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北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-20解一元一次不等式（解答题·基础题）
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这是一份北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-20解一元一次不等式（解答题·基础题），共18页。试卷主要包含了解不等式，，并把它的解集在数轴上表示出来，解不等式，并把解集在数轴上表示，的解法进行比较，如下表等内容，欢迎下载使用。
北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-20解一元一次不等式（解答题·基础题）
26．（2022春•平谷区期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
27．（2022春•北京期末）解不等式：5x+1＞3x+7．
28．（2022春•北京期末）解不等式：2（3x﹣1）≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
29．（2022春•门头沟区期末）对于有理数a，b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．
（1）max{﹣1，2}＝ ；
（2）求max{x﹣1，﹣2}＝﹣2，写出一个满足条件的x的值，x＝ ；
（3）已知max{2x+1，﹣x2}＝3，直接写出x的值．
30．（2022春•昌平区期末）解不等式5x﹣2＞2x+4，并在数轴上表示出不等式的解集．
31．（2022春•密云区期末）解不等式4x﹣6≤2（4x+3），并把它的解集在数轴上表示出来．
32．（2022春•顺义区期末）解不等式，并把解集在数轴上表示．
33．（2022春•东城区期末）小明对不等式≤2（2﹣x）与≤2（x+2）的解法进行比较，如下表：
不等式
解法
≤2（2﹣x）①
≤2（x+2）②
第一步：去分母，得
﹣2x﹣2≤6（2﹣x）
2x﹣2≤6（x+2）
第二步：去括号，得
﹣2x﹣2≤12﹣6x
2x﹣2≤6x+12
第三步：移项，得
﹣2x+6x≤12+2
2x﹣6x≤12+2
第四步：合并同类项，得
4x≤14
﹣4x≤14
第五步：系数化为1，得
（1）将表格补充完整；
（2）小明发现：在不等式①和不等式②的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式①的变形依据是 ，不等式②的变形依据是 ．
（3）将不等式②的解集表示在数轴上．
34．（2022春•大兴区期末）解不等式2（x+2）＜6，并把它的解集在数轴上表示出来．
35．（2022春•海淀区期末）解不等式3（2x+1）＞4﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
36．（2022春•朝阳区期末）完成下面解不等式的过程并填写依据．
解不等式＞．
解：去分母，得2（1+x）＞3x（填依据：① ）．
去括号，得2+2x＞3x．
移项，得2x﹣3x＞﹣2（填依据：② ）．
合并同类项，得﹣x＞﹣2．
系数化为1，得x ．
37．（2022春•西城区校级期末）解不等式2（4x﹣1）≥5x﹣8，并把它的解集在数轴上表示出来．
38．（2022春•东城区期末）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
39．（2021春•丰台区校级期末）关于x的方程2x﹣3＝2m+8的解是负数，求m的取值范围．
40．（2021春•海淀区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足5x≥4y﹣4，求实数k的取值范围．
41．（2021春•顺义区期末）现定义运算，对于任意有理数a，b，都有，如：2⊗3＝2×（2+3）﹣3＝7，5⊗2＝2×（5+2）﹣5＝9．
（1）若x⊗（x+2）＞x⊗（x﹣3），求x的取值范围；
（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算：（a﹣b）⊗（2b）﹣[（b﹣a）⊗（2a﹣2b）]．
42．（2021春•昌平区期末）阅读下列材料：
我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．
例1：解方程|x|＝6．
解：∵|x|＝|x﹣0|＝6，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应数为±6，即该方程的解为x＝±6．
例2：解不等式|x﹣1|＞2．
解：如图，首先在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣5|＝3的解为 ；
（2）解不等式2|x+2|+1＜9；
（3）若|x﹣1|+|x+2|＝3，则x的取值范围是 ；
（4）若y＝|x﹣1|﹣|x+2|，则y的取值范围是 ．
43．（2021春•海淀区校级期末）解不等式2（x+5）≤3（x﹣5），并在数轴上把解集表示出来．
44．（2021春•东城区期末）解不等式3（x﹣1）≥x+2，并将解集表示在数轴上．
45．（2021春•海淀区校级期末）如果（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，求m的取值范围．
