2020-2021学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
2．（3分）关于x的一元二次方程x2＝2x的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．（3分）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足，且OA＝OB．现在只要测得卡钳外端C，D两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小．这种测量原理用到了（　　）

A．图形的旋转 B．图形的平移
C．图形的轴对称 D．图形的相似
4．（3分）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示：
实验者
抛掷次数n
“正面向上”
的次数m
“正面向上”的频率
棣莫弗
2048
1061
0.5181
布丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
04979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（　　）

A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小
B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5
C．每多抛一次，频率会更加接近0.5
D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等
5．（3分）如果反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．k的取值范围为k＞4 D．k的取值范围是k＜4
6．（3分）将抛物线y＝2x2﹣2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣5
C．y＝2（x﹣1）2﹣5 D．y＝2（x﹣1）2+1
7．（3分）如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．若△DEF的面积为S，周长为l，则下列说法正确的是（　　）

A．△ABC的面积为2S B．△ABC的面积为S
C．△ABC的周长为2l D．△ABC的周长为l
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的最小值为2 B．该函数的最小值为1
C．该函数的最大值为2 D．该函数的最大值为1
9．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是（　　）

A．0米＜x＜0.25米 B．x＞0.25米
C．0米＜x＜0.2米 D．x＞0.2米
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，半径OC⊥AB．以OC为直径的⊙D交AC于点E，交BC于点F，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣2 B．4π﹣2 C．4π﹣4 D．π﹣2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，＝，BE＝15，那么CE的长为　 　．

12．（3分）数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为Sm2，菜园的…为xm，列出S＝x（15﹣）．则自变量x的实际意义是　 　．

13．（3分）如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数y＝﹣的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C和D在反比例函数y＝的图象上，且对角线AC∥x轴，则平行四边形ABCD的面积等于　 　．

14．（3分）已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
15．（3分）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程：x（x﹣4）﹣5＝0；
（2）解方程：（x+5）2+x2﹣25＝0．
17．（7分）如图，一次函数y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＜0）交于点C，且AB＝2BC．
（1）求出点C的坐标及反比例函数的关系表达式；
（2）请直接写出不等式﹣2x+4﹣＞0的解集．

18．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为　 　；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CB为半径的圆与AB交于点D，直线DE与⊙C相切，并且交AC于点E，与CB的延长线交于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若CE＝3，CF＝4，求AE的长．

20．（8分）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
图形旋转的应用
图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，且AC＝4，BC＝3．过点E作互相垂直的两条直线，即EF⊥ED，EF交AC于点F，ED交BC于点D，求四边形EFCD的面积．
分析：将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC，并且交AC于点M，旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N．则容易证明四边形MENC为正方形．因为∠EMF＝∠END＝90°，ME＝NE，∠MEF＝∠NED，所以△MEF≌△NED，所以S四边形EFCD＝S正方形MENC．

学习任务：
（1）四边形EFCD的面积等于　 　；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
①作出△ABC的外接圆O；
②作∠ACB的平分线，与⊙O交于点D．
要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
（3）在（2）的基础上，若BC+AC＝14，则四边形ACBD的面积等于　 　．
21．（10分）2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高．10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤．为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤．求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
22．（11分）已知四边形ABCD与AEFG均为正方形．

数学思考：
（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且AB＝2AE＝2，则线段BE长为　 　．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），D（3，4）两点，直线AD与y轴交于点Q．点P（m，n）是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．
（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；
（2）当CP∥AD时，求出点P的坐标；
（3）是否存在点P，∠CPE＝∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）关于x的一元二次方程x2＝2x的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式△＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：由x2＝2x得到：x2﹣2x＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（3分）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足，且OA＝OB．现在只要测得卡钳外端C，D两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小．这种测量原理用到了（　　）

A．图形的旋转 B．图形的平移
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【分析】首先连接AB、CD，然后根据“两边及夹角”判定△AOB∽△COD．
【解答】解：如图，连接AB、CD，
∵，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∴＝．
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD．
∴＝＝2，
∴AB＝2CD，即d＝2CD．
所以这种测量原理用到了图形的相似．
故选：D．

4．（3分）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示：
实验者
抛掷次数n
“正面向上”
的次数m
“正面向上”的频率
棣莫弗
2048
1061
0.5181
布丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
04979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（　　）

