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2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
2. 据统计，2017年长春市国际马拉松参赛人数约30000人次，30000这个数用科学记数法表示
A. B. C. D.
3. 如图，立体图形俯视图是 （ ）
A. A B. B C. C D. D
4. 没有等式组的解集为（ ）
A. x＞2． B. x ≥ 2． C. x＞3． D. x ≥ 3．
5. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB=75°，则∠PNM度数是（ ）
A 45° B. 25° C. 30° D. 20°
6. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在中，AB是直径，AC是弦，过点C切线与AB的延长线交于点D，若，则的大小为
A. B. C. D.
8. 如图，在象限内，点P（2，3）、M（a，2）是双曲线上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为 （ ）
A. 1． B. 3． C. 2． D. ．
第Ⅱ卷（非选一选 共96 分）
二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
9. 因式分解：9m2-1 =________．
10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
11. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长为____________．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5．以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则的值为___________．
13. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在函数（x＞0）的图象上，且BC∥x轴．将△ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点落在此函数的图象上，则平移的距离为_________________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 在一个没有透明的口袋中有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色没有同外，其他都相同．从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀；再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸到的球颜色没有同的概率．
17. 购进一批清雪车每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km，每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km？
18. 为市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行，要求被者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有结果整理后绘制成如下没有完整的条形统计图和扇形统计图，请统计图回答下列问题：
在这次中，一共了______名市民．
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______．
请补全条形统计图．
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
20. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
21. 某景区的三个景点A、B、C在同一线路上甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点甲、乙两人距景点A的路程米与甲出发的时间分之间的函数图象如图所示．
乙步行的速度为______米分．
求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式．
甲出发多长时间与乙次相遇？
22. 【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据负数的值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 据统计，2017年长春市国际马拉松参赛人数约30000人次，30000这个数用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：30000=．故选C．
3. 如图，立体图形的俯视图是 （ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】C
【详解】解：立体图形的俯视图是C．故选C．
4. 没有等式组的解集为（ ）
A. x＞2． B. x ≥ 2． C. x＞3． D. x ≥ 3．
【正确答案】C
【详解】解：，解①得：x≥2，解②得：x＞3．故原没有等式组的解集是：x＞3．故选C．
5. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB=75°，则∠PNM度数是（ ）
A. 45° B. 25° C. 30° D. 20°
【正确答案】C
详解】解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=75°．∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=30°．故选C．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】依据积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
本题主要考查了幂的乘方法则，幂的乘方的底数指的是幂的底数；“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
7. 如图，在中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若，则的大小为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
详解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故选B．
点睛：本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
8. 如图，在象限内，点P（2，3）、M（a，2）是双曲线上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为 （ ）
A. 1． B. 3． C. 2． D. ．
【正确答案】D
【详解】解：把P（2，3），M（a，2）代入y=得：k=2×3=2a，解得：k=6，a=3，设直线OM的解析式为y=mx，把M（3，2）代入得：3m=2，解得：m=，所以直线OM的解析式为y=x，当x=2时，y=×2=，所以C点坐标为（2，），所以△OAC的面积=×2×=．故选D．
点睛：本题考查了反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
第Ⅱ卷（非选一选 共96 分）
二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
9. 因式分解：9m2-1 =________．
【正确答案】
【详解】分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．
详解：原式=（3m+1）（3m﹣1）．
故答案为（3m+1）（3m﹣1）．
点睛：本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．
10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【正确答案】9
【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
故9．
本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长为____________．
【正确答案】7.5
【详解】解：∵a∥b∥c，∴，即，解得：EF=4.5，∴DF=DE+EF=3+4.5=7.5．故答案为7.5．
点睛：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5．以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则的值为___________．
【正确答案】4
【详解】解：如图，连接BE，则BE=BC．
设AB=3x，BC=5x．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∴．故答案为4．
点睛：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解答此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．
13. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．
【正确答案】
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到，，，，，推出△OAO′是等边三角形，得到，因为∠AOB＝120°，所以，则是等边三角形，得到，得到，，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，用的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：如图所示，连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴，，，，
∴△OAO′是等边三角形，
∴，，
∴点在⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴图中阴影部分的面积=，
故．
本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在函数（x＞0）的图象上，且BC∥x轴．将△ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点落在此函数的图象上，则平移的距离为_________________．
【正确答案】4
【详解】解：连接AA′，过C作CD⊥x轴于D．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠CBA=∠CBA=45°．∵BC∥x轴，∴∠BAO=∠CAD=45°．∵∠BOA=∠CDA=90°，∴△BOA≌△CDA，∴OB=OA=AD=CD，设OA=a，则OD=2a，CD=a，∴C（2a，a）．∵C在上，∴，解得：a=±2（负数舍去），∴a=2．
设AA′=x，则A′（2，x），∴=4．故答案为4．
点睛：本题是反比例函数综合题．考查了平移的性质和反比例函数的性质．求出C的坐标是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共10小题，共78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】原式．
【详解】试题分析：先用分式混合运算法则化简，然后代入求值即可．
试题解析：解：原式====．
当x=－2时，原式==－1．
16. 在一个没有透明的口袋中有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色没有同外，其他都相同．从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀；再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸到的球颜色没有同的概率．
【正确答案】.