46．（2021春•西城区校级期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
47．（2021春•昌平区校级期末）解不等式≥，并在数轴上表示解集．
48．（2021春•西城区校级期末）一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．
结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：
（1）解含绝对值的方程|x+2|＝1得x的解为 ；
（2）解含绝对值的不等式|x+5|＜3得x的取值范围是 ；
（3）求含绝对值的方程的整数解；
（4）解含绝对值的不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞4．
49．（2020春•延庆区期末）解不等式：2x+1＞3（2﹣x），并把它的解集在数轴上表示出来．
50．（2020春•海淀区期末）关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的取值范围．
51．（2020春•海淀区校级期末）解不等式：2x+1≥3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．
52．（2020春•东城区校级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣2y＜1，求k的取值范围．
53．（2020春•昌平区期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）给出如下定义：点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点A（1，﹣1），点B（﹣2，1），则点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|1﹣（﹣2）|+|﹣1﹣1|＝3+2＝5．已知点P（2，﹣3），根据以上定义，解决下列问题：
（1）d（P，O）＝ ；
（2）已知点M（x，0），且d（P，M）＝6，求x的值；
（3）已知点N（x﹣1，x﹣3），且d（P，N）＜5，写出x的取值范围是 ．
（4）在平面直角坐标系xOy中画出满足d（Q，O）＝2时，点Q组成的图形．
54．（2020春•昌平区期末）解不等式：2x+1＜10﹣x．
55．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P（x1，y1）和Q（x2，y2），则定义|x1﹣x2|和|y1﹣y2|中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为P、Q两点的“最佳距离”，记为d（P，Q）例如：P（﹣2，3），Q（0，2）．
因为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣0|＝2；|y1﹣y2|＝|3﹣2|＝1，而2＞1，所以d（P，Q）＝|3﹣2|＝1．
（1）请直接写出A（﹣1，1），B（3，﹣4）的“最佳距离”d（A，B）＝ ；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C（1，﹣3）的“最佳距离”d（C，D）＝2，请写出点D的坐标 ；
（3）若点M（m+1，m﹣10）同时满足以下条件：
a）点M在第四象限；
b）点M与点N（5，0）的“最佳距离”d（M，N）＜2；
c）∠MON＞45°（O为坐标原点）；
请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标 ．
56．（2020春•房山区期末）解不等式4x＜2（x+3）并把它的解集在数轴上表示出来．
57．（2020春•海淀区校级期末）解不等式：2x+2≥3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．
58．（2020春•海淀区校级期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a＞0）和|x|＜a（a＞0）的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图：
所以，|x|＞2的解集是x＞2或 ．
再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图：
②
所以，|x|＜2的解集为： ．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 ．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
（1）请将小明的探究过程补充完整；
（2）求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集．
59．（2020春•海淀区校级期末）解不等式2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
60．（2020春•昌平区期末）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．
参考答案与试题解析
1. 【解析】解：，
3（x+3）﹣2x≥6（x﹣1），
3x+9﹣2x≥6x﹣6，
3x﹣2x﹣6x≥﹣6﹣9，
