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2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共58页。试卷主要包含了 4倒数的相反数是， 化简+的结果为， 估计的值在， 函数的自变量x的取值范围是， 若，则的正确结果是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选：（每小题4分，共48分）
1. 4倒数的相反数是（ ）
A. ﹣4 B. 4 C. - D.
2. 如图图形既是对称又是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 化简+的结果为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是 ．
A. B. C. D.
5. 估计的值在（ ）
A. 0到l之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
6. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0 B. x>-2 C. x≥-2 D. x≠-2
7. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )
A. B. C. 3 D.
8. 若，则的正确结果是（ ）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A. 20 B. 27 C. 35 D. 40
11. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（到0.1米，参考数据：） （ ）
A. 30.6米 B. 32.1 米 C. 37.9米 D. 39.4米
12. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的没有等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 9
二．填 空 题：（每小题4分，共24分）
13. 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．
14. =_____．
15. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为_____．
16. 为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．
17. 如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=_____．
18. 如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略没有计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距_____米．
三．解 答 题：（每小题8分，共16分）
19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
20. 数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．
补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
四．解 答 题（每小题10分，共50分）
21. （1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
（2）（m﹣1﹣）．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
23. “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．
24. 有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC长；
（2）求证：AM=DF+ME．
五．解 答 题（每小题12分）
26. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求线段DE长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选：（每小题4分，共48分）
1. 4的倒数的相反数是（ ）
A. ﹣4 B. 4 C. - D.
【正确答案】C
【详解】4的倒数是，的相反数﹣，
故选C．
2. 如图图形既是对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】A、既是轴对称图形，也是对称图形．故本选项正确；
B、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形．故本选项错误；
C、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形．故本选项错误；
D、没有是轴对称图形，是对称图形．故本选项错误．
故选A．
点睛:本题考查了轴对称图形和对称图形的识别.在平面内，一个图形对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做对称图形．一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
3. 化简+的结果为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：=+=．
故选：A．
4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是 ．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3，
故选D．
本题考查了方差的知识,说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差没有变,即数据的波动情况没有变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍.
5. 估计的值在（ ）
A. 0到l之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
【正确答案】B
【详解】∵9<11<16,
∴,
∴
故选B.
6. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0 B. x>-2 C. x≥-2 D. x≠-2
【正确答案】B
【详解】根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2，
故选B．
本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
7. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )
A. B. C. 3 D.
【正确答案】A
【详解】∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴，
∵DE=6，AB=10，AE=8，
∴，
解得BC＝.
故选A.
8. 若，则的正确结果是（ ）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
【正确答案】A
【分析】≥0，≥0，根据非负数的性质列方程求x，y.
【详解】因为≥0，≥0，所以x－2＝0，3－y＝0，解得x＝2，y＝3.
所以x－y＝2－3＝－1.
故选：A.
初中阶段内的非负数有：值；偶数次方；算术平方根，非负数的性质是：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0，此时可得方程(组)，解方程(组)即可求得未知数的值.
9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π．
故选B．
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
10. 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A. 20 B. 27 C. 35 D. 40
【正确答案】B
【详解】试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．
故选B．
考点：规律型：图形变化类.
11. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（到0.1米，参考数据：） （ ）
A. 30.6米 B. 32.1 米 C. 37.9米 D. 39.4米
【正确答案】D
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【详解】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：，
∴BH：CH=1：，
设BH=x米，则CH=x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（x）2=122，
解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6米，
∴BG=GH－BH=15－6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°－45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6+20（米），
∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）≈39.4米．
故选：D
本题考查了解直角三角形应用－坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
12. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的没有等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 9
【正确答案】D
【详解】解：，
由①得：x≤2a+4，
由②得：x＜﹣2，
由没有等式组的解集为x＜﹣2，
得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，
把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，
即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，
即x=﹣3，没有合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，
即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，
即x=﹣2，没有合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，
即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，
即x=1，没有合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，
即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，
即x=0，没有合题意，
∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9．
故选：D．
二．填 空 题：（每小题4分，共24分）
13. 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．
【正确答案】3×104
【分析】
【详解】解：因为一粒纽扣电池能污染600立方米的水，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水就是：
600×50=30 000，用科学记数法表示为3×104立方米．
故答案为3×104．
14. =_____．
【正确答案】13
【详解】原式=2+9﹣1×4+6
=13．
故答案为13．
15. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为_____．
【正确答案】9
【详解】PC切⊙O于点C，则∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴,
∵BP=PC=3，
∴PC2=PB•PA，即36=3•PA，
∵PA=12
∴AB=12-3=9．
故答案是：9.
