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2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共48页。试卷主要包含了解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. -2值是（ ）
A. 2 B. C. D.
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=110º，则∠2的度数是 （ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
4. 若关于x的没有等式组的解在数轴上如图所示，则这个没有等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校10名篮球运动员年龄情况，统计如下表：
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14
6. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正六边形 D. 圆
7. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
8. 下列运算正确是（ ）
A. （a3）2=a5 B. a2•a3=a5 C. a6÷a2=a3 D. 3a2﹣2a2=1
9. 如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 70° B. 45° C. 35° D. 30°
10. 已知b＞0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：mn2-2mn+m=_________.
12. 一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
13. 若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为_____．
14. 红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有_____人．
15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．
16. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．
三、解 答 题
17. 计算：2sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
18. 先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣3．
19. 为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育的投入，已知2015年该县投入基础教育5000万元，2017年投入基础教育7200万元．求该县这两年投入基础教育的年平均增长率．
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，没有写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
21. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．农历五月初五早晨，小王的妈妈用没有透明袋子装着一些粽子（粽子除食材没有同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为．
（1）求袋子中薯粉粽的个数；
（2）小王次任意拿出一个粽子（没有放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率．
23. 如图，已知函数（x>0）图象点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（没有与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的值；
（3）在（2）的条件下，当S取到值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. -2的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的值是2，
故选：A．
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】6700000=6.7×106．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=110º，则∠2的度数是 （ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【正确答案】B
【详解】已知a∥b，∠1=110º，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2=180°-∠1=180°-110°=70°，故选B.
4. 若关于x的没有等式组的解在数轴上如图所示，则这个没有等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．
【详解】解：在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，这个没有等式组的解是．
故选D．
5. 某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14
【正确答案】B
【详解】10个数，处于中间位置的是13和13，
因而中位数是：(13+13)÷2=13．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
6. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正六边形 D. 圆
【正确答案】A
【详解】解： A、是轴对称图形，没有是对称图形，符合题意；
B、没有轴对称图形，是对称图形，没有合题意；
C、是轴对称图形，也是对称图形，没有合题意；
D、是轴对称图形，也是对称图形，没有合题意．
故选A．
本题考查对称图形；轴对称图形．
7. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
【正确答案】C
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，CD=AD=6cm，
∵OE∥DC，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE=CD=3cm．
故选：C．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. （a3）2=a5 B. a2•a3=a5 C. a6÷a2=a3 D. 3a2﹣2a2=1
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘法、底数幂除法法则、幂乘方的运算法则，合并同类项法则一一判断即可．
详解：A．（a3）2=a6．故A错误．
B．a2•a3=a5．故B正确．
C．a6÷a2=a4．故C错误．
D．3a2﹣2a2=a2．故D错误．
故选B．
点睛：本题考查了同底数幂的乘法、底数幂除法法则、幂的乘方的运算法则，合并同类项法则，解题的关键是记住同底数幂的乘法、除法法则、幂的乘方的运算法则，合并同类项法则．
9. 如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 70° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】C
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选C．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10. 已知b＞0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【正确答案】C
【详解】由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=-b/2a=0，
解得b=0，
与b>0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，
坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1，a2=-1（舍去），
对称轴x=-b/2a=-b/2×1＞0，
与b>0，没有符题意，
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，
坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1（舍去），a2=-1，
对称轴x=-b/2a=-b/2×(-1)＞0，
所以b＞0，符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选C．
二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：mn2-2mn+m=_________.
【正确答案】m(n-1)2
分析】首先提取公因式m，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】原式．
本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有提取公因式、公式法和十字相乘法等，我们首先都需要考虑提取公因式．
12. 一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
【正确答案】1800°
【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
13. 若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为_____．
【正确答案】3．
【详解】试题分析：由2x﹣3y﹣1=0可得2x﹣3y=1，所以5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y）=5﹣2×1=3．
考点：代数式求值．
14. 红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有_____人．
【正确答案】680
【详解】解：由于样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例为，
∴估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有1600×=680，
故答案为680．
15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．
【正确答案】27π
【详解】试题分析：设扇形的半径为r．则，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为27π．
考点：扇形面积的计算．
16. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．
【正确答案】4
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE．
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，
2（6﹣x）= x，
解得：x=4，
∴EC=4，ED=2，
，
则S△AEC=EC•AD=4．
故答案为4．
本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．
三、解 答 题
17. 计算：2sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
【正确答案】2
【详解】分析：原式利用角的三角函数值，值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
详解：原式=2×+3﹣﹣2+1=2．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣3．
【正确答案】，﹣1．
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
详解：原式=﹣•
=﹣
=
当x=﹣3时，原式==﹣1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育的投入，已知2015年该县投入基础教育5000万元，2017年投入基础教育7200万元．求该县这两年投入基础教育的年平均增长率．
【正确答案】该县这两年投入基础教育的年平均增长率为20%．
【详解】分析：设该县这两年投入基础教育的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该县投入基础教育数额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该县这两年投入基础教育的年平均增长率为x，根据题意得：
5000（1+x）2=7200
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该县这两年投入基础教育的年平均增长率为20%．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，没有写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．
（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．
【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∵ ∠A=90°，
∴BP=2AP，
Rt△ABP中，AB=3，
由勾股定理可得：，
AP=，
∴．
21. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
【正确答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由与都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形是菱形；
（2）连接，与相交于点，由（1）知就是菱形的一条对角线，根据菱形的性质及30°角的值可计算出结果．
【详解】(1)证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED=CD.