【详解】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球颜色没有同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到的球颜色没有同的有6种情况，∴两次摸到的球颜色没有同的概率=．
17. 购进一批清雪车每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km，每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km？
【正确答案】每辆旧清雪车每小时清扫路面5km．
【详解】试题分析：设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，根据每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，列出方程求解即可．
试题解析：设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，
由题意，得
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：每辆旧清雪车每小时清扫路面5km．
考点：分式方程的应用．
18. 为市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行，要求被者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有结果整理后绘制成如下没有完整的条形统计图和扇形统计图，请统计图回答下列问题：
在这次中，一共了______名市民．
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______．
请补全条形统计图．
【正确答案】 2000；；补图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被的人数，
（2）由总人数减去A、B、D、E组的人数，即可得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（3）根据C组的人数，补全条形统计图．
试题解析：解：（1）被的人数为：800÷40%=2000（人）
（2）C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°；
（3）条形统计图如下：
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案．
试题解析：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF≌△DEB是解题的关键．
20. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山高度BC．（到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
【正确答案】山的高度BC约为422米
【详解】试题分析：由题意可得，∠BAC=40°，AB=660米，根据40°的正弦可求出BC的值．
试题解析：解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°=，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
21. 某景区三个景点A、B、C在同一线路上甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点甲、乙两人距景点A的路程米与甲出发的时间分之间的函数图象如图所示．
乙步行的速度为______米分．
求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式．
甲出发多长时间与乙次相遇？
【正确答案】80； ； 甲出发25分钟与乙次相遇．
【详解】试题分析：（1）根据速度=路程÷时间，即可求出乙步行的速度；
（2）观察函数图象，找出两点的坐标，利用待定系数即可求出乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；
（3）根据速度=路程÷时间求出甲步行的速度，进而找出甲步行时y与x之间的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，通过解方程组即可求出二者次相遇的时间．
试题解析：解：（1）乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）=80（米/分）．
故答案为80．
（2）设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（20，0），（30，3000）代入y=kx+b得：，解得：，∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=300x﹣6000（20≤x≤30）．
（3）甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），∴甲步行y与x之间的函数关系式为y=60x．
联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴甲出发25分钟与乙次相遇．
点睛：本题考查了函数的应用，解题的关键是：（1）根据速度=路程÷时间，求出乙步行的速度；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（3）联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标．
22. 【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小．
【应用】如图3，在问题原型条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
【正确答案】【问题原型】证明见解析；【探究】 ；【应用】．
【分析】问题原型:利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
探究:先证明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=〖90〗^∘列方程得∠BAD的度数；
应用:由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边△DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
【详解】问题原型:证明：
在中，点E，F分别为AC，BC的中点
，且
在中，点E为AC的中点，
探究:平分，，
，
，
应用:四边形ABCD的面积为：
四边形CDEF是菱形，，
与都是等边三角形，
，
，
，，
．
考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（3*8=24分）
1. 给出四个数0，，π，，其中无理数有几个（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
3. 若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
4. 赫山中学一个学期的数学总平均分是按图进行计算的．该校胡军同学这个学期的数学成绩如下：
胡军
平时作业
期中考试
期末考试
95
85
80
则胡军这个学期数学总平均分为（ ）
A. 84.5 B. 86.7 C. 89 D. 87
5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体紧密摆放而成的，其三视图中面积的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
6. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 2或3
7. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（3*8=24分）
9. 有一种球状细菌的直径是0.00216米 ，则用科学记数法表示为____________________
10 已知∠α与∠β互余，且∠α=35°30′，则∠β=_____．
11. 没有等式组的解集为_____________.
12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”，应当先假设这个三角形中_________．
13. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，则重叠部分S△AFC=_________
15. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=150°，若设AB=AC=x，△ABC的面积是y，则y与x的函数关系式为___________________________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A100横坐标是_____．
三、解 答 题
17. 计算：（﹣1）2018﹣|﹣2|+（）0×+
18. 先化简：，再从没有等式3x+7≥1的负整数解中，取适当的数求值．
19. 已知：关于x的方程x2+2ax+a2﹣1=0
（1）没有解方程，判列方程根的情况； （2）若方程有一个根为2，求a的值．
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对市区居民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？并将两幅没有完整的图补充完整；
（2）若常德市武陵区居民有60万人口，估计有多少人爱吃肉馅粽？
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21. 如图，函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（m，2），B（2，-1）．
（1）求这两个函数表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，请你直接写出P点的坐标．
22. 每年6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．
（1）求甲、乙两种型号设备的价格；
（2）该公司决定购买节省能源新设备的资金没有超过110万元，你认为该公司有哪几种购买．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
24. 如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为1.8米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（到0.1米，参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）
25. 已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；
（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；
（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标．
26. 已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：△ABE≌△ADF
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2，求线段HF的长．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（3*8=24分）
1. 给出四个数0，，π，，其中无理数有几个（ ）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】分析: 无理数就是无限没有循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限没有循环小数是无理数．由此即可判定选择项.
详解: 0,是有理数，
，π是无理数，
故选C.
点睛: 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开没有尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.
2. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【正确答案】A
【详解】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
3. 若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】B
【详解】分析: 由分式方程有增根可得出x=2是方程m=x-1-2（x-2）的根，代入x=2即可求出m的值.
详解: ：∵关于x的分式方程有增根，
∴x=2是方程m=x-1-2（x-2）的根，
∴m=1．
故选B
点睛: 本题考查了分式方程的增根，熟记分式方程增根的定义是解题的关键．
4. 赫山中学一个学期的数学总平均分是按图进行计算的．该校胡军同学这个学期的数学成绩如下：
胡军
平时作业
期中考试
期末考试
95
85
80
则胡军这个学期数学总平均分为（ ）
A. 84.5 B. 86.7 C. 89 D. 87
【正确答案】A
【详解】分析: 先从统计图得到数据，再利用加权平均数的计算方法求解.
详解: 根据题意胡军这个学期数学总平均分为95×20%+85×30%+80×50%=84.5．
故选A.
点睛: 此题考查加权平均数的求法和从没有同的统计图中获取信息的能力．扇形统计图能反映各部分所占的百分比.
5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体紧密摆放而成的，其三视图中面积的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
【正确答案】D
【分析】
【详解】如图，该几何体主视图是由4个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由4个小正方形组成，
故三种视图面积的是主视图和俯视图．
故选D
6. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 2或3
【正确答案】A
【详解】分析: 设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为（x-40），原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60-x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题.
详解: 设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，
解得：x1=57，x2=58，
由已知，要尽量优惠顾客，故量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58．
∴每件商品应降价60-57=3元．
故选A
点睛: 本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去没有合题意的解.
7. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a＞0、c＜0，进而可得出ac＜0，结论①错误；②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③由抛物线对称轴为直线x=1，即可得出b=-2a，进而可得出2a+b=0，结论③正确；④由a＞0、c＜0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）＞0，结论④错误；⑤由当x=-2时，y＞0可得出4a-2b+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①错误；
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论③正确；
④∵a＞0，c＜0，b=-2a，
∴b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）＞0，结论④错误；
⑤∵当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，结论⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析: 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2018个正方形的面积.
详解: ∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA=2，OD=4，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=2，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=（2）2=20，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴=，即 =，
∴BA1=，
∴CA1=，
∴正方形A1B1C1C的面积=（）2=20×，…，
故正方形A2018B2018C2018C2017的面积为：20×（）2018=20·.
故选C．
点睛: 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键.
二、填 空 题（3*8=24分）
9. 有一种球状细菌的直径是0.00216米 ，则用科学记数法表示为____________________
【正确答案】2.16×10-3
【详解】分析: 值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.
详解: 0.00216=2.16×10-3．
故答案为2.16×10-3．
点睛: 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.