16. 为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．
【正确答案】17
【分析】分别求出众数、中位数即可得解．
【详解】解：∵8出现的次数至多，
∴众数是8；
∵这组数据按从小到大顺序排列，处于中间位置的两个数都是9，
∴中位数是9，
∴中位数与众数之和为8+9=17，
故17．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
17. 如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=_____．
【正确答案】-12
【详解】过E点作EF⊥OC于F.
∵点B的坐标为（﹣，5），
∴OA=BC=5,OC=.
又∵BC⊥OC,
∴EF∥BC,
∴△OEF∽OBC,
∴.
∵OE=OA=5,
∴EF=3，OF=4，
则E点坐标为（﹣4，3）,
∴k=﹣4×3=﹣12,
故答案：﹣12．
18. 如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略没有计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距_____米．
【正确答案】5200
【详解】设甲到学校的距离为x米，则乙到学校的距离为(3900+x),甲的速度为4y(米/分钟)，则乙的速度为3y(米/分钟)，依题意得：
解得
所以甲到学校距离为2400米，乙到学校距离为6300米，
所以甲的家和乙的家相距8700米.
故答案是：8700.
本题考查函数的应用，二元方程组的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息．
三．解 答 题：（每小题8分，共16分）
19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
【正确答案】见解析
【分析】根据条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABF=90°．
∵在△BAF和△DAE中，
，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴∠FAB=∠EAD，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∴∠FAE=90°，
∴EA⊥AF．
20. 数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．
补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
【正确答案】576名
【详解】试题分析：根据统计图可以求得本次的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
试题解析：
本次的学生有：32÷16%=200（名），
体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），
补全的条形统计图如右图所示，
我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×=576（名），
答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．
四．解 答 题（每小题10分，共50分）
21. （1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
（2）（m﹣1﹣）．
【正确答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先计算括号里的，再将除法转换在乘法计算.
试题解析：
（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2
=4a2；
（2）．
=
=
=
=．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
【正确答案】（1），；（2）8．
【详解】试题分析：（1）先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
试题解析：（1）
∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==，
∴OA=2，CE=3，
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3），
设直线AB的解析式为，
则，
解得：，
故直线AB的解析式为，
设反比例函数的解析式为（），
将点C的坐标代入，
得3=，∴m=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为；
（2）联立反比例函数解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为（6，﹣1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOD的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
23. “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．
【正确答案】（1）1600千米；（2）620
【详解】试题分析：（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出方程（80+120）（1-m%）（8+m%）=1600，进而解方程求出即可．
试题解析：
（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得： ．
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m%）=1600，
解得：m1=620，m2=0（没有合题意舍去），
答：m的值为620．
24. 有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
【正确答案】（1）见解析；（2）三位自然数为201，207，255.
【详解】试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，用能被3整除即可．
解：（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字没有是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209没有能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，
而251，257，259没有能被3整除，
∴这个三位自然数为255，
即这个三位自然数为201，207，255．
点睛：此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【正确答案】(1)2;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
五．解 答 题（每小题12分）
26. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求线段DE的长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】(1)2 ;(2) ;(3)见解析.
【详解】分析：（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；
（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（-2，-），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=x-；直线AE的解析式：y= -x-，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-m²+m+），则Q（m，m-），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -m²+m+，根据解析式即可求得，△MPF面积的值；
（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，进而得出△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．
本题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，
令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），
∴DH=，
令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴=，即=，
解得：EH=，
则DE=2；
（2）找点C关于DE对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，
直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，
联立得：F （0，﹣），P（2，），
过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m， m﹣），（0＜m＜2）；
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，
∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，
∴m=时，△MPF面积有值： ；
（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），
∴CF=，CP==，
∵OC=，OA=1，
∴∠OCA=30°，
∵FC=FG，
∴∠OCA=∠FGA=30°，
∴∠CFP=60°，
∴△CFP为等边三角形，边长为，
翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，
1）当K F′=KF″时，如图3，
点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），
∴OK=3；
2）当F′F″=F′K时，如图4，
∴F′F″=F′K=4，
∵FP的解析式为：y=x﹣，
∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，
∵∠OAF=30°，
∴F′K=F′A
∴AK=4
∴OK=4﹣1或者4+1；
3）当F″F′=F″K时，如图5，
∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，
∵∠OAF=30°，
∴∠AF′F″=90°，
∵F″F′=F″K=4，
∴AF″=8，
∴AK=12，
∴OK=11，
综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．
点睛：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键.