﹣5x≥﹣15，
x≤3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
2. 【解析】解：移项得：5x﹣3x＞7﹣1，
合并得：2x＞6，
解得：x＞3．
3. 【解析】解：2（3x﹣1）≤x+3，
6x﹣2≤x+3，
6x﹣x≤2+3，
5x≤5，
x≤1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
4. 【解析】解：（1）由已知，∵2＞﹣1，
∴max{﹣1，2}＝2，
【答案】2；
（2）∵max{x﹣1，﹣2}＝﹣2，
∴x﹣1≤﹣2，
∴x≤﹣1，
【答案】﹣1；
（3）max{2x+1，﹣x2}＝3，
∵﹣x2＜3，
∴2x+1＝3，
∴x＝1．
30．【解析】解：5x﹣2＞2x+4，
移项、合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
在数轴上表示为：
5. 【解析】解：4x﹣6≤2（4x+3），
去括号得：4x﹣6≤8x+6，
移项、合并同类项得：﹣4x≤12，
系数化为1得：x≥﹣3，
在数轴上表示为：
6. 【解析】解：去分母得：3（9﹣x）＞2（x+1），
去括号得：27﹣3x＞2x+2，
移项得：﹣3x﹣2x＞2﹣27，
合并同类项得：﹣5x＞﹣25，
系数化为1得：x＜5，
用数轴表示为：
7. 【解析】解：（1）将表格补充完整为：
不等式
解法
≤2（2﹣x）①
≤2（x+2）②
第一步：去分母，得
﹣2x﹣2≤6（2﹣x）
2x﹣2≤6（x+2）
第二步：去括号，得
﹣2x﹣2≤12﹣6x
2x﹣2≤6x+12
第三步：移项，得
﹣2x+6x≤12+2
2x﹣6x≤12+2
第四步：合并同类项，得
4x≤14
﹣4x≤14
第五步：系数化为1，得
x≤3.5
x≥﹣3.5
【答案】x≤3.5，x≥﹣3.5；
（2）小明发现：在不等式①和不等式②的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式①的变形依据是不等式的基本性质，不等式②的变形依据是不等式的基本性质．
【答案】不等式的基本性质，不等式的基本性质；
（3）将不等式②的解集表示在数轴上为：
8. 【解析】解：去括号得：2x+4＜6，
移项、合并得：2x＜2，
系数化为1得：x＜1，
这个不等式的解集在数轴上表示为
9. 【解析】解：去括号，得：6x+3＞4﹣5，
移项，得：6x＞4﹣5﹣3，
合并同类项，得：6x＞﹣4，
系数化成1得：x＞﹣，
在数轴上表示为：
．
10. 【解析】解：去分母，得2（1+x）＞3x（填依据：①不等式的基本性质2）．
去括号，得2+2x＞3x．
移项，得2x﹣3x＞﹣2（填依据：②不等式的基本性质1）．
合并同类项，得﹣x＞﹣2．
系数化为1，得x＜2．
【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性1，＜2．
11. 【解析】解：去括号，得：8x﹣2≥5x﹣8，
移项，得：8x﹣5x≥﹣8+2，
合并同类项，得：3x≥﹣6，
系数化为1，得：x≥﹣2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
12. 【解析】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项得：﹣5x≤10，
把x的系数化为1得：x≥﹣2．
13. 【解析】解：解方程2x﹣3＝2m+8，得：x＝，
∵关于x的方程2x﹣3＝2m+8的解是负数，
∴＜0，
解得m＜﹣．
14. 【解析】解：，
①+②，得：7x＝7k+7，
解得：x＝k+1，
将x＝k+1代入①，得：3（k+1）+y＝2k+3，
解得：y＝﹣k，
又∵5x≥4y﹣4，
∴5（k+1）≥﹣4k﹣4，
解得：k≥﹣1，
即实数k的取值范围为k≥﹣1．
15. 【解析】解：（1）∵x+2＞x，
∴x⊗（x+2）＝x（x+x+2）﹣（x+2）＝2x2+x﹣2，
∵x＞x﹣3，
∴x⊗（x﹣3）＝（x﹣3）（x+x﹣3）﹣x＝2x2﹣10x+9，
∵x⊗（x+2）＞x⊗（x﹣3），
∴2x2+x﹣2＞2x2﹣10x+9，
∴x＞1；
（2）由数轴可得，b＞1，a＜0，
∴a﹣b＜0，
∴（a﹣b）⊗（2b）＝（a﹣b）（a﹣b+2b）﹣2b＝a2﹣b2﹣2b，
（b﹣a）⊗（2a﹣2b）＝（2a﹣2b）（b﹣a+2a﹣2b）﹣（b﹣a）＝2（a﹣b）2﹣b+a＝2a2+2b2﹣4ab﹣b+a，
∴（a﹣b）⊗（2b）﹣[（b﹣a）⊗（2a﹣2b）]＝（a2﹣b2﹣2b）﹣（2a2+2b2﹣4ab﹣b+a）＝﹣a2﹣3b2+4ab﹣b﹣a．
16. 【解析】解：（1）由|x﹣5|＝3，可得
x﹣5＝3或x﹣5＝﹣3，
∴x＝8或x＝2，
故答案是x＝2或x＝8；
（2）不等式整理得，|x+2|＜4，
∴﹣4＜x+2＜4，
解得：﹣6＜x＜2；
（3）当x≤﹣2时，原方程化为1﹣x﹣x﹣2＝3，解得x＝﹣2，
当﹣2＜x＜1时，原方程化为1﹣x+x+2＝3，
当x≥1时，原方程化为x﹣1+x+2＝3，解得x＝1，
∴﹣2≤x≤1，
【答案】﹣2≤x≤1；
（4）当x＜﹣2时，y＝1﹣x+x+2＝3，
当﹣2≤x≤1时，y＝1﹣x﹣x﹣2＝﹣1﹣2x，
此时﹣3≤y≤3，
当x＞1时，y＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3，
综上所述：﹣3≤y≤3，
【答案】﹣3≤y≤3．
