八年级数学下册压轴题培优专题03-中心对称与中心对称图形

这是一份八年级数学下册压轴题培优专题03-中心对称与中心对称图形，共24页。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题03 中心对称与中心对称图形
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•北仑区期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）（2022春•泗县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）

A． B． C． D．
3．（2分）（2022春•张家港市校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△BOC，则点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2分）（2022秋•顺庆区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4 C． D．
5．（2分）（2022春•镇江月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
6．（2分）（2022•市中区校级模拟）如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．（2分）（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
8．（2分）（2021春•雁塔区校级月考）已知点A（2，7），B（﹣5，0），C（0，﹣1），在平面直角坐标系中△A'B'C'以点P（5，6）为对称中心与△ABC成中心对称，则点A'的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣7） B．（7，2） C．（8，8） D．（8，5）
9．（2分）（2021•博山区一模）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（2分）（2021•集美区模拟）下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
评卷人
得 分


二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是　 　．

12．（2分）（2019春•郫都区期中）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为　 　．

13．（2分）（2018春•鄄城县期中）如图①所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转后，被旋转过的一张牌是　 　．

14．（2分）（2022秋•大安市期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　 　．

15．（2分）（2018春•锦江区校级月考）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A'的坐标为　 　．

16．（2分）（2022春•泰兴市期中）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　 　．

17．（2分）（2022春•奉贤区校级期中）已知点D是△ABC边AB的中点，G是CD上一点，且2GD＝CG，GA＝10，GC＝8，GB＝6，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积为 　 　．
18．（2分）（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是　 　．

19．（2分）（2021春•武功县期末）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝，AB＝1，∠BAC＝90°，则AE的长是　 　．

20．（2分）（2022春•绥宁县期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 　．





评卷人
得 分


三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．




22．（6分）（2019春•秦淮区期末）如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案称为中心对称图形．




23．（7分）（2018春•港南区期中）已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．



24．（8分）（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　 　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．




25．（8分）（2021春•来宾月考）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．









26．（8分）（2017春•淮安区期中）由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个图形，使之关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法．




27．（8分）（2017春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．




28．（9分）（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．


答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•北仑区期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据中心对称图形的定义，只有B选项符合题意，
故选：C．
2．（2分）（2022春•泗县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）

A． B． C． D．
解：根据题意，A1、A3、A5、•••、A2n+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，即它们的纵坐标为4×＝2，
∵点A1的横坐标为2，
点A2的横坐标为4+2，
点A3的横坐标为4×2+2，
点A4的横坐标为4×3+2，
•••
所以点A2n+1的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2，即8n+2，
即点A2n+1的坐标是（8n+2，2）．
故选：A．
3．（2分）（2022春•张家港市校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△BOC，则点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，
∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝O′B′＝BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得：
AB′＝＝＝10．
则点A与点B′之间的距离为10．
故选：C．
4．（2分）（2022秋•顺庆区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4 C． D．
解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB′＝5，
∴，
∴，
∴，
即菱形ABCD的边长是，
故选：D．
5．（2分）（2022春•镇江月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
＝1，＝0，
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
∴＝1，＝0，
∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故选：B．
6．（2分）（2022•市中区校级模拟）如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解：如图1：

设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，
则l＝2（a+2b+c），
根据图示，可得，
①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c，
∴2b＝a+c，
∴l＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b，
∴2（a+c）＝，4b＝，
∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，值为一定，
∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．
故选：A．
7．（2分）（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
解：设点A'的坐标是（a，b），
根据题意知：＝﹣1，＝0．
解得a＝1，b＝2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
8．（2分）（2021春•雁塔区校级月考）已知点A（2，7），B（﹣5，0），C（0，﹣1），在平面直角坐标系中△A'B'C'以点P（5，6）为对称中心与△ABC成中心对称，则点A'的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣7） B．（7，2） C．（8，8） D．（8，5）
解：设A′（m，n），
由题意，A（2，7），A′（m，n）关于P（5，6）对称，
∴5＝，6＝，
∴m＝8，n＝5，
∴A′（8，5），
故选：D．
9．（2分）（2021•博山区一模）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
解：如图，连接AE，

∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，
∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
故选：D．
10．（2分）（2021•集美区模拟）下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是　③　．

解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故答案为：③．
12．（2分）（2019春•郫都区期中）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为　6　．

解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为×6＝2，且面积是△ABC的，
观察图形可得，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，
∴△ABC的高是×6＝3，一个小等边三角形的高是，
∴△ABC的面积是×6×3＝9，一个小等边三角形的面积是×2×＝，
所以重叠部分的面积是9﹣×3＝6．
故答案为6．
13．（2分）（2018春•鄄城县期中）如图①所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转后，被旋转过的一张牌是　方块4　．

解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子．
故答案是：方块4．
14．（2分）（2022秋•大安市期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　（4，1）　．

解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
15．（2分）（2018春•锦江区校级月考）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A'的坐标为　（2，1）　．

解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC，
∴AD＝A′E＝2，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．

16．（2分）（2022春•泰兴市期中）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　5　．

解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，
∴AD＝4，
∴AE＝＝＝5，
故答案为：5．
17．（2分）（2022春•奉贤区校级期中）已知点D是△ABC边AB的中点，G是CD上一点，且2GD＝CG，GA＝10，GC＝8，GB＝6，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积为 　48　．
解：∵点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GC＝8，
∴DE＝4，
∵将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，
∴DG＝DE＝4，AG＝BE＝10，
∵BG＝6，
∵62+82＝102，即BE2＝EG2+BG2，
∴△BGE是直角三角形，
∴△BGE的面积为：×6×8＝24，
∵∠BGE＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴△BGC的面积为：×6×8＝24，
∴△EBC的面积为：48．
故答案为：48．

18．（2分）（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是　　．

解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为．
19．（2分）（2021春•武功县期末）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝，AB＝1，∠BAC＝90°，则AE的长是　　．

解：∵△ABC和△DEC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝CD＝，∠D＝BAC＝90°，
∴AD＝DE＝1，
∴AE＝＝＝．
故答案为：．
20．（2分）（2022春•绥宁县期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　n﹣1　．

解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，
∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．
故答案为：n﹣1

三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．

解：如答图所示．
作法：①连接AP并延长至C，使PC＝PA．
②连接BP并延长至D，使PD＝PB．
③连接BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求．

22．（6分）（2019春•秦淮区期末）如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案称为中心对称图形．

解：如图所示：
．
23．（7分）（2018春•港南区期中）已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．

解：作法如下：

图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．
24．（8分）（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　中点　，点A与点F关于点 　E　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　等腰　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．

解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；

（2）∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
25．（8分）（2021春•来宾月考）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．

解：（1）如图，点O即为所求．


（2）由题意，△ABC≌△DEF，
∵△DEF的周长＝△ABC的周长＝6+5+4＝15．

（3）结论：四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，OA＝OD，OC＝OF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
26．（8分）（2017春•淮安区期中）由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个图形，使之关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法．

解：如图所示：
．
27．（8分）（2017春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．

解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．

28．（9分）（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．

解：（1）所画图形如下所示：

△ADE就是所作的图形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC，
∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，
∴2＜2CD＜10，
解得：1＜CD＜5