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 如图示，数轴上点A所表示的数的值为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. 以上均没有对
2. 根据在“”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.6×1010 B. 0.6×1011 C. 6×1010 D. 6×1011
3. 下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算，结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，网格纸上正方形小格边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
6. 某画室分两次购买了相同的素描本，次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设次买了x本素描本，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D.
8. 如图，反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A. x＜－3 B. －3＜x＜－1 C. －1＜x＜0 D. x＜－3或－1＜x＜0
二、填 空 题：
9. 计算的结果是_____．
10. 某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅没有完整的统计图．该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度.
12. 甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为____________________________．（并写出自变量取值范围）
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______．
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
三、作图题用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
15. 如图，已知△ABC，∠B=40°．在图中作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F．
四、解 答 题
16. （1）计算：（a+2﹣）÷．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．求m的取值范围．
17. 若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
18. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼高BD．（结果到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
19. 学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6
分)为合格，成绩达到9分为．这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)甲组学生说他们的合格率、率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生没有同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
20. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦14公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，有几种？请指出费用的一种，并求出相应的费用．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
22. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场新修了一个圆形喷水池，在水池竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池的水平距离为1米处达到，水柱落地处离池米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的高度是多少？
23. 探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的没有同长度值的线段种数:
当n=2时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1与，所以没有同长度值的线段只有2种,若用S表示没有同长度值的线段种数,则S=2;
当n=3时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1,，2,，2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2+3+（ ）
5×5
（ ）
(2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,没有同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 如图示，数轴上点A所表示的数的值为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. 以上均没有对
【正确答案】A
【详解】试题分析：由数轴可得，
点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，
故选A．
考点：数轴；值．
2. 根据在“”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.6×1010 B. 0.6×1011 C. 6×1010 D. 6×1011
【正确答案】C
【详解】解：将60000000000用科学记数法表示为：6×1010．
故选C．
本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的一般形式是解题关键．
3. 下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但没有是对称图形，故此选项符合题意；
B．是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
C．既是对称图形，又是轴对称图形，故此选项没有合题意；
D．是对称图形，也是轴对称图形，故此选项没有合题意；
故选：A．
本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
4. 计算，结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：原式＝
故选答案A.
考点： 分式的乘法
5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
【正确答案】D
【详解】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转O，
根据题意可得旋转O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转、旋转方向、旋转角是解题的关键.
6. 某画室分两次购买了相同的素描本，次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设次买了x本素描本，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可知第二次买了（x＋20）本素描本，然后根据“第二次购买比次购买每本优惠4元”列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可知：，
故选A．
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D.
【正确答案】B
【分析】利用矩形的性质以及角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积=S-S-S，求出答案．
【详解】∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1,BE= ，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S −S −S =1×2− ×1×1−
故选B.
此题考查矩形的性质，扇形面积的计算，解题关键在于掌握运算公式
8. 如图，反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A. x＜－3 B. －3＜x＜－1 C. －1＜x＜0 D. x＜－3或－1＜x＜0
【正确答案】B
【分析】关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，函数的图象在反比例函数图象的上方，再函数图象可得答案.
【详解】解：∵反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1
∴关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）成立，
则当x＜0时，函数的图象在反比例函数图象的上方，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，
∴关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形思想．
二、填 空 题：
9. 计算的结果是_____．
【正确答案】．
【详解】解：原式=3﹣6×=3﹣2=．
故答案为．
10. 某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅没有完整的统计图．该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人．
【正确答案】56
【详解】试题解析：∵总人数为14÷28%=50（人），
∴该年级足球测试成绩为D等的人数为（人）．
故56．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度.
【正确答案】65
【详解】解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°．∵DA=DC，∴∠DAC==65°．故答案为65．
12. 甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为____________________________．（并写出自变量取值范围）
【正确答案】y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
【详解】试题分析：观察图象可知，乙的速度==2cm/s，相遇时间==20，∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
考点：函数的应用；动点型；分段函数．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______．
【正确答案】．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△DAB，∴，
∵E是BC中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF= =，过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴，∴FG=，BG=，
∴CG=，∴CF==，
故答案为．
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
【正确答案】12．
【详解】试题解析：设俯视图的正方形的边长为．
∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为
∴
解得
∴这个长方体的体积为4×3=12．
三、作图题用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
15. 如图，已知△ABC，∠B=40°．在图中作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F．
【正确答案】答案见解析．
【详解】试题分析：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，作出的角平分线，它们的交点即为圆心.