又，
∴四边形EFCD是菱形.
(2)连接DF,与CE相交于点G,
由CD=4， 可知CG=2,
22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．农历五月初五早晨，小王的妈妈用没有透明袋子装着一些粽子（粽子除食材没有同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为．
（1）求袋子中薯粉粽的个数；
（2）小王次任意拿出一个粽子（没有放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率．
【正确答案】（1）袋子中有薯粉粽2个；（2）．
【详解】解：（1）设袋子中有x个绿豆馅粽子，根据题意，得
，解得x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中有绿豆馅粽子2个；
（2）用表示两个香肠陷粽子，用表示两个绿豆馅粽子，画树状图：
由树状图知，所有可能出现结果有12种，即
∴P（两次拿到的都是绿豆馅粽子）=．
23. 如图，已知函数（x>0）的图象点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据函数（x>0）的图象点A(1，2)，求函数解析式，再有AC∥y轴，AC＝1求出C点坐标，然后根据CD∥x轴，求D点坐标，从而可求CD长，利用三角形面积公式求出△OCD的面积；
（2）通过BE＝AC，求得B点坐标，进而求得CE长．
【详解】解：（1）∵函数（x>0）的图象点A(1，2)，
∴，即k=2
∵AC∥y轴，AC＝1，
∴点C的坐标为（1，1）
∵ CD∥x轴，点D在函数图像上，
∴点D的坐标为（2，1）
∴；
（2）∵BE＝AC，
∴BE＝
∵BE⊥CD，
∴点B的纵坐标是，
∴点B的横坐标是，
∴CE=．
本题考查反比例函数综合题；解题关键是熟练运用反比例函数的性质求出解析式和点的坐标．
24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接，根据是的角平分线，进而可得，，根据垂径定理的推论可得，由，即可证明，即可证明是的切线；
（2）由可得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得，根据圆内接四边形的对角互补，可得，可得，即可证明
（3）连接，根据直径所对的圆周角等于90°，进而勾股定理求得，由，进而求得，根据（2）的结论，列出比例式，代入数值计算即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的角平分线，
是的切线；
（2）
，
（3）如图，连接
是的直径，
，
在中，，
在中
即
本题考查了切线证明，勾股定理，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角等于90°，等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆周角之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（没有与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的值；
（3）在（2）的条件下，当S取到值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
【正确答案】（1），（﹣1，4）；（2）（﹣3＜x＜﹣1），；（3），点P′没有在该抛物线上．
【详解】试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）两点，可设交点式，将点C的坐标代入求得a，b，c，进而得解析式，化为项点式可求顶点D．
（2）由PAD上，则可求AD解析式表示P点．由，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P（，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴可设抛物线解析式为．
∵点C（0，3）在抛物线，∴，解得．
∴抛物线的函数解析式为：，即．
∵
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）设直线AD为解析式为，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴ ，解得．
∴直线AD解析式：y=2x+6．
∵P在AD上，∴P（x，2x+6），
∴（﹣3＜x＜﹣1）．
∵，
当时，S取值．
（3）如图，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=．
∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN．
∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE．
∴EN=FN．
设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，∵，∴m=．
∵，
∴，解得．
在Rt△EMP′中，∵，∴OM=EO﹣EM=．
∴P′．
∵当x=时，，
∴点P′没有在该抛物线上．
考点：1．二次函数综合题；2．折叠问题；3．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．二次函数的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．折叠对称的性质；7．勾股定理．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（ ）
A. 3b﹣2a﹣c B. ﹣3b﹣2a+c C. 3b﹣2a+c D. 3b+2a﹣c
2. 如果分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍 B. 没有变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 降雨时水位上升 B. 在南极点找到东西方向
C. 体育运动时消耗卡路里 D. 体育运动中肌肉拉伤
5. 下列关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1）
7. 如图，水杯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 在2016年我县中小学经典诵读比赛中，10个参赛单位成绩统计如图所示，对于这10个参赛单位的成绩，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是90 B. 平均数是90 C. 中位数是90 D. 极差是15
9. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A. 68° B. 88° C. 90° D. 112°
10. 如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（ ）
A. 与m、n的大小都有关 B. 与m、n的大小都无关
C. 只与m的大小有关 D. 只与n的大小有关
二、填 空 题：
11. 某地某天的气温为﹣2℃，气温为﹣8℃，这天的温差是________℃．
12. 据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，则每分钟的排污量用科学记数法表示应是___________吨.
13. 从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象第三、象限的概率是_____．
14. 如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____ .
15. 已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
16. 如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解 答 题：
17. 解方程：（3x+1）2=9x+3．
18. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
19. 2016年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率的热词：A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据结果绘制的两幅没有完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次中，一共了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是 ；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
20. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．
（1）求值；
（2）求该双曲线与直线另一个交点坐标．
21. 已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB中点；
⑵判断DE与⊙O位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，co =，求DE的长．
22. 为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出费用，并说明费用时的调配．
23. 如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是__________；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°<α<180°时，点D是直线BP上一点（点P没有在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（没有必证明）．
24. 如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（ ）
A. 3b﹣2a﹣c B. ﹣3b﹣2a+c C. 3b﹣2a+c D. 3b+2a﹣c
【正确答案】A
【详解】根据相反数的定义，得2a−3b+c的相反数是−(2a−3b+c)=3b−2a−c.