17. 【解析】解：去括号，得：2x+10≤3x﹣15，
移项，得：2x﹣3x≤﹣15﹣10，
合并同类项，得：﹣x≤﹣25，
系数化为1，得：x≥25，
在数轴上表示为：
．
18. 【解析】解：去括号得：3x﹣3≥x+2，
移项得：3x﹣x≥3+2，
合并同类项得：2x≥5，
系数化为1得：x≥2.5，
在数轴上表示为：
．
19. 【解析】解：由不等式（m+3）x＜2m+6，得（m+3）x＜2（m+3），
∵（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，
∴m+3＞0，
解得m＞﹣3．
20. 【解析】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴≤2，
解得a≤；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞﹣，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
21. 【解析】解：≥，
去分母得3（2+x）≥2（2x﹣1），
去括号得6+3x≥4x﹣2，
移项得3x﹣4x≥﹣2﹣6，
合并同类项得﹣x≥﹣8，
把化系数为1得x≤8．
在数轴上表示解集为：
22. 【解析】解：（1）∵|x+2|＝1，
∴x+2＝1或x+2＝﹣1，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
【答案】﹣1或﹣3；
（2）∵|x+5|＜3，
∴﹣3＜x+5＜3，
解得：﹣8＜x＜﹣2，
【答案】﹣8＜x＜﹣2；
（3）方程的解是数轴上到﹣与到的所有点的集合，
∴﹣＜x＜，
则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；
（4）不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞4的解是数轴上到1与到2的距离和大于4的所有点的集合，
∴x＜﹣或x＞．
23. 【解析】解：去括号，得：2x+1＞6﹣3x，
移项，得：2x+3x＞6﹣1，
合并同类项，得：5x＞5，
系数化为1，得：x＞1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
24. 【解析】解：解方程得x＝k+1，
∵方程的解是负数，
∴k+1＜0，
∴k＜﹣1．
25. 【解析】解：移项，得：2x﹣3x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
解集在数轴上表示如下：
26. 【解析】解：由方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣2y＜1，
∴3k﹣4k＜1，
解得：k＞﹣1．
∴k的取值范围是k＞﹣1．
27. 【解析】解：（1）d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣3﹣0|＝2+3＝5，
【答案】5；
（2）∵P（2，﹣3），M（x，0），
∴d（P，M）＝|2﹣x|+|﹣3﹣0|＝|2﹣x|+3，
∵d（P，M）＝6，
∴|2﹣x|＝3，
∴2﹣x＝±3，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（3）∵P（2，﹣3），N（x﹣1，x﹣3），
∴d（P，N）＝|2﹣x+1|+|﹣3﹣x+3|＝|3﹣x|+|x|，
∵d（P，N）＜5，
∴|3﹣x|+|x|＜5，
当0≤x≤3时，则有3﹣x+x＜5，则0≤x≤3；
当x＞3时，则有x﹣3+x＜5，解得x＜4；
当x＜0时，则有3﹣x﹣x＜5，解得x＞﹣1；
故﹣1＜x＜4，
【答案】﹣1＜x＜4；
（4）点Q组成的图形如图所示：
28. 【解析】解：移项得，2x+x＜10﹣1，
合并同类项得，3x＜9，
系数化为1得，x＜3．
29. 【解析】解：（1）∵A（﹣1，1），B（3，﹣4），
∴|﹣1﹣3|＝4，|1+4|＝5，
∴d（A，B）＝|﹣1﹣3|＝4；
【答案】|﹣1﹣3|＝4；
（2）∵点C（1，﹣3），d（C，D）＝2，
当点D在x轴上时，设D（m，0），|﹣3﹣0|＞2，
∴|m﹣1|＝2，
∴m＝3或m＝﹣1
当点D在y轴上时，设D（0，n），则|1﹣0|＜2，不合题意，
点D的坐标为（3，0）或（﹣1，0），
【答案】（3，0）或（﹣1，0）；
（3）由题意得：，
解得2＜m＜4.5，
∵横纵坐标都为整数，
∴m＝3和4，
∴M（4，﹣7）或（5，﹣6），
【答案】（4，﹣7）或（5，﹣6）．
30. 【解析】解：去括号得：4x＜2x+6，
移项合并得：2x＜6，
解得：x＜3，
在数轴上表示：
．
31. 【解析】解：移项，得：2x﹣3x≥﹣1﹣2，
合并同类项，得：﹣x≥﹣3，
系数化为1，得：x≤3，
解集在数轴上表示如下：
32. 【解析】解：（1）①x＜﹣2
②
③﹣2＜x＜2
④x＞a或x＜﹣a
⑤﹣a＜x＜a
【答案】x＜﹣2，，﹣2＜x＜2，x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a
（2）∵2|x+1|﹣3＜5
∴2|x+1|＜8
∴|x+1|＜4
∴﹣4＜x+1＜4
∴﹣5＜x＜3
∴原绝对值不等式的解集是﹣5＜x＜3
33. 【解析】解：去括号得4x﹣2﹣5x+1≥1，
移项得4x﹣5x≥1+2﹣1，
合并得﹣x≥2，
系数化为1得x≤﹣2．
用数轴表示为：
34. 【解析】解：4（x﹣1）+3≤2x+5，