试题解析：
如图所示，
即为所求．
四、解 答 题
16. （1）计算：（a+2﹣）÷．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．求m的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）m≤5．
【详解】试题分析：对括号内进行通分，再把除法转化为乘法，化简即可.
根据方程的系数根的判别式即可得出即可求出m的取值范围．
试题解析：原式
关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．
解得：
17. 若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
【正确答案】（1）15、25、35、45；（2）.
【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这4个；
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，
所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率=．
本题考查列表法与树状图法求概率，掌握概率公式是本题的解题关键．
18. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
【正确答案】（1）38°；（2）20.4m．
【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
【详解】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，
在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确添加辅助线构建直角三角形、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
19. 学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6
分)为合格，成绩达到9分为．这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)甲组学生说他们的合格率、率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生没有同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
【正确答案】（1）甲组：中位数 7； 乙组：平均数7，中位数7（2）（答案没有）①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差没有大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；③因为乙组学生成绩的分高于甲组学生的分，所以乙组学生的成绩好于甲组．
【分析】（1）根据中位数的定义，再统计图得出它们的平均分和中位数即可求出答案．
（2）根据统计图，再它们的合格率、率说出它们各自的观点是本题所求的答案．
【详解】解：(1)从统计图中可以看出：
甲组：中位数7；
乙组：平均分，中位数7,
补全表格如下：
(2)①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；
②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差没有大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；
③因为乙组7分(含7分)以上人数多于甲组7分(含7分)以上人数，所以乙组学生的成绩好于甲组.
20. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，有几种？请指出费用的一种，并求出相应的费用．
【正确答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种，当大型收割机用8台时，总费用，费用为4800元．
【详解】试题分析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元方程组，解之即可得出结论；
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元”，即可得出关于m的一元没有等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各，再函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种没有同．
∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用，费用为5000元．
考点：一元没有等式组的应用；二元方程组的应用；型；最值问题．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
【正确答案】(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形
【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．
22. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场新修了一个圆形喷水池，在水池竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池的水平距离为1米处达到，水柱落地处离池米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的高度是多少？
【正确答案】（1）y=（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的高度为米.
【分析】试题分析：（1）以水管和地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴适当的直角坐标系，利用顶点式y=a(x-1)2+k，求解析式
(2)利用顶点式y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，知顶点坐标（1，），从而求出水柱高度是米．
【详解】试题解析：（1）如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)
抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：
解得：
所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-（0≤x≤3）
（2）由（1）知抛物线解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
当x=1时，y=,
所以，抛物线水柱的高度为m.
考点：平面直角坐标系，求二次函数解析式及二次函数的最值问题
23. 探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的没有同长度值的线段种数:
当n=2时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1与，所以没有同长度值的线段只有2种,若用S表示没有同长度值的线段种数,则S=2;
当n=3时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1,，2,，2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2+3+（ ）
5×5
（ ）
(2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,没有同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
【正确答案】 ①. 4 ②. 2+3+4+5(或14)
【详解】试题分析：（1）钉子数为2×2时，共有没有同的线段2条；
钉子数为3×3时，共有没有同的线段2+3条；
钉子数为4×4时，共有没有同的线段2+3+4条；
那么钉子数为5×5时，共有没有同的线段2+3+4+5条．
（2）钉子数为（n-1）×（n-1）时，共有没有同的线段2+3+4+5+…+（n-1）条；钉子数为n×n时，共有没有同的线段2+3+4+5+…+（n-1）+n条相减后发现没有同长度的线段种数增加了n种．
（3）钉子数为n×n时，共有没有同的线段应从2开始加，加到n．
试题解析：(1)4 2+3+4+5(或14)
(2)①n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中没有同长度的线段种数增加了n种或②分别用a,b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中没有同长度的线段种数,则a=b+n.