故选A.
2. 如果分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍 B. 没有变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
【正确答案】C
【分析】根据分式的性质判断即可；
【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，
则==，
∴分式的值缩小3倍．
故选：C．
本题主要考查了分式的基本性质，准确分析计算是解题的关键．
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可知：
A、两项相同，没有符合平方差公式；
B、D两项都没有相同，没有符合平方差公式；
C、中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．
故选C．
4. 下列中是没有可能是（ ）
A. 降雨时水位上升 B. 在南极点找到东西方向
C. 体育运动时消耗卡路里 D. 体育运动中肌肉拉伤
【正确答案】B
【详解】根据发生的可能性大小，可知：
A、降雨时水位上升是必然，故A错误；
B、在南极点找到东西方向是没有可能，故B正确；
C、体育运动时消耗卡路里是必然，故C错误；
D、体育运动中肌肉拉伤是随机，故D错误；
故选B．
5. 下列关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数为2，整式方程，①中a的值没有能为0，故没有是，②化简后为：2x2-56x+241=0，是一元二次方程，③是分式方程，④中a2+1≠0，时一元二次方程，⑤是无理方程，故没有是，由此可知是一元二次方程的有②④这两个.
故选B．
6. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1）
【正确答案】B
【详解】解：已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，
点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，
所以B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选B．
考点：坐标与图形变化﹣平移．
7. 如图，水杯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体的俯视图是一个圆和一条线段.
故选A．
8. 在2016年我县中小学经典诵读比赛中，10个参赛单位成绩统计如图所示，对于这10个参赛单位的成绩，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是90 B. 平均数是90 C. 中位数是90 D. 极差是15
【正确答案】B
【详解】平均数是
故选B.
9. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A 68° B. 88° C. 90° D. 112°
【正确答案】B
【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°，
考点：圆周角定理
10. 如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（ ）
A. 与m、n的大小都有关 B. 与m、n的大小都无关
C. 只与m的大小有关 D. 只与n的大小有关
【正确答案】D
【详解】解：根据三角形的面积可知△GCE的面积是•CG•CE=n2．
可知四边形ABCG是直角梯形，
根据梯形的面积公式，面积是（AB+CG）•BC=（m+n）•m；
△ABE的面积是：BE•AB=（m+n）•m，
因此S△AEG=S△CGE+S梯形ABCG﹣S△ABE=n2．故△AEG的面积的值只与n的大小有关．
故选：D．
此题主要考查了正方形的面积问题，解题关键是合理利用三角形的面积、梯形的面积，求出和差之后，然后判断是否于m、n有关.
二、填 空 题：
11. 某地某天的气温为﹣2℃，气温为﹣8℃，这天的温差是________℃．
【正确答案】6
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】用温度减去温度，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解：（－2）－（－8）=－2+8=6℃．
此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，则每分钟的排污量用科学记数法表示应是___________吨.
【正确答案】8.5×106
【分析】把一个大于10（或者小于1）的整数记为的形式叫做科学记数法.
【详解】解：
故8.5×106
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握科学记数法的表示方法，即可完成.
13. 从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象第三、象限的概率是_____．
【正确答案】
【详解】从数﹣2，﹣，0，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：
共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象第三、象限，即可得到k=mn＞0．由树状图可知符合mn＞0的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象第三、象限的概率是．
故答案为．
14. 如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____ .
【正确答案】45°
【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=∠ABD, ∠FBD=∠CBD,即可求出∠EBF.
【详解】解：将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF
得到∠EBD=∠ABE=∠ABD, ∠FBD=∠CBF=∠CBD
∵ ∠ABC=90°
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°
故45°
本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.
15. 已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
【正确答案】1．
【详解】试题分析：先根据题意得出关于a的方程组，求出a，b的值代入代数式进行计算即可．
试题解析：∵点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，
∴，解得，
∴原式=﹣4×﹣1=1．
考点：函数图象上点的坐标特征．
16. 如图，半圆O直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【详解】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD==．
故答案为．
三、解 答 题：
17. 解方程：（3x+1）2=9x+3．
【正确答案】x1=﹣，x2=．
【详解】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
18. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
【正确答案】见解析.