去括号，得
4x﹣4+3≤2x+5，
移项及合并同类项，得
2x≤6，
系数化为1，得
x≤3，
其解集在数轴上表示如下，
．
北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-20解一元一次不等式（解答题·基础题）
26．（2022春•平谷区期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
27．（2022春•北京期末）解不等式：5x+1＞3x+7．
28．（2022春•北京期末）解不等式：2（3x﹣1）≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
29．（2022春•门头沟区期末）对于有理数a，b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．
（1）max{﹣1，2}＝ ；
（2）求max{x﹣1，﹣2}＝﹣2，写出一个满足条件的x的值，x＝ ；
（3）已知max{2x+1，﹣x2}＝3，直接写出x的值．
30．（2022春•昌平区期末）解不等式5x﹣2＞2x+4，并在数轴上表示出不等式的解集．
31．（2022春•密云区期末）解不等式4x﹣6≤2（4x+3），并把它的解集在数轴上表示出来．
32．（2022春•顺义区期末）解不等式，并把解集在数轴上表示．
33．（2022春•东城区期末）小明对不等式≤2（2﹣x）与≤2（x+2）的解法进行比较，如下表：
不等式
解法
≤2（2﹣x）①
≤2（x+2）②
第一步：去分母，得
﹣2x﹣2≤6（2﹣x）
2x﹣2≤6（x+2）
第二步：去括号，得
﹣2x﹣2≤12﹣6x
2x﹣2≤6x+12
第三步：移项，得
﹣2x+6x≤12+2
2x﹣6x≤12+2
第四步：合并同类项，得
4x≤14
﹣4x≤14
第五步：系数化为1，得
（1）将表格补充完整；
（2）小明发现：在不等式①和不等式②的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式①的变形依据是 ，不等式②的变形依据是 ．
（3）将不等式②的解集表示在数轴上．
34．（2022春•大兴区期末）解不等式2（x+2）＜6，并把它的解集在数轴上表示出来．
35．（2022春•海淀区期末）解不等式3（2x+1）＞4﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
36．（2022春•朝阳区期末）完成下面解不等式的过程并填写依据．
解不等式＞．
解：去分母，得2（1+x）＞3x（填依据：① ）．
去括号，得2+2x＞3x．
移项，得2x﹣3x＞﹣2（填依据：② ）．
合并同类项，得﹣x＞﹣2．
系数化为1，得x ．
37．（2022春•西城区校级期末）解不等式2（4x﹣1）≥5x﹣8，并把它的解集在数轴上表示出来．
38．（2022春•东城区期末）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
39．（2021春•丰台区校级期末）关于x的方程2x﹣3＝2m+8的解是负数，求m的取值范围．
40．（2021春•海淀区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足5x≥4y﹣4，求实数k的取值范围．
41．（2021春•顺义区期末）现定义运算，对于任意有理数a，b，都有，如：2⊗3＝2×（2+3）﹣3＝7，5⊗2＝2×（5+2）﹣5＝9．
（1）若x⊗（x+2）＞x⊗（x﹣3），求x的取值范围；
（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算：（a﹣b）⊗（2b）﹣[（b﹣a）⊗（2a﹣2b）]．
42．（2021春•昌平区期末）阅读下列材料：
我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．
例1：解方程|x|＝6．
解：∵|x|＝|x﹣0|＝6，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应数为±6，即该方程的解为x＝±6．
例2：解不等式|x﹣1|＞2．
解：如图，首先在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣5|＝3的解为 ；
（2）解不等式2|x+2|+1＜9；
（3）若|x﹣1|+|x+2|＝3，则x的取值范围是 ；
（4）若y＝|x﹣1|﹣|x+2|，则y的取值范围是 ．
43．（2021春•海淀区校级期末）解不等式2（x+5）≤3（x﹣5），并在数轴上把解集表示出来．
44．（2021春•东城区期末）解不等式3（x﹣1）≥x+2，并将解集表示在数轴上．
45．（2021春•海淀区校级期末）如果（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，求m的取值范围．
46．（2021春•西城区校级期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
47．（2021春•昌平区校级期末）解不等式≥，并在数轴上表示解集．
48．（2021春•西城区校级期末）一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．
结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：