A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小
B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5
C．每多抛一次，频率会更加接近0.5
D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率约为0.5，据此进行判断即可．
【解答】解：随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小，
故选：A．
5．（3分）如果反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．k的取值范围为k＞4 D．k的取值范围是k＜4
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则4﹣k＞0，此时在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B、反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则4﹣k＞0，此时在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则4﹣k＞0，故k＜4，故本选项不符合题意；
D、反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则4﹣k＞0，故k＜4，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝2x2﹣2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣5
C．y＝2（x﹣1）2﹣5 D．y＝2（x﹣1）2+1
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣5，
故选：C．
7．（3分）如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．若△DEF的面积为S，周长为l，则下列说法正确的是（　　）

A．△ABC的面积为2S B．△ABC的面积为S
C．△ABC的周长为2l D．△ABC的周长为l
【分析】根据三角形中位线定理得到DF＝AC，根据位似图形的性质得到△DEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，F分别是OA，OC的中点，
∴DF＝AC，
∵△DEF和△ABC是位似图形，
∴△DEF∽△ABC，且相似比为，
∵△DEF的面积为S，周长为l，
∴△ABC的面积为4S，周长为2l，
∴C选项说法正确，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x，下列说法正确的是（　　）
A．该函数的最小值为2 B．该函数的最小值为1
C．该函数的最大值为2 D．该函数的最大值为1
【分析】先把二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质即可求得其最大值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，
∴二次函数开口向下，当x＝2时有最大值1，
故选：D．
9．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是（　　）

A．0米＜x＜0.25米 B．x＞0.25米
C．0米＜x＜0.2米 D．x＞0.2米
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，把点（0.5，200）代入求得k的值，得到反比例函数解析式，根据题意列出不等式，解不等式即可求出焦距x的取值范围．
【解答】解：根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，
设y＝，
∵点（0.5，200）在此函数的图象上，
∴k＝0.5×200＝100，
∴y＝（x＞0），
∵y＜400，
∴＜400，
∵x＞0，
∴400x＞100，
∴x＞0.25，
即镜片焦距x的取值范围是x＞0.25米，
故选：B．
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，半径OC⊥AB．以OC为直径的⊙D交AC于点E，交BC于点F，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣2 B．4π﹣2 C．4π﹣4 D．π﹣2
【分析】如图，连接OE，OF，EF．根据S阴＝S半圆﹣2S△AEO，求解即可．
【解答】解：如图，连接OE，OF，EF．

根据对称性可知，S阴＝S半圆﹣2S△AEO＝•π•22﹣2×××＝2π﹣2，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，＝，BE＝15，那么CE的长为　6　．

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质求出CE．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得CE＝6．
故答案为6．
12．（3分）数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为Sm2，菜园的…为xm，列出S＝x（15﹣）．则自变量x的实际意义是　平行于墙的一边的长度　．

【分析】若设矩形菜园平行于墙的一边的长度为xm，知垂直于墙的一边的长度为＝（15﹣）m，再根据矩形的面积公式列出函数解析式，从而得出答案．
【解答】解：若设矩形菜园平行于墙的一边的长度为xm，
则垂直于墙的一边的长度为＝（15﹣）m，
所以菜园的面积S＝x（15﹣），
故答案为：平行于墙的一边的长度．
13．（3分）如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数y＝﹣的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C和D在反比例函数y＝的图象上，且对角线AC∥x轴，则平行四边形ABCD的面积等于　10　．

【分析】利用同底等高的三角形面积相等和比例系数k的几何意义求解．
【解答】解：连接OA、OC，记AC与y轴的交点为点E，
∵AC∥x轴，
∴AC⊥y轴，S△ABC＝S△AOC，
∴S△AOE＝＝1，S△ABC＝＝4，
∴S△AOC＝S△AOE+S△COE＝1+4＝5，
∴S△ABC＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝10．
故答案为：10．

14．（3分）已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线x＝1，开口向下，再进行比较即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣（x﹣1）2，
∴函数的对称轴是直线x＝1，开口向下，
∵函数图象上两点A（2，y1），B（a，y2），a＞2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
15．（3分）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　　．