【详解】分析：本题要灵活运用全等三角形的性质．两个三角形为全等三角形，则对应边相等，对应角相等
本题解析：∵△ABF≌△DCE
∴∠BAF=∠CDE，∠AFB=∠DEC，∠ABF=∠DCE，AB=DC，BF=CE，AF=DE；
∴AF∥ED，AC=BD，BF∥CE．
19. 2016年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率的热词：A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据结果绘制的两幅没有完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次中，一共了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是 ；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
【正确答案】（1）300；（2）60，90；（3）72°；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是．
【详解】试题分析：（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）C所对应人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；
（3）根据B所占的百分比×360°，即可解答；
（4）根据概率公式，即可解答．
试题解析：（1）105÷35%=300（人）．
故答案为300；
（2）n=300×30%=90（人），m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为60，90；
（3）×360°=72°．
故答案为72°；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是=．
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是．
考点：条形统计图；扇形统计图；概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．
（1）求的值；
（2）求该双曲线与直线另一个交点的坐标．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先将点代入直线的解析式可求出的值，从而可得点的坐标，再将其代入反比例函数的解析式即可得的值；
（2）联立两个函数的解析式，解方程组即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
则点的坐标为，
将点代入得：；
（2）由（1）可知，反比例函数的解析式为，
联立，
解得或（即为点的坐标），
则另一个交点的坐标为．
本题考查了反比例函数与函数的综合、一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21. 已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB的中点；
⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，co =，求DE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）相切，证明见解析；（3）
【分析】
【详解】（1）证明：连接CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC = BC，
∴AD = BD，
∴点D是AB的中点．
（2）DE是⊙O的切线 ．
证明：连接OD，
∵OB=OC，AD=BD
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A， ∴co = cosA =，
在Rt△BDC中， ∵co =， BC = 18，
∴BD =6 ， ∴AD =6，
在Rt△ADE中∵cosA = ， ∴AE = 2，
∴DE=．
22. 为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出费用，并说明费用时的调配．
【正确答案】（1）y=﹣8x+2560（30≤x≤80）；（2）把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
【详解】试题分析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；由题意可得x≥0，8-x≥0，x-30≥0,100-x≥0，即可得出x的取值；（2）因为所得的函数为函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输．
试题解析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，
从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，
所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，
x的取值范围是30≤x≤80．
（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，
当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，
此时为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
考点：函数的应用．
23. 如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是__________；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°<α<180°时，点D是直线BP上一点（点P没有在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（没有必证明）．
【正确答案】（1）=；BD=CD+AD；（2）证明见解析；（3）BD+CD=AD或CD-BD=AD
【分析】（1）①根据两三角形中若两个角对应相等，则第三个角也对应相等得：∠ACD=∠ABD；
②作辅助线，构建两个全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再证明△ADE是等边三角形，则AD=DE，相加后得结论；
（2）同理作辅助线，证明全等，再证明△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD，代入DE=BD-BE中得结论；
（3）①如图4，BD-CD=AD，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据三角函数求得DF=AD，代入BD-BE=DE中得出结论；
②如图5，BD+CD=AD，延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据三角函数求得DF=AD，代入BD+BE=DE中得出结论．
【详解】解：（1）如图2，∵∠CDP=120°，∴∠CDB=60°，
∵∠BAC=60°，∴∠CDB=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．
BP上截取BE=CD，连接AE．
在△DCA与△EBA中，，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD．
∵BD=BE+DE，∴BD=CD+AD．
故=，BD=CD+AD；
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．
∵∠CDP=60°，∴∠CDB=120°．∵∠CAB=120°，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠DOC=∠AOB，∴△DOC∽△AOB，
∴∠DCA=∠EBA．
在△DCA与△EBA中，，
∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，∴∠DAE=120°，
∴∠ADE=∠AED==30°．
∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，∴BD=DE+BE=AD+CD，∴BD﹣CD=AD；
（3）①如图4，BD-CD=AD，理由是：
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∴DF=FE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°，
∴∠CAD+∠CAE=120°，
即∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
sin∠DAF=sin60°=，
∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，
∴BD-CD=BD-BE=DE=AD；
②如图5，BD+CD=AD，理由是：
延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠EBA=150°-∠DBC，
∵∠CDP=120°，
∴∠BCD=120°-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCD+30°=150°-∠DBC，
∴∠ACD=∠EBA，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，∠EAB=∠CAD，
∴DF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
同理得：DF=AD，
∴ED=AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=AD．
综上所述：BD+CD=AD或CD-BD=AD．
本题综合考查了等腰三角形、全等三角形及旋转的性质，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键；要证明全等时，两边夹角的得出各问都没有相同，是一个难点；同时运用了角的三角函数值表示边的长度，在几何证明中线段的和与差是一个难点，思路为：想办法将线段转化到同一条直线上：①在长边截取短边，②延长短边等于长边；简称“截或接”．
24. 如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
【正确答案】（1）（3，﹣1）；
（2）①证明见解析；②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）；③当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
【详解】试题分析：（1）利用配方法将二次函数=（x﹣2）（x﹣4）变形为顶点式，由此即可得出结论；
（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数的图象的对称轴为直线l，再点A、B关于对称轴l对称，二次函数（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数（a≠0）的图象过点B；
②由二次函数（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，即可得出d=1，再令二次函数=（x﹣2）（x﹣4）中y1=±1求出x值，即可得出结论；
③设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出，根据相似三角形的性质即可得出，再根据对称性可得出，设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由此即可得出关于m、t的二元方程组，解方程组即可求出m值．
试题解析：（1）∵=（x﹣2）（x﹣4）==，∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为（3，2），∴二次函数=（x﹣2）（x﹣4）与的图象的对称轴均为x=3，∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数（a≠0）的图象过点B．
②∵二次函数的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，∴2d=2，解得：d=1．
令=（x﹣2）（x﹣4）=中y1=±1，即=±1，解得：x1=，x2=，x3=3，∴点R的坐标为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．
故答案为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数（a≠0）的图象的对称轴．
∵二次函数过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），∴二次函数=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．
设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即．
∵△GHN∽△EHQ，∴．
∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．
设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由题意得：，解得：或（舍去）．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. -2值是（ ）
A. 2 B. C. D.
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=110º，则∠2的度数是 （ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
4. 若关于x的没有等式组的解在数轴上如图所示，则这个没有等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校10名篮球运动员年龄情况，统计如下表：
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14
6. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正六边形 D. 圆
7. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
8. 下列运算正确是（ ）
A. （a3）2=a5 B. a2•a3=a5 C. a6÷a2=a3 D. 3a2﹣2a2=1
9. 如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 70° B. 45° C. 35° D. 30°
10. 已知b＞0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：mn2-2mn+m=_________.