（1）解含绝对值的方程|x+2|＝1得x的解为 ；
（2）解含绝对值的不等式|x+5|＜3得x的取值范围是 ；
（3）求含绝对值的方程的整数解；
（4）解含绝对值的不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞4．
49．（2020春•延庆区期末）解不等式：2x+1＞3（2﹣x），并把它的解集在数轴上表示出来．
50．（2020春•海淀区期末）关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的取值范围．
51．（2020春•海淀区校级期末）解不等式：2x+1≥3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．
52．（2020春•东城区校级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣2y＜1，求k的取值范围．
53．（2020春•昌平区期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）给出如下定义：点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点A（1，﹣1），点B（﹣2，1），则点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|1﹣（﹣2）|+|﹣1﹣1|＝3+2＝5．已知点P（2，﹣3），根据以上定义，解决下列问题：
（1）d（P，O）＝ ；
（2）已知点M（x，0），且d（P，M）＝6，求x的值；
（3）已知点N（x﹣1，x﹣3），且d（P，N）＜5，写出x的取值范围是 ．
（4）在平面直角坐标系xOy中画出满足d（Q，O）＝2时，点Q组成的图形．
54．（2020春•昌平区期末）解不等式：2x+1＜10﹣x．
55．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P（x1，y1）和Q（x2，y2），则定义|x1﹣x2|和|y1﹣y2|中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为P、Q两点的“最佳距离”，记为d（P，Q）例如：P（﹣2，3），Q（0，2）．
因为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣0|＝2；|y1﹣y2|＝|3﹣2|＝1，而2＞1，所以d（P，Q）＝|3﹣2|＝1．
（1）请直接写出A（﹣1，1），B（3，﹣4）的“最佳距离”d（A，B）＝ ；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C（1，﹣3）的“最佳距离”d（C，D）＝2，请写出点D的坐标 ；
（3）若点M（m+1，m﹣10）同时满足以下条件：
a）点M在第四象限；
b）点M与点N（5，0）的“最佳距离”d（M，N）＜2；
c）∠MON＞45°（O为坐标原点）；
请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标 ．
56．（2020春•房山区期末）解不等式4x＜2（x+3）并把它的解集在数轴上表示出来．
57．（2020春•海淀区校级期末）解不等式：2x+2≥3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．
58．（2020春•海淀区校级期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a＞0）和|x|＜a（a＞0）的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图：
所以，|x|＞2的解集是x＞2或 ．
再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图：
②
所以，|x|＜2的解集为： ．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 ．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
（1）请将小明的探究过程补充完整；
（2）求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集．
59．（2020春•海淀区校级期末）解不等式2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
60．（2020春•昌平区期末）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．
参考答案与试题解析
1. 【解析】解：，
3（x+3）﹣2x≥6（x﹣1），
3x+9﹣2x≥6x﹣6，
3x﹣2x﹣6x≥﹣6﹣9，
﹣5x≥﹣15，
x≤3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
2. 【解析】解：移项得：5x﹣3x＞7﹣1，
合并得：2x＞6，
解得：x＞3．
3. 【解析】解：2（3x﹣1）≤x+3，
6x﹣2≤x+3，
6x﹣x≤2+3，
5x≤5，
x≤1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
4. 【解析】解：（1）由已知，∵2＞﹣1，
∴max{﹣1，2}＝2，
【答案】2；