10. 已知∠α与∠β互余，且∠α=35°30′，则∠β=_____．
【正确答案】54°30´
【分析】根据互余的定义得到∠β=90°-∠α=90°-35°30′，然后进行角度计算即可．
【详解】解: ∵∠α与∠β互余，
∴∠β=90°-∠α
=90°-35°30′
=54°30′
故答案为54°30′
本题考查了余角和补角：若两个角的和为90°，那么这两个角互余；若两个角的和为180°，那么这两个角互补．
11. 没有等式组的解集为_____________.
【正确答案】-3
【详解】分析: 先解没有等式组中的每一个没有等式的解集，再利用求没有等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求没有等式组的解集．
详解:
由①得，x>-3；
由②得，x≤8，
故此没有等式组的解集为：-3
12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”，应当先假设这个三角形中_________．
【正确答案】假设三角形三个内角都小于60度
【详解】分析: 反证法的步是假设命题的结论没有成立，据此可以得到答案.
详解: 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为三角形中每一个内角都小于60°
点睛: 本题角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论没有成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设没有成立，则结论成立．在假设结论没有成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.
13. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．
【正确答案】
【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】∵y=x2-4x-4=（x-2）2-8，
∵将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x-2+3）2-8+5．
即y=（x+1）2-3，
故答案为y=（x+1）2-3．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，则重叠部分S△AFC=_________
【正确答案】40
【详解】分析: 因为AB为FC边上的高，要求△AFC的面积，求得FC即可，先证△CFD′≌△AFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△CFD′中，根据勾股定理求x，而FC=BC-BF.
详解: 根据翻折的性质可知：AB=CD′，∠AFB=∠CFD′，∠B=∠D′，
∴△CFD′≌△AFB，
∴BF=D′F，
设D′F=x，则FC=16-x，
在Rt△CFD′中，CF2=D′F2+CD′2，即为（16-x）2=x2+82，
解之得：x=6，
∴FC=BC-FB=16-6=10，
所以S△AFC=•AB•FC=×10×8=40.
故答案为:40.
点睛: 本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理求解.
15. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=150°，若设AB=AC=x，△ABC的面积是y，则y与x的函数关系式为___________________________．
【正确答案】
【详解】分析:过点C作BA的垂线交BA的延长线于点D,利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半的性质,即可求出三角形ABC的高,根据面积公式计算即可.
详解:如图,
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°
∵AB=AC=x，
∴CD=AB=x,
∴y=x×x×=.
点睛: 本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半的性质.
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A100的横坐标是_____．
【正确答案】
【详解】分析: 先根据直线l：y=x-与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A100的横坐标.
详解: 由直线l：y=x-与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0，-），
∴OB1=1，∠OB1D=30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，
即A1的横坐标为=，
由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，
即A2的横坐标为+1==，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，
即A3的横坐标为+1+2==，
同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2018的横坐标是，
故答案为.
点睛: 本题主要考查了函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的横坐标为.
三、解 答 题
17. 计算：（﹣1）2018﹣|﹣2|+（）0×+
【正确答案】5
【详解】分析: 原式项利用-1的偶次幂为1计算，第二项利用负数的值等于它的相反数计算，第三项利用零指数、立方根定义化简，一项利用负指数幂法则计算，计算即可得到结果
详解: 原式=1-2+2+4
=5
点睛: 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18. 先化简：，再从没有等式3x+7≥1的负整数解中，取适当的数求值．
【正确答案】-1
【详解】分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可.
详解: 原式= •
=，
由3x+7≥1，解得x≥-2，
∵x是没有等式3x+7≥1的负整数解，
∴x=-1或-2，
∵x≠-2,
∴x=-1,
∴原式=-1.
点睛: 本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.
19. 已知：关于x的方程x2+2ax+a2﹣1=0
（1）没有解方程，判列方程根的情况； （2）若方程有一个根为2，求a的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）-1或-3.
【详解】分析: （1）根据根的判别式可得△=4a2-4（a2-1）=4即可判断根的情况；
（2）由题意可知把x=2代入原方程求得a的值，然后再把a的值代入原方程求得方程的另外一个根即可.
详解: ：（1）∵关于x的方程x2-2ax+a2-1=0，
∴△=4a2-4（a2-1）=4＞0，即△＞0，
∴方程有两没有相等的实数根；
（2）∵x=2是方程的一个根，
∴把x=2代入原方程中得：4-4a+a2-1=0，
∴a=-1或a=-3，
点睛: 本题主要考查了根的判别式的知识和一元二次方程的解的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对市区居民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？并将两幅没有完整的图补充完整；
（2）若常德市武陵区居民有60万人口，估计有多少人爱吃肉馅粽？
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【正确答案】（1）600人，补图见解析；（2）18万人；（3）
【详解】分析: （1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求解并补图；
（2）求出A占的百分比，乘以60即可得到结果；；
（3）利用列举法即可求解.
详解: ：（1）本次参加抽样的居民人数是：60÷10%=600（人）；
C类的人数是：600-180-60-240=120（人），
C类所占的百分比是：×=20%，
A类所占的百分比是：×=30%．
；
（2）30%×60=18（万人）；
（3）画树状图如下：
则他第二个吃到恰好是C粽的概率是：=．
点睛: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 如图，函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（m，2），B（2，-1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，请你直接写出P点的坐标．
【正确答案】（1）；y=-x+1；（2）P点的坐标（3，0）、（﹣3，0）、（，0）或（，0）．
【详解】分析:（1）把点B坐标代入y=求出反比例函数的解析式，再把点A坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，利用待定系数法求出函数解析式.
(2)分三种情况进行讨论, ①当∠BAP=90°; ②当∠BPA=90°; ③当∠PBA=90°, 利用勾股定理的逆定理建立方程即可得出结论．
详解: (1)把A(−1,2)代入y=得：2=k ₂−1
∴k ₂=2×(−1)=−2
∴
把B(m,2)代入得：m=-1，
∴B(-1,2)
把A(−1,2),B(2,−1)分别代入y=k ₁x+b得：
∴
∴y=−x+1
(2)∵A(−1,2),B(2,−1),P(n,0)，
∴AB ²=18,AP ²=(n+1) ²+4,BP ²=(n−2) ²+1，
∵△ABP为直角三角形，
∴①当∠ABP=90°时,AB ²+BP ²=AP ²，
∴18+(n−2) ²+1=(n+1) ²+4，
∴n=3，
∴P(3,0)，
②当∠BAP=90°时,AB ²+AP ²=BP ²，
∴18+(n+1) ²+4=(n−2) ²+1，
∴n=−3，
∴P(−3,0)，
③当∠APB=90°时,AP ²+BP ²=AB ²，
∴(n+1) ²+4+(n−2) ²+1=18，
∴n=，
∴P(,0)或(,0)
即：P点的坐标(3,0)、(−3,0)、（，0）或（，0）.