(3)S=2+3+4+…+n=×(n-1)=.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【正确答案】（1）3；（2）∠DEF的大小没有变，tan∠DEF=；（3）或．
【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小没有变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选：（每小题4分，共48分）
1. 4倒数的相反数是（ ）
A. ﹣4 B. 4 C. - D.
2. 如图图形既是对称又是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 化简+的结果为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是 ．
A. B. C. D.
5. 估计的值在（ ）
A. 0到l之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
6. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0 B. x>-2 C. x≥-2 D. x≠-2
7. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )
A. B. C. 3 D.
8. 若，则的正确结果是（ ）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A. 20 B. 27 C. 35 D. 40
11. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（到0.1米，参考数据：） （ ）
A. 30.6米 B. 32.1 米 C. 37.9米 D. 39.4米
12. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的没有等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 9
二．填 空 题：（每小题4分，共24分）
13. 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．
14. =_____．
15. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为_____．
16. 为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．
17. 如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=_____．
18. 如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略没有计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距_____米．
三．解 答 题：（每小题8分，共16分）
19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
20. 数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．
补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
四．解 答 题（每小题10分，共50分）
21. （1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
（2）（m﹣1﹣）．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
23. “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．
24. 有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC长；
（2）求证：AM=DF+ME．
五．解 答 题（每小题12分）
26. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求线段DE长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选：（每小题4分，共48分）
1. 4的倒数的相反数是（ ）
A. ﹣4 B. 4 C. - D.
【正确答案】C
【详解】4的倒数是，的相反数﹣，
故选C．
2. 如图图形既是对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】A、既是轴对称图形，也是对称图形．故本选项正确；
B、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形．故本选项错误；
C、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形．故本选项错误；
D、没有是轴对称图形，是对称图形．故本选项错误．
故选A．
点睛:本题考查了轴对称图形和对称图形的识别.在平面内，一个图形对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做对称图形．一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
3. 化简+的结果为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：=+=．
故选：A．
4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是 ．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3，
故选D．
本题考查了方差的知识,说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差没有变,即数据的波动情况没有变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍.
5. 估计的值在（ ）
A. 0到l之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
【正确答案】B
【详解】∵9<11<16,
∴,
∴
故选B.
6. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. x>0 B. x>-2 C. x≥-2 D. x≠-2
【正确答案】B
【详解】根据题意得：x+2＞0，解得，x＞﹣2，
故选B．
本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
7. 如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )
A. B. C. 3 D.
【正确答案】A
【详解】∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴，
∵DE=6，AB=10，AE=8，
∴，
解得BC＝.
故选A.
8. 若，则的正确结果是（ ）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
【正确答案】A
【分析】≥0，≥0，根据非负数的性质列方程求x，y.
【详解】因为≥0，≥0，所以x－2＝0，3－y＝0，解得x＝2，y＝3.
所以x－y＝2－3＝－1.
故选：A.
初中阶段内的非负数有：值；偶数次方；算术平方根，非负数的性质是：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0，此时可得方程(组)，解方程(组)即可求得未知数的值.
9. 如图,在边长为6的菱形中, ,以点为圆心,菱形的高为半径画弧,交于点,交于点,则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3=18-9π．
故选B．
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
10. 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A. 20 B. 27 C. 35 D. 40
【正确答案】B
【详解】试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．
故选B．
考点：规律型：图形变化类.
11. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（到0.1米，参考数据：） （ ）
A. 30.6米 B. 32.1 米 C. 37.9米 D. 39.4米
【正确答案】D
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【详解】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：，
∴BH：CH=1：，
设BH=x米，则CH=x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（x）2=122，
解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6米，
∴BG=GH－BH=15－6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°－45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6+20（米），
∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）≈39.4米．
故选：D
本题考查了解直角三角形应用－坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
12. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的没有等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 9
【正确答案】D
【详解】解：，
由①得：x≤2a+4，
由②得：x＜﹣2，
由没有等式组的解集为x＜﹣2，
得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，
把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，
即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，
即x=﹣3，没有合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，
即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，
即x=﹣2，没有合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，
即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，
即x=1，没有合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，
即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，
即x=0，没有合题意，
∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9．
故选：D．
二．填 空 题：（每小题4分，共24分）
13. 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．
【正确答案】3×104
【分析】
【详解】解：因为一粒纽扣电池能污染600立方米的水，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水就是：
600×50=30 000，用科学记数法表示为3×104立方米．
故答案为3×104．
14. =_____．
【正确答案】13
【详解】原式=2+9﹣1×4+6
=13．
故答案为13．
15. 如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=6，BC：AC=1：2，则AB的长为_____．
【正确答案】9
【详解】PC切⊙O于点C，则∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴,
∵BP=PC=3，
∴PC2=PB•PA，即36=3•PA，
∵PA=12
∴AB=12-3=9．
故答案是：9.