（2）∵max{x﹣1，﹣2}＝﹣2，
∴x﹣1≤﹣2，
∴x≤﹣1，
【答案】﹣1；
（3）max{2x+1，﹣x2}＝3，
∵﹣x2＜3，
∴2x+1＝3，
∴x＝1．
30．【解析】解：5x﹣2＞2x+4，
移项、合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
在数轴上表示为：
5. 【解析】解：4x﹣6≤2（4x+3），
去括号得：4x﹣6≤8x+6，
移项、合并同类项得：﹣4x≤12，
系数化为1得：x≥﹣3，
在数轴上表示为：
6. 【解析】解：去分母得：3（9﹣x）＞2（x+1），
去括号得：27﹣3x＞2x+2，
移项得：﹣3x﹣2x＞2﹣27，
合并同类项得：﹣5x＞﹣25，
系数化为1得：x＜5，
用数轴表示为：
7. 【解析】解：（1）将表格补充完整为：
不等式
解法
≤2（2﹣x）①
≤2（x+2）②
第一步：去分母，得
﹣2x﹣2≤6（2﹣x）
2x﹣2≤6（x+2）
第二步：去括号，得
﹣2x﹣2≤12﹣6x
2x﹣2≤6x+12
第三步：移项，得
﹣2x+6x≤12+2
2x﹣6x≤12+2
第四步：合并同类项，得
4x≤14
﹣4x≤14
第五步：系数化为1，得
x≤3.5
x≥﹣3.5
【答案】x≤3.5，x≥﹣3.5；
（2）小明发现：在不等式①和不等式②的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形依据不同．在第五步中，不等式①的变形依据是不等式的基本性质，不等式②的变形依据是不等式的基本性质．
【答案】不等式的基本性质，不等式的基本性质；
（3）将不等式②的解集表示在数轴上为：
8. 【解析】解：去括号得：2x+4＜6，
移项、合并得：2x＜2，
系数化为1得：x＜1，
这个不等式的解集在数轴上表示为
9. 【解析】解：去括号，得：6x+3＞4﹣5，
移项，得：6x＞4﹣5﹣3，
合并同类项，得：6x＞﹣4，
系数化成1得：x＞﹣，
在数轴上表示为：
．
10. 【解析】解：去分母，得2（1+x）＞3x（填依据：①不等式的基本性质2）．
去括号，得2+2x＞3x．
移项，得2x﹣3x＞﹣2（填依据：②不等式的基本性质1）．
合并同类项，得﹣x＞﹣2．
系数化为1，得x＜2．
【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性1，＜2．
11. 【解析】解：去括号，得：8x﹣2≥5x﹣8，
移项，得：8x﹣5x≥﹣8+2，
合并同类项，得：3x≥﹣6，
系数化为1，得：x≥﹣2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
12. 【解析】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项得：﹣5x≤10，
把x的系数化为1得：x≥﹣2．
13. 【解析】解：解方程2x﹣3＝2m+8，得：x＝，
∵关于x的方程2x﹣3＝2m+8的解是负数，
∴＜0，
解得m＜﹣．
14. 【解析】解：，
①+②，得：7x＝7k+7，
解得：x＝k+1，
将x＝k+1代入①，得：3（k+1）+y＝2k+3，
解得：y＝﹣k，
又∵5x≥4y﹣4，
∴5（k+1）≥﹣4k﹣4，
解得：k≥﹣1，
即实数k的取值范围为k≥﹣1．
15. 【解析】解：（1）∵x+2＞x，
∴x⊗（x+2）＝x（x+x+2）﹣（x+2）＝2x2+x﹣2，
∵x＞x﹣3，
∴x⊗（x﹣3）＝（x﹣3）（x+x﹣3）﹣x＝2x2﹣10x+9，
∵x⊗（x+2）＞x⊗（x﹣3），
∴2x2+x﹣2＞2x2﹣10x+9，
∴x＞1；
（2）由数轴可得，b＞1，a＜0，
∴a﹣b＜0，
∴（a﹣b）⊗（2b）＝（a﹣b）（a﹣b+2b）﹣2b＝a2﹣b2﹣2b，
（b﹣a）⊗（2a﹣2b）＝（2a﹣2b）（b﹣a+2a﹣2b）﹣（b﹣a）＝2（a﹣b）2﹣b+a＝2a2+2b2﹣4ab﹣b+a，
∴（a﹣b）⊗（2b）﹣[（b﹣a）⊗（2a﹣2b）]＝（a2﹣b2﹣2b）﹣（2a2+2b2﹣4ab﹣b+a）＝﹣a2﹣3b2+4ab﹣b﹣a．
16. 【解析】解：（1）由|x﹣5|＝3，可得
x﹣5＝3或x﹣5＝﹣3，
∴x＝8或x＝2，
故答案是x＝2或x＝8；
（2）不等式整理得，|x+2|＜4，
∴﹣4＜x+2＜4，
解得：﹣6＜x＜2；
（3）当x≤﹣2时，原方程化为1﹣x﹣x﹣2＝3，解得x＝﹣2，
当﹣2＜x＜1时，原方程化为1﹣x+x+2＝3，
当x≥1时，原方程化为x﹣1+x+2＝3，解得x＝1，
∴﹣2≤x≤1，
【答案】﹣2≤x≤1；
（4）当x＜﹣2时，y＝1﹣x+x+2＝3，
当﹣2≤x≤1时，y＝1﹣x﹣x﹣2＝﹣1﹣2x，
此时﹣3≤y≤3，
当x＞1时，y＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3，
综上所述：﹣3≤y≤3，
【答案】﹣3≤y≤3．
17. 【解析】解：去括号，得：2x+10≤3x﹣15，
移项，得：2x﹣3x≤﹣15﹣10，
合并同类项，得：﹣x≤﹣25，
系数化为1，得：x≥25，
在数轴上表示为：
．
18. 【解析】解：去括号得：3x﹣3≥x+2，
移项得：3x﹣x≥3+2，
合并同类项得：2x≥5，
系数化为1得：x≥2.5，
在数轴上表示为：
．
19. 【解析】解：由不等式（m+3）x＜2m+6，得（m+3）x＜2（m+3），
∵（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，