点睛: 本题考查反比例函数和函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意在没有确定直角三角形的直角边和底边的情况下要考虑到所有的情况，没有要漏解.
22. 每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．
（1）求甲、乙两种型号设备的价格；
（2）该公司决定购买节省能源的新设备的资金没有超过110万元，你认为该公司有哪几种购买．
【正确答案】（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；（2）有6种购买．
【详解】分析: （1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可；
（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10-m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金没有超过110万元，列出没有等式，然后求解即可得出购买.
详解:
(1)设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，
由题意得：，
解得：，
则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．
（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，
则：12m+10（10﹣m）≤110，
∴m≤5，
∵m取非负整数
∴m=0，1，2，3，4，5，
∴有6种购买．
点睛: 此题考查了二元方程组和一元没有等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出方程组和没有等式.
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）PA与⊙O相切，理由见解析;(3)2.
【详解】分析: （1）先判断出弧AB=弧BC，进而得出∠ADB=∠BAE，即可得出结论；
（2）先判断出AB是PE的垂直平分线，进而得出∠BAP=∠BAE，即可得出结论；
（3）先利用相似得出AB，进而用勾股定理求出AE，再判断出△ABE∽△DCE，进而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出结论.
详解:
（1）证明：∵AB=BC，
∴，
∴∠ADB=∠BAE，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA；
（2）解：PA与⊙O相切，
理由：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵PB=BE，
∴AB是PE的垂直平分线，
∴AP=AE，
∴∠BAP=∠BAE，
∵∠ADB=∠BAE，
∴∠BAP=∠ADB，
∵∠DAB+∠BDA=90°，
∴∠DAB+∠BAP=90°，
∵点A在⊙O上，
∴PA与⊙O相切；
（3）解：设BE=DE=a，则BD=2a，
∵△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB=a，
根据勾股定理得，AE==a，
∵，
∴∠BAE=∠CDE，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=a，CE=a，
∴AC=AE+CE=，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，tan∠ADC==2．
点睛: 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定和性质，线段的垂直平分线，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△DCE是解本题的关键.
24. 如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为1.8米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（到0.1米，参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）
【正确答案】点A到地面的距离为12.9米．
【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于M，先证明∠ABC=∠ACB，推出AB=AC．在Rt△ACM中，求出AC，再在Rt△ACE中求出AE即可解决问题．
试题解析：解：由题可知，BH⊥HE，AE⊥HE，CD=2米，BC=4米，∠BCH=30°，∠ABC=80°，∠ACE=70°．∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACB=80°．
∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
过点A作AM⊥BC于M，则CM=BM=2米．
∵在Rt△ACM中，CM=2米，∠ACB=80°，∴=cos∠ACB=cos80°≈0.17，
∴AC==（米）．
∵在Rt△ACE中，AC=，∠ACE=70°，∴=sin∠ACE=sin70°≈0.94，
∴AE=×0.94=≈11.1（米），11.1+1.8=12.9（米）
故点A到地面的高度为12.9米．
25. 已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；
（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；
（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标．
【正确答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P点的横坐标为﹣2或．
【详解】分析：根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x=0时，y=−4，可求点C的坐标为(0,−4)，，根据三角形面积公式可求进一步得到A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.
则分和两种情况讨论即可.
过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.
详解：（1）该二次函数的对称轴是：直线
当x=0时，y=−4，
∴点C的坐标为(0,−4)，
∴
连接
∵
又∵点A，B关于直线x=−1对称，
∴A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).
∴4a+4a−4=0,解得
∴所求二次函数的解析式为
（2）如图1，∵
且
分两种情况：
①当时，
∴
即或
②当时，
∴
即或
综上所述，点D坐标为或或或；
（3）如图2，过D作轴于F，分两种情况：
①当点P在直线AD的下方时，如图所示:
由(1)得点A(−4,0),点D(−2,1)，
∴DF=1，AF=2.
在Rt△ADF中,得
延长DF与抛物线交于点,则点为所求,
∴点的坐标为(−2,−4).
②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示.
可证△GHA≌△P1FA.
∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.
又∵A(−4,0),P1(−2,−4)，
∴点G的坐标是(−6,4).
易得DG的解析式为：
在中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设
代入DG的解析式中，
解得
∵P2 点在第二象限，
∴P2点的横坐标为（舍正）
综上，P点的横坐标为或．
点睛：属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等.
对学生知识和能力要求较高，注意做题的方法和技巧.
26. 已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：△ABE≌△ADF
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2，求线段HF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.
【详解】试题分析：（1）如图1中，由△ABE≌△ADF，推出∠AFD=∠E，由AG=GE，推出GB=GE=GA，推出∠E=∠GBE=∠AFD，由∠GBE+∠GBC=180°，推出∠AFD+∠GBC=180°即可；
（2）如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．只要证明O、H、G、B四点共圆，由AG=GE，AO=OC．推出OG∥CE，推出∠GOB=∠OBC=45°，即可解决问题；
（3）如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．只要证明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，推出tan∠EAB=tan∠HBO=，由CH=3AH，OA=OC=OB，推出tan∠EAB=tan∠HBO==，BE=DF=，在RtHMF中，利用勾股定理即可解决问题.
试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠E，
∵AG=GE，∴GB=GE=GA，∴∠E=∠GBE=∠AFD，∵∠GBE+∠GBC=180°，∴∠AFD+∠GBC=180°；
（2）如图2，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK，
∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，∴GK=KH=OK=KB，∴O、H、G、B四点共圆，
∵AG=GE，AO=OC，∴OG∥CE，
∴∠GOB=∠OBC=45°，∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，
∴∠GBH=∠GHB=45°， ∴GH=GB；
（3）如图3，设OG交AB于T，GH交AB于P，作HM⊥DF于M，
∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=，∵CH=3AH，OA=OC=OB，∴tan∠EAB=tan∠HBO==，
∵AB=AD=2，∴BE=DF=，在Rt△HMF中，易证FM=，HM=，
∴HF==5．
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
2. 据统计，2017年长春市国际马拉松参赛人数约30000人次，30000这个数用科学记数法表示
A. B. C. D.
3. 如图，立体图形俯视图是 （ ）
A. A B. B C. C D. D
4. 没有等式组的解集为（ ）
A. x＞2． B. x ≥ 2． C. x＞3． D. x ≥ 3．
5. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB=75°，则∠PNM度数是（ ）
A 45° B. 25° C. 30° D. 20°
6. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在中，AB是直径，AC是弦，过点C切线与AB的延长线交于点D，若，则的大小为
