2）（2x+1）＝0，
x﹣2＝0或2x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
23．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
（2）利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，
∴Δ＝4+4k≥0，
解得：k≥﹣1；
（2）设方程另一根为a，
由根与系数的关系可得：1+a＝﹣2，
解得：a＝﹣3，
则方程的另一根为﹣3．
【点评】此题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝6，AD＝4，CE＝10．
（1）求证：△ADE∽△ACB．
（2）求AE的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACB；
（2）根据相似三角形的性质得＝，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，
则，
∵AB＝6，AD＝4，CE＝10，
∴，＝，
解得：AE1＝2，AE2＝﹣12（舍去），
∴AE的长是2．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解本题要熟练掌握相似三角形的判定与性质的基本知识．
25．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量某古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角∠DAB＝45°，再沿BA方向后退15米至C处，测得古塔顶端点D的仰角∠DCB＝30°，求该古塔BD的高度（结果保留根号）．

【分析】先根据题意得出∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB＝BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．
解：根据题意可知：
∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝15m．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD＝，
∴＝，
则BC＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝15，
解得：BD＝．
答：古塔BD的高度为米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
26．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△CDG∽△EAD．
（2）若正方形DEFG的面积为4，求AC的长（结果保留根号）．

【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠A＝45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠C＝∠AED，故可得出∠EDA＝∠CDG＝45°，即可得出结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，由正方形DEFG的面积为16cm2可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝45°，
∴△ADE∽△DGC（AA）；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵正方形DEFG的面积为4cm2，
∴DE＝AE＝2cm，
∴AB＝3DE＝6cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝×6＝3cm，
在Rt△ADE中，
∵DE＝AE＝2cm，
∴AD＝＝2cm，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴△ADE∽△ACH，
∴＝，
∴＝，
解得AC＝3cm．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
27．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第一、三象限的交点分别为A（5，1），B（﹣2，m）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，由直线解析式求得C（，0），然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC即可得出结论．
解：（1）∵点A（5，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝5×1＝5，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵点B（﹣2，m）在反比例函数的图象上，
∴﹣2m＝5，
∴m＝﹣，
∴B（﹣2，﹣），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣；
（2）设直线AB与x轴的交点为C，
则y＝0，即x﹣＝0，解得x＝3，
∴C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×＝+＝．

【点评】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解本题的关键是求得交点坐标．