∴m+3＞0，
解得m＞﹣3．
20. 【解析】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x＜，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴≤2，
解得a≤；
（3）由求得，
∵m≥，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞﹣，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k﹣1＜0，且＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
21. 【解析】解：≥，
去分母得3（2+x）≥2（2x﹣1），
去括号得6+3x≥4x﹣2，
移项得3x﹣4x≥﹣2﹣6，
合并同类项得﹣x≥﹣8，
把化系数为1得x≤8．
在数轴上表示解集为：
22. 【解析】解：（1）∵|x+2|＝1，
∴x+2＝1或x+2＝﹣1，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
【答案】﹣1或﹣3；
（2）∵|x+5|＜3，
∴﹣3＜x+5＜3，
解得：﹣8＜x＜﹣2，
【答案】﹣8＜x＜﹣2；
（3）方程的解是数轴上到﹣与到的所有点的集合，
∴﹣＜x＜，
则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；
（4）不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞4的解是数轴上到1与到2的距离和大于4的所有点的集合，
∴x＜﹣或x＞．
23. 【解析】解：去括号，得：2x+1＞6﹣3x，
移项，得：2x+3x＞6﹣1，
合并同类项，得：5x＞5，
系数化为1，得：x＞1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
24. 【解析】解：解方程得x＝k+1，
∵方程的解是负数，
∴k+1＜0，
∴k＜﹣1．
25. 【解析】解：移项，得：2x﹣3x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
解集在数轴上表示如下：
26. 【解析】解：由方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣2y＜1，
∴3k﹣4k＜1，
解得：k＞﹣1．
∴k的取值范围是k＞﹣1．
27. 【解析】解：（1）d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣3﹣0|＝2+3＝5，
【答案】5；
（2）∵P（2，﹣3），M（x，0），
∴d（P，M）＝|2﹣x|+|﹣3﹣0|＝|2﹣x|+3，
∵d（P，M）＝6，
∴|2﹣x|＝3，
∴2﹣x＝±3，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（3）∵P（2，﹣3），N（x﹣1，x﹣3），
∴d（P，N）＝|2﹣x+1|+|﹣3﹣x+3|＝|3﹣x|+|x|，
∵d（P，N）＜5，
∴|3﹣x|+|x|＜5，
当0≤x≤3时，则有3﹣x+x＜5，则0≤x≤3；
当x＞3时，则有x﹣3+x＜5，解得x＜4；
当x＜0时，则有3﹣x﹣x＜5，解得x＞﹣1；
故﹣1＜x＜4，
【答案】﹣1＜x＜4；
（4）点Q组成的图形如图所示：
28. 【解析】解：移项得，2x+x＜10﹣1，
合并同类项得，3x＜9，
系数化为1得，x＜3．
29. 【解析】解：（1）∵A（﹣1，1），B（3，﹣4），
∴|﹣1﹣3|＝4，|1+4|＝5，
∴d（A，B）＝|﹣1﹣3|＝4；
【答案】|﹣1﹣3|＝4；
（2）∵点C（1，﹣3），d（C，D）＝2，
当点D在x轴上时，设D（m，0），|﹣3﹣0|＞2，
∴|m﹣1|＝2，
∴m＝3或m＝﹣1
当点D在y轴上时，设D（0，n），则|1﹣0|＜2，不合题意，
点D的坐标为（3，0）或（﹣1，0），
【答案】（3，0）或（﹣1，0）；
（3）由题意得：，
解得2＜m＜4.5，
∵横纵坐标都为整数，
∴m＝3和4，
∴M（4，﹣7）或（5，﹣6），
【答案】（4，﹣7）或（5，﹣6）．
30. 【解析】解：去括号得：4x＜2x+6，
移项合并得：2x＜6，
解得：x＜3，
在数轴上表示：
．
31. 【解析】解：移项，得：2x﹣3x≥﹣1﹣2，
合并同类项，得：﹣x≥﹣3，
系数化为1，得：x≤3，
解集在数轴上表示如下：
32. 【解析】解：（1）①x＜﹣2
②
③﹣2＜x＜2
④x＞a或x＜﹣a
⑤﹣a＜x＜a
【答案】x＜﹣2，，﹣2＜x＜2，x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a
（2）∵2|x+1|﹣3＜5
∴2|x+1|＜8
∴|x+1|＜4
∴﹣4＜x+1＜4
∴﹣5＜x＜3
∴原绝对值不等式的解集是﹣5＜x＜3
33. 【解析】解：去括号得4x﹣2﹣5x+1≥1，
移项得4x﹣5x≥1+2﹣1，
合并得﹣x≥2，
系数化为1得x≤﹣2．
用数轴表示为：
34. 【解析】解：4（x﹣1）+3≤2x+5，
去括号，得
4x﹣4+3≤2x+5，
移项及合并同类项，得
2x≤6，
系数化为1，得
x≤3，
其解集在数轴上表示如下，
．
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