12. 一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
13. 若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为_____．
14. 红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有_____人．
15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．
16. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．
三、解 答 题
17. 计算：2sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
18. 先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣3．
19. 为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育的投入，已知2015年该县投入基础教育5000万元，2017年投入基础教育7200万元．求该县这两年投入基础教育的年平均增长率．
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，没有写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
21. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．农历五月初五早晨，小王的妈妈用没有透明袋子装着一些粽子（粽子除食材没有同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为．
（1）求袋子中薯粉粽的个数；
（2）小王次任意拿出一个粽子（没有放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率．
23. 如图，已知函数（x>0）图象点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（没有与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的值；
（3）在（2）的条件下，当S取到值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. -2的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的值是2，
故选：A．
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】6700000=6.7×106．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=110º，则∠2的度数是 （ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【正确答案】B
【详解】已知a∥b，∠1=110º，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2=180°-∠1=180°-110°=70°，故选B.
4. 若关于x的没有等式组的解在数轴上如图所示，则这个没有等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．
【详解】解：在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，这个没有等式组的解是．
故选D．
5. 某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A. 12 B. 13 C. 13.5 D. 14
【正确答案】B
【详解】10个数，处于中间位置的是13和13，
因而中位数是：(13+13)÷2=13．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
6. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正六边形 D. 圆
【正确答案】A
【详解】解： A、是轴对称图形，没有是对称图形，符合题意；
B、没有轴对称图形，是对称图形，没有合题意；
C、是轴对称图形，也是对称图形，没有合题意；
D、是轴对称图形，也是对称图形，没有合题意．
故选A．
本题考查对称图形；轴对称图形．
7. 已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E， AD=6cm，则OE的长为（ ）
A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm
【正确答案】C
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，CD=AD=6cm，
∵OE∥DC，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE=CD=3cm．
故选：C．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. （a3）2=a5 B. a2•a3=a5 C. a6÷a2=a3 D. 3a2﹣2a2=1
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘法、底数幂除法法则、幂乘方的运算法则，合并同类项法则一一判断即可．
详解：A．（a3）2=a6．故A错误．
B．a2•a3=a5．故B正确．
C．a6÷a2=a4．故C错误．
D．3a2﹣2a2=a2．故D错误．
故选B．
点睛：本题考查了同底数幂的乘法、底数幂除法法则、幂的乘方的运算法则，合并同类项法则，解题的关键是记住同底数幂的乘法、除法法则、幂的乘方的运算法则，合并同类项法则．
9. 如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 70° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】C
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选C．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10. 已知b＞0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，的值等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【正确答案】C
【详解】由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=-b/2a=0，
解得b=0，
与b>0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，
坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1，a2=-1（舍去），
对称轴x=-b/2a=-b/2×1＞0，
与b>0，没有符题意，
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，
坐标原点，a2-1=0，
解得a1=1（舍去），a2=-1，
对称轴x=-b/2a=-b/2×(-1)＞0，
所以b＞0，符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选C．
二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：mn2-2mn+m=_________.
【正确答案】m(n-1)2
分析】首先提取公因式m，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】原式．
本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有提取公因式、公式法和十字相乘法等，我们首先都需要考虑提取公因式．
12. 一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
【正确答案】1800°
【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
13. 若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为_____．
【正确答案】3．
【详解】试题分析：由2x﹣3y﹣1=0可得2x﹣3y=1，所以5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y）=5﹣2×1=3．
考点：代数式求值．
14. 红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有_____人．
【正确答案】680
【详解】解：由于样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例为，
∴估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有1600×=680，
故答案为680．
15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．
【正确答案】27π
【详解】试题分析：设扇形的半径为r．则，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为27π．
考点：扇形面积的计算．
16. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．
【正确答案】4
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE．
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，
2（6﹣x）= x，
解得：x=4，
∴EC=4，ED=2，
，
则S△AEC=EC•AD=4．
故答案为4．
本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．
三、解 答 题
17. 计算：2sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
【正确答案】2
【详解】分析：原式利用角的三角函数值，值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
详解：原式=2×+3﹣﹣2+1=2．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣3．
【正确答案】，﹣1．
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
详解：原式=﹣•
=﹣
=
当x=﹣3时，原式==﹣1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育的投入，已知2015年该县投入基础教育5000万元，2017年投入基础教育7200万元．求该县这两年投入基础教育的年平均增长率．
【正确答案】该县这两年投入基础教育的年平均增长率为20%．
【详解】分析：设该县这两年投入基础教育的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该县投入基础教育数额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该县这两年投入基础教育的年平均增长率为x，根据题意得：
5000（1+x）2=7200
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该县这两年投入基础教育的年平均增长率为20%．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，没有写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．
（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．
【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∵ ∠A=90°，
∴BP=2AP，
Rt△ABP中，AB=3，
由勾股定理可得：，
AP=，
∴．
21. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
【正确答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由与都是等边三角形，可得出角之间的等量关系，从而证明四边形是菱形；
（2）连接，与相交于点，由（1）知就是菱形的一条对角线，根据菱形的性质及30°角的值可计算出结果．
【详解】(1)证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED=CD.