【分析】设A1型号的长为a，宽为b（a＞b），根据相似三角形的性质得出＝，再求出答案即可．
【解答】解：设A1型号的长为a，宽为b（a＞b），
则A2的长为b，宽为a，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴＝，
解得：a2＝2b2，
∴a＝b（负数舍去），
∴＝＝：1，
即这些型号的复印纸的长、宽之比为：1，
故答案为：：1．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程：x（x﹣4）﹣5＝0；
（2）解方程：（x+5）2+x2﹣25＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求解即可．
【解答】（1）解：整理，得x2﹣4x﹣5＝0．
移项，得x2﹣4x＝5．
配方，得x2﹣4x+4＝9．
即（x﹣2）2＝9．
∴x﹣2＝±3．
∴x1＝5，x2＝﹣1．
（2）解：将原方程整理，得（x+5）2+（x+5）（x﹣5）＝0，
所以（x+5）（x+5+x﹣5）＝0
所以（x+5）＝0或x+5+x﹣5＝0．
所以x1＝﹣5，x2＝0．
17．（7分）如图，一次函数y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＜0）交于点C，且AB＝2BC．
（1）求出点C的坐标及反比例函数的关系表达式；
（2）请直接写出不等式﹣2x+4﹣＞0的解集．

【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D．根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，由OB∥DC，根据平行线分线段成比例定理得出，求出OD＝1，得到点D的横坐标为﹣1，再求出点C坐标，然后通过待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据图象，写出直线落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
把y＝0代入y＝﹣2x+4，得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0），
把x＝0代入y＝﹣2x+4，得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵OB∥DC，
∴，即，
∴OD＝1．
∴点D的横坐标为﹣1．
把x＝﹣1代入y＝﹣2x+4，得y＝6．
∴点C坐标为（﹣1，6）．
把点C坐标（﹣1，6）代入，得．得k＝﹣6．
∴反比例函数的关系表达式为；

（2）由图象可知，不等式﹣2x+4﹣＞0的解集为x＜﹣1．

18．（7分）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为　　；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）转动该转盘一次，指针指向的数字为偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：

由树状图可得，所有结果有25种，并且每种结果发生的可能性都相等，其中两次指针指向的数字和为偶数的结果有13种．
将“两次指针指向的数字和为偶数的事件记为A”，则．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CB为半径的圆与AB交于点D，直线DE与⊙C相切，并且交AC于点E，与CB的延长线交于点F．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若CE＝3，CF＝4，求AE的长．

【分析】（1）连接CD．由切线的性质得出∠CDE＝90°．由等腰三角形的性质得出∠CBD＝∠CDB．证得∠EDA＝∠EAD，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出EF＝5，证明△CED∽△FEC．由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：连接CD．

∵DE与⊙C相切，
∴CD⊥DE，即∠CDE＝90°．
∴∠EDA+∠BDC＝90°．
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB．
∵∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴DE＝AE．
（2）解：∵CE＝3，CF＝4，
∴．
∵∠ECD+∠FCD＝90°，∠ECD+∠F＝90°，
∴∠ECD＝∠F．
∵∠CED＝∠FEC，
∴△CED∽△FEC．
∴，
∴．
解得．
∴．
20．（8分）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
图形旋转的应用
图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，且AC＝4，BC＝3．过点E作互相垂直的两条直线，即EF⊥ED，EF交AC于点F，ED交BC于点D，求四边形EFCD的面积．
分析：将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC，并且交AC于点M，旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N．则容易证明四边形MENC为正方形．因为∠EMF＝∠END＝90°，ME＝NE，∠MEF＝∠NED，所以△MEF≌△NED，所以S四边形EFCD＝S正方形MENC．

学习任务：
（1）四边形EFCD的面积等于　　；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
①作出△ABC的外接圆O；
②作∠ACB的平分线，与⊙O交于点D．
要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
（3）在（2）的基础上，若BC+AC＝14，则四边形ACBD的面积等于　49　．
【分析】（1）证明四边形EMCN是正方形，设正方形的边长为m，利用面积法求出m，再证明△EMF≌△END（AAS），推出S四边形EFCD＝S正方形EMCN，可得结论．
（2）①作线段AB的垂直平分线可得△ABC的外心O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
②利用尺规作出∠ABC的角平分线交⊙O于点D．
（3）如图2中，过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M，DN⊥AC于N．证明四边形DMCN是正方形，再证明四边形ACBD的面积＝正方形DMCN的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵EC平分∠ACB，EM⊥AC，EN⊥BC，
∴EM＝EN，
∵∠EMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形EMCN是矩形，
∵EM＝EN，
∴四边形EMCN是正方形，设正方形的边长为m，
则×AC×BC＝×AC×m+×BC×m，
解得m＝，
∵EF⊥ED
∴∠MEN＝∠FED＝90°，
∴∠MEF＝∠NDF，
∵∠EMF＝∠END＝90°，
∴△EMF≌△END（AAS），
∴S四边形EFCD＝S正方形EMCN＝，
故答案为：；