A. B. C. D.
8. 如图，在象限内，点P（2，3）、M（a，2）是双曲线上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为 （ ）
A. 1． B. 3． C. 2． D. ．
第Ⅱ卷（非选一选 共96 分）
二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
9. 因式分解：9m2-1 =________．
10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
11. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长为____________．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5．以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则的值为___________．
13. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在函数（x＞0）的图象上，且BC∥x轴．将△ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点落在此函数的图象上，则平移的距离为_________________．
三、解 答 题（本大题共10小题，共78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 在一个没有透明的口袋中有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色没有同外，其他都相同．从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀；再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸到的球颜色没有同的概率．
17. 购进一批清雪车每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km，每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km？
18. 为市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行，要求被者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有结果整理后绘制成如下没有完整的条形统计图和扇形统计图，请统计图回答下列问题：
在这次中，一共了______名市民．
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______．
请补全条形统计图．
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
20. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
21. 某景区的三个景点A、B、C在同一线路上甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点甲、乙两人距景点A的路程米与甲出发的时间分之间的函数图象如图所示．
乙步行的速度为______米分．
求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式．
甲出发多长时间与乙次相遇？
22. 【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据负数的值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 据统计，2017年长春市国际马拉松参赛人数约30000人次，30000这个数用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：30000=．故选C．
3. 如图，立体图形的俯视图是 （ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】C
【详解】解：立体图形的俯视图是C．故选C．
4. 没有等式组的解集为（ ）
A. x＞2． B. x ≥ 2． C. x＞3． D. x ≥ 3．
【正确答案】C
【详解】解：，解①得：x≥2，解②得：x＞3．故原没有等式组的解集是：x＞3．故选C．
5. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB=75°，则∠PNM度数是（ ）
A. 45° B. 25° C. 30° D. 20°
【正确答案】C
详解】解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=75°．∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=30°．故选C．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】依据积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
本题主要考查了幂的乘方法则，幂的乘方的底数指的是幂的底数；“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
7. 如图，在中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若，则的大小为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
详解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故选B．
点睛：本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
8. 如图，在象限内，点P（2，3）、M（a，2）是双曲线上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为 （ ）
A. 1． B. 3． C. 2． D. ．
【正确答案】D
【详解】解：把P（2，3），M（a，2）代入y=得：k=2×3=2a，解得：k=6，a=3，设直线OM的解析式为y=mx，把M（3，2）代入得：3m=2，解得：m=，所以直线OM的解析式为y=x，当x=2时，y=×2=，所以C点坐标为（2，），所以△OAC的面积=×2×=．故选D．
点睛：本题考查了反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
第Ⅱ卷（非选一选 共96 分）
二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
9. 因式分解：9m2-1 =________．
【正确答案】
【详解】分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．
详解：原式=（3m+1）（3m﹣1）．
故答案为（3m+1）（3m﹣1）．
点睛：本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．
10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【正确答案】9
【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
故9．
本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长为____________．
【正确答案】7.5
【详解】解：∵a∥b∥c，∴，即，解得：EF=4.5，∴DF=DE+EF=3+4.5=7.5．故答案为7.5．
点睛：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB：BC=3：5．以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则的值为___________．
【正确答案】4
【详解】解：如图，连接BE，则BE=BC．
设AB=3x，BC=5x．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∴．故答案为4．
点睛：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解答此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．
13. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．
【正确答案】
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到，，，，，推出△OAO′是等边三角形，得到，因为∠AOB＝120°，所以，则是等边三角形，得到，得到，，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，用的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：如图所示，连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴，，，，
∴△OAO′是等边三角形，
∴，，
∴点在⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴图中阴影部分的面积=，
故．
本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在函数（x＞0）的图象上，且BC∥x轴．将△ABC沿y轴正方向平移，使点A的对应点落在此函数的图象上，则平移的距离为_________________．
【正确答案】4
【详解】解：连接AA′，过C作CD⊥x轴于D．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠CBA=∠CBA=45°．∵BC∥x轴，∴∠BAO=∠CAD=45°．∵∠BOA=∠CDA=90°，∴△BOA≌△CDA，∴OB=OA=AD=CD，设OA=a，则OD=2a，CD=a，∴C（2a，a）．∵C在上，∴，解得：a=±2（负数舍去），∴a=2．
设AA′=x，则A′（2，x），∴=4．故答案为4．
点睛：本题是反比例函数综合题．考查了平移的性质和反比例函数的性质．求出C的坐标是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共10小题，共78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】原式．
【详解】试题分析：先用分式混合运算法则化简，然后代入求值即可．
试题解析：解：原式====．
当x=－2时，原式==－1．
16. 在一个没有透明的口袋中有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色没有同外，其他都相同．从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀；再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸到的球颜色没有同的概率．
【正确答案】.
【详解】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球颜色没有同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到的球颜色没有同的有6种情况，∴两次摸到的球颜色没有同的概率=．
17. 购进一批清雪车每辆新清雪车比每辆旧清雪车每小时多清扫路面2km，每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，求每辆旧清雪车每小时清扫路面多少km？
【正确答案】每辆旧清雪车每小时清扫路面5km．
【详解】试题分析：设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，根据每辆新清雪车清扫路面35km与每辆旧清雪车清扫路面25km所用的时间相同，列出方程求解即可．
试题解析：设每辆旧清雪车每小时清扫路面xkm，
由题意，得
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：每辆旧清雪车每小时清扫路面5km．
考点：分式方程的应用．
18. 为市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行，要求被者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有结果整理后绘制成如下没有完整的条形统计图和扇形统计图，请统计图回答下列问题：
在这次中，一共了______名市民．
扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______．
请补全条形统计图．
【正确答案】 2000；；补图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被的人数，
（2）由总人数减去A、B、D、E组的人数，即可得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（3）根据C组的人数，补全条形统计图．
试题解析：解：（1）被的人数为：800÷40%=2000（人）
（2）C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°；
（3）条形统计图如下：
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
【正确答案】证明见解析.