又，
∴四边形EFCD是菱形.
(2)连接DF,与CE相交于点G,
由CD=4， 可知CG=2,
22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．农历五月初五早晨，小王的妈妈用没有透明袋子装着一些粽子（粽子除食材没有同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为．
（1）求袋子中薯粉粽的个数；
（2）小王次任意拿出一个粽子（没有放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率．
【正确答案】（1）袋子中有薯粉粽2个；（2）．
【详解】解：（1）设袋子中有x个绿豆馅粽子，根据题意，得
，解得x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中有绿豆馅粽子2个；
（2）用表示两个香肠陷粽子，用表示两个绿豆馅粽子，画树状图：
由树状图知，所有可能出现结果有12种，即
∴P（两次拿到的都是绿豆馅粽子）=．
23. 如图，已知函数（x>0）的图象点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据函数（x>0）的图象点A(1，2)，求函数解析式，再有AC∥y轴，AC＝1求出C点坐标，然后根据CD∥x轴，求D点坐标，从而可求CD长，利用三角形面积公式求出△OCD的面积；
（2）通过BE＝AC，求得B点坐标，进而求得CE长．
【详解】解：（1）∵函数（x>0）的图象点A(1，2)，
∴，即k=2
∵AC∥y轴，AC＝1，
∴点C的坐标为（1，1）
∵ CD∥x轴，点D在函数图像上，
∴点D的坐标为（2，1）
∴；
（2）∵BE＝AC，
∴BE＝
∵BE⊥CD，
∴点B的纵坐标是，
∴点B的横坐标是，
∴CE=．
本题考查反比例函数综合题；解题关键是熟练运用反比例函数的性质求出解析式和点的坐标．
24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接，根据是的角平分线，进而可得，，根据垂径定理的推论可得，由，即可证明，即可证明是的切线；
（2）由可得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得，根据圆内接四边形的对角互补，可得，可得，即可证明
（3）连接，根据直径所对的圆周角等于90°，进而勾股定理求得，由，进而求得，根据（2）的结论，列出比例式，代入数值计算即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的角平分线，
是的切线；
（2）
，
（3）如图，连接
是的直径，
，
在中，，
在中
即
本题考查了切线证明，勾股定理，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角等于90°，等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆周角之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（没有与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的值；
（3）在（2）的条件下，当S取到值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
【正确答案】（1），（﹣1，4）；（2）（﹣3＜x＜﹣1），；（3），点P′没有在该抛物线上．
【详解】试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+cA（﹣3，0）、B（1，0）两点，可设交点式，将点C的坐标代入求得a，b，c，进而得解析式，化为项点式可求顶点D．
（2）由PAD上，则可求AD解析式表示P点．由，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P（，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴可设抛物线解析式为．
∵点C（0，3）在抛物线，∴，解得．
∴抛物线的函数解析式为：，即．
∵
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）设直线AD为解析式为，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴ ，解得．
∴直线AD解析式：y=2x+6．
∵P在AD上，∴P（x，2x+6），
∴（﹣3＜x＜﹣1）．
∵，
当时，S取值．
（3）如图，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=．
∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN．
∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE．
∴EN=FN．
设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，∵，∴m=．
∵，
∴，解得．
在Rt△EMP′中，∵，∴OM=EO﹣EM=．
∴P′．
∵当x=时，，
∴点P′没有在该抛物线上．
考点：1．二次函数综合题；2．折叠问题；3．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．二次函数的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．折叠对称的性质；7．勾股定理．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（ ）
A. 3b﹣2a﹣c B. ﹣3b﹣2a+c C. 3b﹣2a+c D. 3b+2a﹣c
2. 如果分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍 B. 没有变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 降雨时水位上升 B. 在南极点找到东西方向
C. 体育运动时消耗卡路里 D. 体育运动中肌肉拉伤
5. 下列关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1）
7. 如图，水杯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 在2016年我县中小学经典诵读比赛中，10个参赛单位成绩统计如图所示，对于这10个参赛单位的成绩，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是90 B. 平均数是90 C. 中位数是90 D. 极差是15
9. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A. 68° B. 88° C. 90° D. 112°
10. 如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（ ）
A. 与m、n的大小都有关 B. 与m、n的大小都无关
C. 只与m的大小有关 D. 只与n的大小有关
二、填 空 题：
11. 某地某天的气温为﹣2℃，气温为﹣8℃，这天的温差是________℃．
12. 据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，则每分钟的排污量用科学记数法表示应是___________吨.
13. 从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象第三、象限的概率是_____．
14. 如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____ .
15. 已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
16. 如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解 答 题：
17. 解方程：（3x+1）2=9x+3．
18. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
19. 2016年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率的热词：A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据结果绘制的两幅没有完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次中，一共了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是 ；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
20. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．
（1）求值；
（2）求该双曲线与直线另一个交点坐标．
21. 已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB中点；
⑵判断DE与⊙O位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，co =，求DE的长．
22. 为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出费用，并说明费用时的调配．
23. 如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是__________；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°<α<180°时，点D是直线BP上一点（点P没有在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（没有必证明）．
24. 如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
2022-2023学年河北省沧州市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：
1. 若a、b、c都是有理数，那么2a﹣3b+c的相反数是（ ）
A. 3b﹣2a﹣c B. ﹣3b﹣2a+c C. 3b﹣2a+c D. 3b+2a﹣c
【正确答案】A
【详解】根据相反数的定义，得2a−3b+c的相反数是−(2a−3b+c)=3b−2a−c.