16. 为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．
【正确答案】17
【分析】分别求出众数、中位数即可得解．
【详解】解：∵8出现的次数至多，
∴众数是8；
∵这组数据按从小到大顺序排列，处于中间位置的两个数都是9，
∴中位数是9，
∴中位数与众数之和为8+9=17，
故17．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
17. 如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=_____．
【正确答案】-12
【详解】过E点作EF⊥OC于F.
∵点B的坐标为（﹣，5），
∴OA=BC=5,OC=.
又∵BC⊥OC,
∴EF∥BC,
∴△OEF∽OBC,
∴.
∵OE=OA=5,
∴EF=3，OF=4，
则E点坐标为（﹣4，3）,
∴k=﹣4×3=﹣12,
故答案：﹣12．
18. 如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略没有计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距_____米．
【正确答案】5200
【详解】设甲到学校的距离为x米，则乙到学校的距离为(3900+x),甲的速度为4y(米/分钟)，则乙的速度为3y(米/分钟)，依题意得：
解得
所以甲到学校距离为2400米，乙到学校距离为6300米，
所以甲的家和乙的家相距8700米.
故答案是：8700.
本题考查函数的应用，二元方程组的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息．
三．解 答 题：（每小题8分，共16分）
19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
【正确答案】见解析
【分析】根据条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABF=90°．
∵在△BAF和△DAE中，
，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴∠FAB=∠EAD，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∴∠FAE=90°，
∴EA⊥AF．
20. 数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．
补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
【正确答案】576名
【详解】试题分析：根据统计图可以求得本次的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．
试题解析：
本次的学生有：32÷16%=200（名），
体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），
补全的条形统计图如右图所示，
我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×=576（名），
答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．
四．解 答 题（每小题10分，共50分）
21. （1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
（2）（m﹣1﹣）．
【正确答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先计算括号里的，再将除法转换在乘法计算.
试题解析：
（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2
=4a2；
（2）．
=
=
=
=．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
【正确答案】（1），；（2）8．
【详解】试题分析：（1）先求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
试题解析：（1）
∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==，
∴OA=2，CE=3，
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3），
设直线AB的解析式为，
则，
解得：，
故直线AB的解析式为，
设反比例函数的解析式为（），
将点C的坐标代入，
得3=，∴m=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为；
（2）联立反比例函数解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为（6，﹣1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOD的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
23. “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%小时，求m的值．
【正确答案】（1）1600千米；（2）620
【详解】试题分析：（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出方程（80+120）（1-m%）（8+m%）=1600，进而解方程求出即可．
试题解析：
（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得： ．
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m%）=1600，
解得：m1=620，m2=0（没有合题意舍去），
答：m的值为620．
24. 有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
【正确答案】（1）见解析；（2）三位自然数为201，207，255.
【详解】试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，用能被3整除即可．
解：（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字没有是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209没有能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，
而251，257，259没有能被3整除，
∴这个三位自然数为255，
即这个三位自然数为201，207，255．
点睛：此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【正确答案】(1)2;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
五．解 答 题（每小题12分）
26. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求线段DE的长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】(1)2 ;(2) ;(3)见解析.
【详解】分析：（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；
（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（-2，-），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=x-；直线AE的解析式：y= -x-，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-m²+m+），则Q（m，m-），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -m²+m+，根据解析式即可求得，△MPF面积的值；
（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），求得CF=，CP=，进而得出△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．
本题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，
令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），
∴DH=，
令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴=，即=，
解得：EH=，
则DE=2；
（2）找点C关于DE对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，
直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，
联立得：F （0，﹣），P（2，），
过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m， m﹣），（0＜m＜2）；
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，
∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，
∴m=时，△MPF面积有值： ；
（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），
∴CF=，CP==，
∵OC=，OA=1，
∴∠OCA=30°，
∵FC=FG，
∴∠OCA=∠FGA=30°，
∴∠CFP=60°，
∴△CFP为等边三角形，边长为，
翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，
1）当K F′=KF″时，如图3，
点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），
∴OK=3；
2）当F′F″=F′K时，如图4，
∴F′F″=F′K=4，
∵FP的解析式为：y=x﹣，
∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，
∵∠OAF=30°，
∴F′K=F′A
∴AK=4
∴OK=4﹣1或者4+1；
3）当F″F′=F″K时，如图5，
∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，
∵∠OAF=30°，
∴∠AF′F″=90°，
∵F″F′=F″K=4，
∴AF″=8，
∴AK=12，
∴OK=11，
综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．
点睛：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键.
