2022-2023学年北京市房山区高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年北京市房山区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知，，则线段中点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过线段的点和点坐标，由中点坐标公式即可求出线段中点的坐标.

【详解】在线段中，

，

∴线段中点的坐标为.

故选：D.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数与对数的互化公式求解即可.

【详解】解：因为，所以，

故选：A

3．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义域和单调性即可求出一定成立的不等式.

【详解】取，，则，，故A，D错误.

在中，定义域为，

∴可能小于0，不满足定义域，故B错误.

在中，函数在单调递减，

∴当时，，C正确.

故选：C.

4．在中，D为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为中，D为BC的中点,

所以，，

故选：B

5．以下是某中学12名学生的一次政治考试成绩．

则这组数据的分位数是（    ）A．87.5 B．88 C．88.5 D．89

【答案】C

【分析】根据百分位数的计算方法直接计算即可得答案.

【详解】因为，所以，这组数据的分位数是．

故选：C

6．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（    ）

A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗

【答案】B

【分析】设出白色围棋子的数目，利用频率列方程，进而即得.

【详解】设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得，

解得，

即白色围棋子的数目大约有300颗.

故选：B.

7．已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.

【详解】若，则，，,则；

若，则，解得，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用的单调性可得答案.

【详解】因在单调递增，在上单调递减，

在R上单调递减.

则.

即.

故选：D

9．从含有两件正品和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回．记事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取到正品”．，分别表示事件A，B发生的概率．下列4个结论中正确的是（    ）

①           ②

③    ④

A．① B．①③ C．①④ D．②③

【答案】A

【分析】分别计算事件发生的概率再辨析结论即可.

【详解】∵3件产品中有两件正品和一件次品，，

事件B为“第二次取到正品”，则第一次可取得正品，也可取得次品，

，故①正确，②错误；

事件AB为事件A与事件B同时发生，,故③错误；

事件A+B为事件A或事件B发生，，故④错误.

故选：A.

10．已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得当，且时，不合题意，时，利用数形结合可得，进而即得.

【详解】当时，，则有无数解，不合题意；

当且时，，，方程至多有一解，不合题意；

当时，作出函数的大致图象，

要使关于x的方程的解集有3个元素，

则，解得，

所以a的取值范围为.

故选：C.

二、填空题

11．________．

【答案】##2.5

【分析】根据根式与指数幂的运算律化简运算即得.

【详解】原式.

故答案为：.

12．已知向量，，则________．

【答案】

【分析】根据向量坐标运算即得.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

13．已知向量，非零向量满足，请写出的一个坐标________．

【答案】(答案不唯一)

【分析】设出向量的坐标，根据题意可得，进而即得.

【详解】设向量，，

由，可得，

，又，

所以，

令，可得，

所以向量的坐标可为.

故答案为：.

14．某电影制片厂从2011年至2020年生产的动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示．下列四个结论中，所有正确结论的序号是________．

①2011年至2020年生产的动画影片时长的中位数为275分钟；

②从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率为；

③将2011年至2020年生产的动画影片、纪录影片时长的平均数分别记为，，则；

④将2011年至2020年生产的动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，，则．

【答案】①②④

【分析】根据表中数据，依次讨论即可得答案.

【详解】解：由题知从2011年至2020年生产的动画影片的时长从小到大为：

150；180；200；240；260；290；320；350；380；430.

从2011年至2020年生产的纪录影片的时长从小到大为:

100；130；150；190；210；240；270；300；330；380.

所以， 2011年至2020年生产的动画影片时长的中位数为分钟，故①正确；

由表中数据，动画影片时长大于纪录影片时长的年份为2011,2015,2017,2018,2019,2020，共6个年份，

所以，从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率为，②正确；

由题知，

，故③错误；

由题知，

，

所以，，④正确.