故选A.
2. 如果分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍 B. 没有变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
【正确答案】C
【分析】根据分式的性质判断即可；
【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，
则==，
∴分式的值缩小3倍．
故选：C．
本题主要考查了分式的基本性质，准确分析计算是解题的关键．
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可知：
A、两项相同，没有符合平方差公式；
B、D两项都没有相同，没有符合平方差公式；
C、中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．
故选C．
4. 下列中是没有可能是（ ）
A. 降雨时水位上升 B. 在南极点找到东西方向
C. 体育运动时消耗卡路里 D. 体育运动中肌肉拉伤
【正确答案】B
【详解】根据发生的可能性大小，可知：
A、降雨时水位上升是必然，故A错误；
B、在南极点找到东西方向是没有可能，故B正确；
C、体育运动时消耗卡路里是必然，故C错误；
D、体育运动中肌肉拉伤是随机，故D错误；
故选B．
5. 下列关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数为2，整式方程，①中a的值没有能为0，故没有是，②化简后为：2x2-56x+241=0，是一元二次方程，③是分式方程，④中a2+1≠0，时一元二次方程，⑤是无理方程，故没有是，由此可知是一元二次方程的有②④这两个.
故选B．
6. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1）
【正确答案】B
【详解】解：已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，
点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，
所以B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选B．
考点：坐标与图形变化﹣平移．
7. 如图，水杯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体的俯视图是一个圆和一条线段.
故选A．
8. 在2016年我县中小学经典诵读比赛中，10个参赛单位成绩统计如图所示，对于这10个参赛单位的成绩，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是90 B. 平均数是90 C. 中位数是90 D. 极差是15
【正确答案】B
【详解】平均数是
故选B.
9. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）
A 68° B. 88° C. 90° D. 112°
【正确答案】B
【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°，
考点：圆周角定理
10. 如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（ ）
A. 与m、n的大小都有关 B. 与m、n的大小都无关
C. 只与m的大小有关 D. 只与n的大小有关
【正确答案】D
【详解】解：根据三角形的面积可知△GCE的面积是•CG•CE=n2．
可知四边形ABCG是直角梯形，
根据梯形的面积公式，面积是（AB+CG）•BC=（m+n）•m；
△ABE的面积是：BE•AB=（m+n）•m，
因此S△AEG=S△CGE+S梯形ABCG﹣S△ABE=n2．故△AEG的面积的值只与n的大小有关．
故选：D．
此题主要考查了正方形的面积问题，解题关键是合理利用三角形的面积、梯形的面积，求出和差之后，然后判断是否于m、n有关.
二、填 空 题：
11. 某地某天的气温为﹣2℃，气温为﹣8℃，这天的温差是________℃．
【正确答案】6
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】用温度减去温度，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解：（－2）－（－8）=－2+8=6℃．
此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，则每分钟的排污量用科学记数法表示应是___________吨.
【正确答案】8.5×106
【分析】把一个大于10（或者小于1）的整数记为的形式叫做科学记数法.
【详解】解：
故8.5×106
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握科学记数法的表示方法，即可完成.
13. 从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象第三、象限的概率是_____．
【正确答案】
【详解】从数﹣2，﹣，0，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：
共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象第三、象限，即可得到k=mn＞0．由树状图可知符合mn＞0的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象第三、象限的概率是．
故答案为．
14. 如图．将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____ .
【正确答案】45°
【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=∠ABD, ∠FBD=∠CBD,即可求出∠EBF.
【详解】解：将长方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF
得到∠EBD=∠ABE=∠ABD, ∠FBD=∠CBF=∠CBD
∵ ∠ABC=90°
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°
故45°
本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.
15. 已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
【正确答案】1．
【详解】试题分析：先根据题意得出关于a的方程组，求出a，b的值代入代数式进行计算即可．
试题解析：∵点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，
∴，解得，
∴原式=﹣4×﹣1=1．
考点：函数图象上点的坐标特征．
16. 如图，半圆O直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【详解】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD==．
故答案为．
三、解 答 题：
17. 解方程：（3x+1）2=9x+3．
【正确答案】x1=﹣，x2=．
【详解】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
18. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
【正确答案】见解析.