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 如图示，数轴上点A所表示的数的值为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. 以上均没有对
2. 根据在“”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.6×1010 B. 0.6×1011 C. 6×1010 D. 6×1011
3. 下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算，结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，网格纸上正方形小格边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
6. 某画室分两次购买了相同的素描本，次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设次买了x本素描本，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D.
8. 如图，反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A. x＜－3 B. －3＜x＜－1 C. －1＜x＜0 D. x＜－3或－1＜x＜0
二、填 空 题：
9. 计算的结果是_____．
10. 某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅没有完整的统计图．该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度.
12. 甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为____________________________．（并写出自变量取值范围）
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______．
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
三、作图题用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
15. 如图，已知△ABC，∠B=40°．在图中作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F．
四、解 答 题
16. （1）计算：（a+2﹣）÷．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．求m的取值范围．
17. 若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
18. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼高BD．（结果到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
19. 学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6
分)为合格，成绩达到9分为．这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)甲组学生说他们的合格率、率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生没有同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
20. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦14公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，有几种？请指出费用的一种，并求出相应的费用．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
22. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场新修了一个圆形喷水池，在水池竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池的水平距离为1米处达到，水柱落地处离池米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的高度是多少？
23. 探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的没有同长度值的线段种数:
当n=2时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1与，所以没有同长度值的线段只有2种,若用S表示没有同长度值的线段种数,则S=2;
当n=3时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1,，2,，2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2+3+（ ）
5×5
（ ）
(2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,没有同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
2022-2023学年上海市长宁区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 如图示，数轴上点A所表示的数的值为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. 以上均没有对
【正确答案】A
【详解】试题分析：由数轴可得，
点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，
故选A．
考点：数轴；值．
2. 根据在“”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.6×1010 B. 0.6×1011 C. 6×1010 D. 6×1011
【正确答案】C
【详解】解：将60000000000用科学记数法表示为：6×1010．
故选C．
本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的一般形式是解题关键．
3. 下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但没有是对称图形，故此选项符合题意；
B．是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
C．既是对称图形，又是轴对称图形，故此选项没有合题意；
D．是对称图形，也是轴对称图形，故此选项没有合题意；
故选：A．
本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
4. 计算，结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：原式＝
故选答案A.
考点： 分式的乘法
5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ）
A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
【正确答案】D
【详解】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转O，
根据题意可得旋转O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转、旋转方向、旋转角是解题的关键.
6. 某画室分两次购买了相同的素描本，次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设次买了x本素描本，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可知第二次买了（x＋20）本素描本，然后根据“第二次购买比次购买每本优惠4元”列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可知：，
故选A．
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D.
【正确答案】B
【分析】利用矩形的性质以及角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积=S-S-S，求出答案．
【详解】∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1,BE= ，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S −S −S =1×2− ×1×1−
故选B.
此题考查矩形的性质，扇形面积的计算，解题关键在于掌握运算公式
8. 如图，反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A. x＜－3 B. －3＜x＜－1 C. －1＜x＜0 D. x＜－3或－1＜x＜0
【正确答案】B
【分析】关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，函数的图象在反比例函数图象的上方，再函数图象可得答案.
【详解】解：∵反比例函数y＝（x＜0）与函数y＝x＋4图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1
∴关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）成立，
则当x＜0时，函数的图象在反比例函数图象的上方，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，
∴关于x的没有等式＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形思想．
二、填 空 题：
9. 计算的结果是_____．
【正确答案】．
【详解】解：原式=3﹣6×=3﹣2=．
故答案为．
10. 某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅没有完整的统计图．该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人．
【正确答案】56
【详解】试题解析：∵总人数为14÷28%=50（人），
∴该年级足球测试成绩为D等的人数为（人）．
故56．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度.
【正确答案】65
【详解】解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°．∵DA=DC，∴∠DAC==65°．故答案为65．
12. 甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为____________________________．（并写出自变量取值范围）
【正确答案】y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
【详解】试题分析：观察图象可知，乙的速度==2cm/s，相遇时间==20，∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
考点：函数的应用；动点型；分段函数．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是______．
【正确答案】．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△DAB，∴，
∵E是BC中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF= =，过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴，∴FG=，BG=，
∴CG=，∴CF==，
故答案为．
14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
【正确答案】12．
【详解】试题解析：设俯视图的正方形的边长为．
∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为
∴
解得
∴这个长方体的体积为4×3=12．
三、作图题用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
15. 如图，已知△ABC，∠B=40°．在图中作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F．
【正确答案】答案见解析．
【详解】试题分析：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，作出的角平分线，它们的交点即为圆心.