故正确结论的序号是：①②④

故答案为：①②④

三、双空题

15．某中学调查了某班全部30名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表（单位：人）

从该班随机选1名同学，则该同学参加书法社团的概率为________；该同学至少参加上述一个社团的概率为________．

【答案】          ##0.6

【分析】根据古典概型概率公式及对立事件概率公式即得.

【详解】由题可知该班参加书法社团的同学有10人，两个社团都没参加的同学有12人，

所以从该班随机选1名同学，该同学参加书法社团的概率为；

该同学至少参加上述一个社团的概率为.

故答案为：；.

16．已知函数，当时，的值域为________；若在定义域上是增函数，则 a的取值范围是________．

【答案】     R    

【分析】当时，求每段函数的值域，再求并集即可；由题可得，进而即得.

【详解】当时，，

当时，，当时，，

所以函数的值域R；

若函数在定义域上是增函数，

则，解得，

即a的取值范围是.

故答案为：R；.

四、解答题

17．已知向量，不共线，且，，．

(1)将用，表示；

(2)若，求的值；

(3)若，求证：A，B，C三点共线．

【答案】(1)；

(2)；

(3)详见解析.

【分析】（1）根据向量的减法运算即得；

（2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得；

（3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得.

【详解】（1）因为，，

所以；

（2）因为，，，

所以，即，又向量，不共线，

所以，解得，

即的值为；

（3）当时， ，，，

所以，

所以，又有公共点，

所以A，B，C三点共线．

18．已知甲运动员的投篮命中率为0.8，乙运动员投篮命中率为0.7，甲、乙各投篮一次．设事件A为“甲投中”，事件B为“乙投中”．

(1)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；

(2)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率．

【答案】(1)0.38；

(2).

【分析】（1）根据互斥事件求和公式及独立事件的乘法公式即得；

（2）根据对立事件的概率公式及独立事件的乘法公式即得.

【详解】（1）由题可得，，则，

所以甲、乙二人中恰有一人投中的概率为；

；

（2）由题可得甲、乙二人都没有投中的概率为，

所以甲、乙二人中至少有一人投中的概率为.

19．已知函数．

(1)求的定义域；

(2)求满足的的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式即可得答案；

（2）由题知，进而解即可得答案.

【详解】（1）解：要使函数有意义，则，解得，

所以，函数的定义域为

（2）解：因为

所以，

所以，解得

所以，满足的的取值范围是

20．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图．

(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率；

(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设x为评分在区间内的影视作品数量，求x的值；

(3)从（2）得到的样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求两部影视作品的评分都在区间的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率估计概率，计算评分不小于90分的频率即可；

（2）根据分层抽样计算即可；

（3）结合（2），列举基本事件，根据古典概型公式求解即可.

【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，评分不小于90分的频率为，

所以，根据频率估计概率，该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率为

（2）解：由频率分布直方图可知，评分在之间的有部，

评分在之间的有部，

所以，用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，

评分在有部，评分在之间的有部，

所以，评分在区间内的影视作品数量的值为.

（3）解：由（2）知，记评分在的部影片为，评分在之间的部影片为，

所以，样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，可能的情况有：

，共10种，

其中，两部影视作品的评分都在区间的情况有，共3种，

所以，两部影视作品的评分都在区间的概率为

21．已知函数．

(1)若，且，求a的最大值；

(2)当时，直接写出函数的零点；

(3)若对任意都有，求a的取值范围．

【答案】(1)4；

(2)1，3；

(3).

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）根据零点的概念结合常见函数的图象即得；

（3）利用数形结合结合条件即得.

【详解】（1）因为函数，

所以，即，又，

所以a的最大值为4；

（2）当时，，

由，可得，

作出函数与的图象，

由图可知与有两个交点，即函数有两个零点，

又因为，，

故函数的零点为1,3；

（3）因为对任意都有，

所以在恒成立，

即时，函数的图象恒在直线的上方，

作出函数，与的大致图象，

则，且，

所以，

即a的取值范围为.