【详解】分析：本题要灵活运用全等三角形的性质．两个三角形为全等三角形，则对应边相等，对应角相等
本题解析：∵△ABF≌△DCE
∴∠BAF=∠CDE，∠AFB=∠DEC，∠ABF=∠DCE，AB=DC，BF=CE，AF=DE；
∴AF∥ED，AC=BD，BF∥CE．
19. 2016年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率的热词：A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据结果绘制的两幅没有完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次中，一共了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是 ；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
【正确答案】（1）300；（2）60，90；（3）72°；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是．
【详解】试题分析：（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）C所对应人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；
（3）根据B所占的百分比×360°，即可解答；
（4）根据概率公式，即可解答．
试题解析：（1）105÷35%=300（人）．
故答案为300；
（2）n=300×30%=90（人），m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为60，90；
（3）×360°=72°．
故答案为72°；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是=．
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是．
考点：条形统计图；扇形统计图；概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．
（1）求的值；
（2）求该双曲线与直线另一个交点的坐标．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先将点代入直线的解析式可求出的值，从而可得点的坐标，再将其代入反比例函数的解析式即可得的值；
（2）联立两个函数的解析式，解方程组即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
则点的坐标为，
将点代入得：；
（2）由（1）可知，反比例函数的解析式为，
联立，
解得或（即为点的坐标），
则另一个交点的坐标为．
本题考查了反比例函数与函数的综合、一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21. 已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
⑴求证：点D是AB的中点；
⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，co =，求DE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）相切，证明见解析；（3）
【分析】
【详解】（1）证明：连接CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC = BC，
∴AD = BD，
∴点D是AB的中点．
（2）DE是⊙O的切线 ．
证明：连接OD，
∵OB=OC，AD=BD
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A， ∴co = cosA =，
在Rt△BDC中， ∵co =， BC = 18，
∴BD =6 ， ∴AD =6，
在Rt△ADE中∵cosA = ， ∴AE = 2，
∴DE=．
22. 为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出费用，并说明费用时的调配．
【正确答案】（1）y=﹣8x+2560（30≤x≤80）；（2）把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
【详解】试题分析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；由题意可得x≥0，8-x≥0，x-30≥0,100-x≥0，即可得出x的取值；（2）因为所得的函数为函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输．
试题解析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，
从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，
所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，
x的取值范围是30≤x≤80．
（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，
当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，
此时为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
考点：函数的应用．
23. 如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是__________；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°<α<180°时，点D是直线BP上一点（点P没有在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（没有必证明）．
【正确答案】（1）=；BD=CD+AD；（2）证明见解析；（3）BD+CD=AD或CD-BD=AD
【分析】（1）①根据两三角形中若两个角对应相等，则第三个角也对应相等得：∠ACD=∠ABD；
②作辅助线，构建两个全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再证明△ADE是等边三角形，则AD=DE，相加后得结论；
（2）同理作辅助线，证明全等，再证明△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD，代入DE=BD-BE中得结论；
（3）①如图4，BD-CD=AD，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据三角函数求得DF=AD，代入BD-BE=DE中得出结论；
②如图5，BD+CD=AD，延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据三角函数求得DF=AD，代入BD+BE=DE中得出结论．
【详解】解：（1）如图2，∵∠CDP=120°，∴∠CDB=60°，
∵∠BAC=60°，∴∠CDB=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．
BP上截取BE=CD，连接AE．
在△DCA与△EBA中，，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD．
∵BD=BE+DE，∴BD=CD+AD．
故=，BD=CD+AD；
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．
∵∠CDP=60°，∴∠CDB=120°．∵∠CAB=120°，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠DOC=∠AOB，∴△DOC∽△AOB，
∴∠DCA=∠EBA．
在△DCA与△EBA中，，
∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，∴∠DAE=120°，
∴∠ADE=∠AED==30°．
∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，∴BD=DE+BE=AD+CD，∴BD﹣CD=AD；
（3）①如图4，BD-CD=AD，理由是：
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，
∴DF=FE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°，
∴∠CAD+∠CAE=120°，
即∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
sin∠DAF=sin60°=，
∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，
∴BD-CD=BD-BE=DE=AD；
②如图5，BD+CD=AD，理由是：
延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠EBA=150°-∠DBC，
∵∠CDP=120°，
∴∠BCD=120°-∠DBC，
∴∠ACD=∠BCD+30°=150°-∠DBC，
∴∠ACD=∠EBA，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，∠EAB=∠CAD，
∴DF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAF=60°，
同理得：DF=AD，
∴ED=AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=AD．
综上所述：BD+CD=AD或CD-BD=AD．
本题综合考查了等腰三角形、全等三角形及旋转的性质，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键；要证明全等时，两边夹角的得出各问都没有相同，是一个难点；同时运用了角的三角函数值表示边的长度，在几何证明中线段的和与差是一个难点，思路为：想办法将线段转化到同一条直线上：①在长边截取短边，②延长短边等于长边；简称“截或接”．
24. 如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
【正确答案】（1）（3，﹣1）；
（2）①证明见解析；②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）；③当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
【详解】试题分析：（1）利用配方法将二次函数=（x﹣2）（x﹣4）变形为顶点式，由此即可得出结论；
（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数的图象的对称轴为直线l，再点A、B关于对称轴l对称，二次函数（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数（a≠0）的图象过点B；
②由二次函数（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，即可得出d=1，再令二次函数=（x﹣2）（x﹣4）中y1=±1求出x值，即可得出结论；
③设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出，根据相似三角形的性质即可得出，再根据对称性可得出，设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由此即可得出关于m、t的二元方程组，解方程组即可求出m值．
试题解析：（1）∵=（x﹣2）（x﹣4）==，∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为（3，2），∴二次函数=（x﹣2）（x﹣4）与的图象的对称轴均为x=3，∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数（a≠0）的图象过点B．
②∵二次函数的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，∴2d=2，解得：d=1．
令=（x﹣2）（x﹣4）=中y1=±1，即=±1，解得：x1=，x2=，x3=3，∴点R的坐标为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．
故答案为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数（a≠0）的图象的对称轴．
∵二次函数过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），∴二次函数=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．
设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即．
∵△GHN∽△EHQ，∴．
∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．
设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由题意得：，解得：或（舍去）．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
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