【详解】试题分析：首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案．
试题解析：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF≌△DEB是解题的关键．
20. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山高度BC．（到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
【正确答案】山的高度BC约为422米
【详解】试题分析：由题意可得，∠BAC=40°，AB=660米，根据40°的正弦可求出BC的值．
试题解析：解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°=，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
21. 某景区三个景点A、B、C在同一线路上甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点甲、乙两人距景点A的路程米与甲出发的时间分之间的函数图象如图所示．
乙步行的速度为______米分．
求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式．
甲出发多长时间与乙次相遇？
【正确答案】80； ； 甲出发25分钟与乙次相遇．
【详解】试题分析：（1）根据速度=路程÷时间，即可求出乙步行的速度；
（2）观察函数图象，找出两点的坐标，利用待定系数即可求出乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；
（3）根据速度=路程÷时间求出甲步行的速度，进而找出甲步行时y与x之间的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，通过解方程组即可求出二者次相遇的时间．
试题解析：解：（1）乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）=80（米/分）．
故答案为80．
（2）设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（20，0），（30，3000）代入y=kx+b得：，解得：，∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y=300x﹣6000（20≤x≤30）．
（3）甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），∴甲步行y与x之间的函数关系式为y=60x．
联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴甲出发25分钟与乙次相遇．
点睛：本题考查了函数的应用，解题的关键是：（1）根据速度=路程÷时间，求出乙步行的速度；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（3）联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标．
22. 【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小．
【应用】如图3，在问题原型条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
【正确答案】【问题原型】证明见解析；【探究】 ；【应用】．
【分析】问题原型:利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
探究:先证明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=〖90〗^∘列方程得∠BAD的度数；
应用:由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边△DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
【详解】问题原型:证明：
在中，点E，F分别为AC，BC的中点
，且
在中，点E为AC的中点，
探究:平分，，
，
，
应用:四边形ABCD的面积为：
四边形CDEF是菱形，，
与都是等边三角形，
，
，
，，
．
考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（3*8=24分）
1. 给出四个数0，，π，，其中无理数有几个（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
3. 若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
4. 赫山中学一个学期的数学总平均分是按图进行计算的．该校胡军同学这个学期的数学成绩如下：
胡军
平时作业
期中考试
期末考试
95
85
80
则胡军这个学期数学总平均分为（ ）
A. 84.5 B. 86.7 C. 89 D. 87
5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体紧密摆放而成的，其三视图中面积的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
6. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 2或3
7. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（3*8=24分）
9. 有一种球状细菌的直径是0.00216米 ，则用科学记数法表示为____________________
10 已知∠α与∠β互余，且∠α=35°30′，则∠β=_____．
11. 没有等式组的解集为_____________.
12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”，应当先假设这个三角形中_________．
13. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，则重叠部分S△AFC=_________
15. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=150°，若设AB=AC=x，△ABC的面积是y，则y与x的函数关系式为___________________________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A100横坐标是_____．
三、解 答 题
17. 计算：（﹣1）2018﹣|﹣2|+（）0×+
18. 先化简：，再从没有等式3x+7≥1的负整数解中，取适当的数求值．
19. 已知：关于x的方程x2+2ax+a2﹣1=0
（1）没有解方程，判列方程根的情况； （2）若方程有一个根为2，求a的值．
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对市区居民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？并将两幅没有完整的图补充完整；
（2）若常德市武陵区居民有60万人口，估计有多少人爱吃肉馅粽？
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21. 如图，函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（m，2），B（2，-1）．
（1）求这两个函数表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，请你直接写出P点的坐标．
22. 每年6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．
（1）求甲、乙两种型号设备的价格；
（2）该公司决定购买节省能源新设备的资金没有超过110万元，你认为该公司有哪几种购买．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
24. 如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为1.8米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（到0.1米，参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）
25. 已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；
（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；
（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标．
26. 已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：△ABE≌△ADF
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2，求线段HF的长．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（3*8=24分）
1. 给出四个数0，，π，，其中无理数有几个（ ）
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】分析: 无理数就是无限没有循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限没有循环小数是无理数．由此即可判定选择项.
详解: 0,是有理数，
，π是无理数，
故选C.
点睛: 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开没有尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.
2. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【正确答案】A
【详解】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
3. 若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】B
【详解】分析: 由分式方程有增根可得出x=2是方程m=x-1-2（x-2）的根，代入x=2即可求出m的值.
详解: ：∵关于x的分式方程有增根，
∴x=2是方程m=x-1-2（x-2）的根，
∴m=1．
故选B
点睛: 本题考查了分式方程的增根，熟记分式方程增根的定义是解题的关键．
4. 赫山中学一个学期的数学总平均分是按图进行计算的．该校胡军同学这个学期的数学成绩如下：
胡军
平时作业
期中考试
期末考试
95
85
80
则胡军这个学期数学总平均分为（ ）
A. 84.5 B. 86.7 C. 89 D. 87
【正确答案】A
【详解】分析: 先从统计图得到数据，再利用加权平均数的计算方法求解.
详解: 根据题意胡军这个学期数学总平均分为95×20%+85×30%+80×50%=84.5．
故选A.
点睛: 此题考查加权平均数的求法和从没有同的统计图中获取信息的能力．扇形统计图能反映各部分所占的百分比.
5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体紧密摆放而成的，其三视图中面积的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
【正确答案】D
【分析】
【详解】如图，该几何体主视图是由4个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由4个小正方形组成，
故三种视图面积的是主视图和俯视图．
故选D
6. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 2或3
【正确答案】A
【详解】分析: 设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为（x-40），原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60-x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题.
详解: 设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，
解得：x1=57，x2=58，
由已知，要尽量优惠顾客，故量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58．
∴每件商品应降价60-57=3元．
故选A
点睛: 本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去没有合题意的解.
7. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a＞0、c＜0，进而可得出ac＜0，结论①错误；②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；③由抛物线对称轴为直线x=1，即可得出b=-2a，进而可得出2a+b=0，结论③正确；④由a＞0、c＜0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）＞0，结论④错误；⑤由当x=-2时，y＞0可得出4a-2b+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①错误；
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论③正确；
④∵a＞0，c＜0，b=-2a，
∴b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）＞0，结论④错误；
⑤∵当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，结论⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析: 先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2018个正方形的面积.
详解: ∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA=2，OD=4，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=2，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=（2）2=20，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴=，即 =，
∴BA1=，
∴CA1=，
∴正方形A1B1C1C的面积=（）2=20×，…，
故正方形A2018B2018C2018C2017的面积为：20×（）2018=20·.
故选C．
点睛: 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键.
二、填 空 题（3*8=24分）
9. 有一种球状细菌的直径是0.00216米 ，则用科学记数法表示为____________________
【正确答案】2.16×10-3
【详解】分析: 值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.
详解: 0.00216=2.16×10-3．
故答案为2.16×10-3．
点睛: 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.