试题解析：
如图所示，
即为所求．
四、解 答 题
16. （1）计算：（a+2﹣）÷．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．求m的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）m≤5．
【详解】试题分析：对括号内进行通分，再把除法转化为乘法，化简即可.
根据方程的系数根的判别式即可得出即可求出m的取值范围．
试题解析：原式
关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．
解得：
17. 若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
【正确答案】（1）15、25、35、45；（2）.
【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这4个；
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，
所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率=．
本题考查列表法与树状图法求概率，掌握概率公式是本题的解题关键．
18. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
【正确答案】（1）38°；（2）20.4m．
【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
【详解】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，
在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确添加辅助线构建直角三角形、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
19. 学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6
分)为合格，成绩达到9分为．这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)甲组学生说他们的合格率、率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生没有同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
【正确答案】（1）甲组：中位数 7； 乙组：平均数7，中位数7（2）（答案没有）①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差没有大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；③因为乙组学生成绩的分高于甲组学生的分，所以乙组学生的成绩好于甲组．
【分析】（1）根据中位数的定义，再统计图得出它们的平均分和中位数即可求出答案．
（2）根据统计图，再它们的合格率、率说出它们各自的观点是本题所求的答案．
【详解】解：(1)从统计图中可以看出：
甲组：中位数7；
乙组：平均分，中位数7,
补全表格如下：
(2)①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；
②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差没有大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；
③因为乙组7分(含7分)以上人数多于甲组7分(含7分)以上人数，所以乙组学生的成绩好于甲组.
20. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，有几种？请指出费用的一种，并求出相应的费用．
【正确答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种，当大型收割机用8台时，总费用，费用为4800元．
【详解】试题分析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元方程组，解之即可得出结论；
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元”，即可得出关于m的一元没有等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各，再函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用没有超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种没有同．
∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用，费用为5000元．
考点：一元没有等式组的应用；二元方程组的应用；型；最值问题．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
【正确答案】(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形
【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．
22. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场新修了一个圆形喷水池，在水池竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池的水平距离为1米处达到，水柱落地处离池米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的高度是多少？
【正确答案】（1）y=（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的高度为米.
【分析】试题分析：（1）以水管和地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴适当的直角坐标系，利用顶点式y=a(x-1)2+k，求解析式
(2)利用顶点式y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，知顶点坐标（1，），从而求出水柱高度是米．
【详解】试题解析：（1）如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)
抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：
解得：
所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-（0≤x≤3）
（2）由（1）知抛物线解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
当x=1时，y=,
所以，抛物线水柱的高度为m.
考点：平面直角坐标系，求二次函数解析式及二次函数的最值问题
23. 探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的没有同长度值的线段种数:
当n=2时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1与，所以没有同长度值的线段只有2种,若用S表示没有同长度值的线段种数,则S=2;
当n=3时,钉子板上所连没有同线段的长度值只有1,，2,，2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2+3+（ ）
5×5
（ ）
(2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,没有同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
【正确答案】 ①. 4 ②. 2+3+4+5(或14)
【详解】试题分析：（1）钉子数为2×2时，共有没有同的线段2条；
钉子数为3×3时，共有没有同的线段2+3条；
钉子数为4×4时，共有没有同的线段2+3+4条；
那么钉子数为5×5时，共有没有同的线段2+3+4+5条．
（2）钉子数为（n-1）×（n-1）时，共有没有同的线段2+3+4+5+…+（n-1）条；钉子数为n×n时，共有没有同的线段2+3+4+5+…+（n-1）+n条相减后发现没有同长度的线段种数增加了n种．
（3）钉子数为n×n时，共有没有同的线段应从2开始加，加到n．
试题解析：(1)4 2+3+4+5(或14)
(2)①n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中没有同长度的线段种数增加了n种或②分别用a,b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中没有同长度的线段种数,则a=b+n.
(3)S=2+3+4+…+n=×(n-1)=.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【正确答案】（1）3；（2）∠DEF的大小没有变，tan∠DEF=；（3）或．
【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小没有变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.
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