10. 已知∠α与∠β互余，且∠α=35°30′，则∠β=_____．
【正确答案】54°30´
【分析】根据互余的定义得到∠β=90°-∠α=90°-35°30′，然后进行角度计算即可．
【详解】解: ∵∠α与∠β互余，
∴∠β=90°-∠α
=90°-35°30′
=54°30′
故答案为54°30′
本题考查了余角和补角：若两个角的和为90°，那么这两个角互余；若两个角的和为180°，那么这两个角互补．
11. 没有等式组的解集为_____________.
【正确答案】-3
【详解】分析: 先解没有等式组中的每一个没有等式的解集，再利用求没有等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求没有等式组的解集．
详解:
由①得，x>-3；
由②得，x≤8，
故此没有等式组的解集为：-3
12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”，应当先假设这个三角形中_________．
【正确答案】假设三角形三个内角都小于60度
【详解】分析: 反证法的步是假设命题的结论没有成立，据此可以得到答案.
详解: 用反证法证明“三角形中必有一个内角没有小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为三角形中每一个内角都小于60°
点睛: 本题角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论没有成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设没有成立，则结论成立．在假设结论没有成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.
13. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．
【正确答案】
【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】∵y=x2-4x-4=（x-2）2-8，
∵将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x-2+3）2-8+5．
即y=（x+1）2-3，
故答案为y=（x+1）2-3．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，则重叠部分S△AFC=_________
【正确答案】40
【详解】分析: 因为AB为FC边上的高，要求△AFC的面积，求得FC即可，先证△CFD′≌△AFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△CFD′中，根据勾股定理求x，而FC=BC-BF.
详解: 根据翻折的性质可知：AB=CD′，∠AFB=∠CFD′，∠B=∠D′，
∴△CFD′≌△AFB，
∴BF=D′F，
设D′F=x，则FC=16-x，
在Rt△CFD′中，CF2=D′F2+CD′2，即为（16-x）2=x2+82，
解之得：x=6，
∴FC=BC-FB=16-6=10，
所以S△AFC=•AB•FC=×10×8=40.
故答案为:40.
点睛: 本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理求解.
15. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=150°，若设AB=AC=x，△ABC的面积是y，则y与x的函数关系式为___________________________．
【正确答案】
【详解】分析:过点C作BA的垂线交BA的延长线于点D,利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半的性质,即可求出三角形ABC的高,根据面积公式计算即可.
详解:如图,
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°
∵AB=AC=x，
∴CD=AB=x,
∴y=x×x×=.
点睛: 本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半的性质.
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A100的横坐标是_____．
【正确答案】
【详解】分析: 先根据直线l：y=x-与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A100的横坐标.
详解: 由直线l：y=x-与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0，-），
∴OB1=1，∠OB1D=30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，
即A1的横坐标为=，
由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，
即A2的横坐标为+1==，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，
即A3的横坐标为+1+2==，
同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2018的横坐标是，
故答案为.
点睛: 本题主要考查了函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的横坐标为.
三、解 答 题
17. 计算：（﹣1）2018﹣|﹣2|+（）0×+
【正确答案】5
【详解】分析: 原式项利用-1的偶次幂为1计算，第二项利用负数的值等于它的相反数计算，第三项利用零指数、立方根定义化简，一项利用负指数幂法则计算，计算即可得到结果
详解: 原式=1-2+2+4
=5
点睛: 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18. 先化简：，再从没有等式3x+7≥1的负整数解中，取适当的数求值．
【正确答案】-1
【详解】分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可.
详解: 原式= •
=，
由3x+7≥1，解得x≥-2，
∵x是没有等式3x+7≥1的负整数解，
∴x=-1或-2，
∵x≠-2,
∴x=-1,
∴原式=-1.
点睛: 本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.
19. 已知：关于x的方程x2+2ax+a2﹣1=0
（1）没有解方程，判列方程根的情况； （2）若方程有一个根为2，求a的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）-1或-3.
【详解】分析: （1）根据根的判别式可得△=4a2-4（a2-1）=4即可判断根的情况；
（2）由题意可知把x=2代入原方程求得a的值，然后再把a的值代入原方程求得方程的另外一个根即可.
详解: ：（1）∵关于x的方程x2-2ax+a2-1=0，
∴△=4a2-4（a2-1）=4＞0，即△＞0，
∴方程有两没有相等的实数根；
（2）∵x=2是方程的一个根，
∴把x=2代入原方程中得：4-4a+a2-1=0，
∴a=-1或a=-3，
点睛: 本题主要考查了根的判别式的知识和一元二次方程的解的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对市区居民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？并将两幅没有完整的图补充完整；
（2）若常德市武陵区居民有60万人口，估计有多少人爱吃肉馅粽？
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【正确答案】（1）600人，补图见解析；（2）18万人；（3）
【详解】分析: （1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求解并补图；
（2）求出A占的百分比，乘以60即可得到结果；；
（3）利用列举法即可求解.
详解: ：（1）本次参加抽样的居民人数是：60÷10%=600（人）；
C类的人数是：600-180-60-240=120（人），
C类所占的百分比是：×=20%，
A类所占的百分比是：×=30%．
；
（2）30%×60=18（万人）；
（3）画树状图如下：
则他第二个吃到恰好是C粽的概率是：=．
点睛: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 如图，函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（m，2），B（2，-1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，请你直接写出P点的坐标．
【正确答案】（1）；y=-x+1；（2）P点的坐标（3，0）、（﹣3，0）、（，0）或（，0）．
【详解】分析:（1）把点B坐标代入y=求出反比例函数的解析式，再把点A坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，利用待定系数法求出函数解析式.
(2)分三种情况进行讨论, ①当∠BAP=90°; ②当∠BPA=90°; ③当∠PBA=90°, 利用勾股定理的逆定理建立方程即可得出结论．
详解: (1)把A(−1,2)代入y=得：2=k ₂−1
∴k ₂=2×(−1)=−2
∴
把B(m,2)代入得：m=-1，
∴B(-1,2)
把A(−1,2),B(2,−1)分别代入y=k ₁x+b得：
∴
∴y=−x+1
(2)∵A(−1,2),B(2,−1),P(n,0)，
∴AB ²=18,AP ²=(n+1) ²+4,BP ²=(n−2) ²+1，
∵△ABP为直角三角形，
∴①当∠ABP=90°时,AB ²+BP ²=AP ²，
∴18+(n−2) ²+1=(n+1) ²+4，
∴n=3，
∴P(3,0)，
②当∠BAP=90°时,AB ²+AP ²=BP ²，
∴18+(n+1) ²+4=(n−2) ²+1，
∴n=−3，
∴P(−3,0)，
③当∠APB=90°时,AP ²+BP ²=AB ²，
∴(n+1) ²+4+(n−2) ²+1=18，
∴n=，
∴P(,0)或(,0)
即：P点的坐标(3,0)、(−3,0)、（，0）或（，0）.
点睛: 本题考查反比例函数和函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意在没有确定直角三角形的直角边和底边的情况下要考虑到所有的情况，没有要漏解.
22. 每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．
（1）求甲、乙两种型号设备的价格；
（2）该公司决定购买节省能源的新设备的资金没有超过110万元，你认为该公司有哪几种购买．
【正确答案】（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；（2）有6种购买．
【详解】分析: （1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可；
（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10-m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金没有超过110万元，列出没有等式，然后求解即可得出购买.
详解:
(1)设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，
由题意得：，
解得：，
则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．
（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，
则：12m+10（10﹣m）≤110，
∴m≤5，
∵m取非负整数
∴m=0，1，2，3，4，5，
∴有6种购买．
点睛: 此题考查了二元方程组和一元没有等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出方程组和没有等式.
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P为DB延长线上一点，且PB=BE．
（1）求证：△ABE∽△DBA；
（2）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）PA与⊙O相切，理由见解析;(3)2.
【详解】分析: （1）先判断出弧AB=弧BC，进而得出∠ADB=∠BAE，即可得出结论；
（2）先判断出AB是PE的垂直平分线，进而得出∠BAP=∠BAE，即可得出结论；
（3）先利用相似得出AB，进而用勾股定理求出AE，再判断出△ABE∽△DCE，进而求出CD，CE，即可得出AC，即可得出结论.
详解:
（1）证明：∵AB=BC，
∴，
∴∠ADB=∠BAE，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA；
（2）解：PA与⊙O相切，
理由：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵PB=BE，
∴AB是PE的垂直平分线，
∴AP=AE，
∴∠BAP=∠BAE，
∵∠ADB=∠BAE，
∴∠BAP=∠ADB，
∵∠DAB+∠BDA=90°，
∴∠DAB+∠BAP=90°，
∵点A在⊙O上，
∴PA与⊙O相切；
（3）解：设BE=DE=a，则BD=2a，
∵△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB=a，
根据勾股定理得，AE==a，
∵，
∴∠BAE=∠CDE，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=a，CE=a，
∴AC=AE+CE=，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，tan∠ADC==2．
点睛: 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定和性质，线段的垂直平分线，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ABE∽△DCE是解本题的关键.
24. 如图1，图2，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为1.8米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（到0.1米，参考数据：sin10°=cos80°=0.17，cos10°=sin80°=0.98，sin20°=cos70°=0.34，tan70°=2.75，sin70°=0.94）
【正确答案】点A到地面的距离为12.9米．
【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于M，先证明∠ABC=∠ACB，推出AB=AC．在Rt△ACM中，求出AC，再在Rt△ACE中求出AE即可解决问题．
试题解析：解：由题可知，BH⊥HE，AE⊥HE，CD=2米，BC=4米，∠BCH=30°，∠ABC=80°，∠ACE=70°．∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACB=80°．
∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
过点A作AM⊥BC于M，则CM=BM=2米．
∵在Rt△ACM中，CM=2米，∠ACB=80°，∴=cos∠ACB=cos80°≈0.17，
∴AC==（米）．
∵在Rt△ACE中，AC=，∠ACE=70°，∴=sin∠ACE=sin70°≈0.94，
∴AE=×0.94=≈11.1（米），11.1+1.8=12.9（米）
故点A到地面的高度为12.9米．
25. 已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；
（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；
（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标．
【正确答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P点的横坐标为﹣2或．
【详解】分析：根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x=0时，y=−4，可求点C的坐标为(0,−4)，，根据三角形面积公式可求进一步得到A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.
则分和两种情况讨论即可.
过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.
详解：（1）该二次函数的对称轴是：直线
当x=0时，y=−4，
∴点C的坐标为(0,−4)，
∴
连接
∵
又∵点A，B关于直线x=−1对称，
∴A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).
∴4a+4a−4=0,解得
∴所求二次函数的解析式为
（2）如图1，∵
且
分两种情况：
①当时，
∴
即或
②当时，
∴
即或
综上所述，点D坐标为或或或；
（3）如图2，过D作轴于F，分两种情况：
①当点P在直线AD的下方时，如图所示:
由(1)得点A(−4,0),点D(−2,1)，
∴DF=1，AF=2.
在Rt△ADF中,得
延长DF与抛物线交于点,则点为所求,
∴点的坐标为(−2,−4).
②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示.
可证△GHA≌△P1FA.
∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.
又∵A(−4,0),P1(−2,−4)，
∴点G的坐标是(−6,4).
易得DG的解析式为：
在中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设
代入DG的解析式中，
解得
∵P2 点在第二象限，
∴P2点的横坐标为（舍正）
综上，P点的横坐标为或．
点睛：属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等.
对学生知识和能力要求较高，注意做题的方法和技巧.
26. 已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：△ABE≌△ADF
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2，求线段HF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.
【详解】试题分析：（1）如图1中，由△ABE≌△ADF，推出∠AFD=∠E，由AG=GE，推出GB=GE=GA，推出∠E=∠GBE=∠AFD，由∠GBE+∠GBC=180°，推出∠AFD+∠GBC=180°即可；
（2）如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．只要证明O、H、G、B四点共圆，由AG=GE，AO=OC．推出OG∥CE，推出∠GOB=∠OBC=45°，即可解决问题；
（3）如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．只要证明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，推出tan∠EAB=tan∠HBO=，由CH=3AH，OA=OC=OB，推出tan∠EAB=tan∠HBO==，BE=DF=，在RtHMF中，利用勾股定理即可解决问题.
试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠E，
∵AG=GE，∴GB=GE=GA，∴∠E=∠GBE=∠AFD，∵∠GBE+∠GBC=180°，∴∠AFD+∠GBC=180°；
（2）如图2，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK，
∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，∴GK=KH=OK=KB，∴O、H、G、B四点共圆，
∵AG=GE，AO=OC，∴OG∥CE，
∴∠GOB=∠OBC=45°，∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，
∴∠GBH=∠GHB=45°， ∴GH=GB；
（3）如图3，设OG交AB于T，GH交AB于P，作HM⊥DF于M，
∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=，∵CH=3AH，OA=OC=OB，∴tan∠EAB=tan∠HBO==，
∵AB=AD=2，∴BE=DF=，在Rt△HMF中，易证FM=，HM=，
∴HF==5．
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.
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