（2）①如图2中，⊙O即为所求作．
②如图2中，射线CD即为所求作．

（3）如图2中，过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M，DN⊥AC于N．
∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∵DC平分∠ACB，DM⊥CB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴CM＝CN，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴DB＝DA，
∵DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，
∴Rt△DMB≌Rt△DNA（HL），
∴BM＝AN，S四边形ACBD＝S正方形DMCN，
∴AC+BC＝CM﹣BM+CN﹣AN＝2CM＝14，
∴CM＝7，
∴S四边形ACBD＝49．
故答案为：49．

21．（10分）2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高．10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤．为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤．求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
【分析】（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为x，根据10月份及12月份大葱的批发价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设大葱的销售价格降低y元，则每公斤的销售利润为（2.8﹣y）元，每天的销售量为（500+400y）公斤，根据每天销售大葱的利润＝每公斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的值，再结合要最大限度让利于顾客，即可确定y的值．
【解答】解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．
（2）设大葱的销售价格降低y元，则每公斤的销售利润为10﹣y﹣7.2＝（2.8﹣y）元，每天的销售量为500+×40＝（500+400y）公斤，
依题意得：（2.8﹣y）（500+400y）＝1640，
整理得：20y2﹣31y+12＝0，
解得：y1＝0.75，y2＝0.8，
又∵要最大限度让利于顾客，
∴y＝0.8．
答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
22．（11分）已知四边形ABCD与AEFG均为正方形．

数学思考：
（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是　BE＝DG　，位置关系是　BE⊥DG　．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且AB＝2AE＝2，则线段BE长为　+1　．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，AG＝AE，∠A＝90°，即可证明BE＝DG，BE⊥DG；
（2）延长BE，与DG交于点H，根据SAS证明△BAE≌△DAG，得到BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再由∠DHO＝180°﹣（∠ADG+∠DOH）＝90°，即可证明结论；
（3）过点A作AM⊥BE于M，由△ABE≌△ADG，证明△AEM是等腰三角形，根据勾股定理求出AE和EM的长，再算出BM的长，即可求出BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ACBD与四边形AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，
∴AB﹣AE＝AD﹣AG，即BE＝DG，
∵∠A＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）成立．
证明：如图2，延长BE，与DG交于点H．
∵四边形ABCD与AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAD+∠EAD＝∠EAG+∠EAD，
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∵∠OBA+∠BOA＝180°﹣∠BAO＝90°，∠DOH＝∠BOA，
∴∠ADG+∠DOH＝90°，
∴∠DHO＝180°﹣（∠ADG+∠DOH）＝90°，
∴DG⊥BE．
（3）如图3，过点A作AM⊥BE于点M，
由（2）知△BAE≌△DAG，
∵GE是正方形AEFG的对角线，
∴∠AEB＝∠AGD＝45°，
则△AEM是等腰直角三角形，
∵AB＝2AE＝2，
∴AE＝，
∵AM2+EM2＝AE2，
∴AM＝EM＝1，
∴BM＝＝＝，
∴BE＝BM+EM＝+1．
故答案为：+1．


23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），D（3，4）两点，直线AD与y轴交于点Q．点P（m，n）是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．
（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；
（2）当CP∥AD时，求出点P的坐标；
（3）是否存在点P，∠CPE＝∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线与直线AD的函数关系表达式；
（2）由题知四边形CQEF是平行四边形，根据解析式求出Q点和C点坐标，求出CQ＝3，设出P（m，﹣m2+3m+4），则点F（m，m+1），根据PF＝CQ解得m值，即可求出；
（3）过点C作CG⊥PF，垂足为G，过点Q作QH⊥PF，垂足为H，则四边形CGHQ为矩形，当PG＝HF时，△CGP≌△QHF（SAS），设P（m，﹣m2+3m+4），根据HF＝QO＝1，解得m的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），D（3，4）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数关系表达式为y＝﹣x2+3x+4；
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∵直线过A点和D点，
∴，
解得，
∴直线AD的函数关系表达式为y＝x+1；
（2）∵CQ∥PF，
∴当CP∥AD时，四边形CQEF是平行四边形，
这时PE＝CQ，
把x＝0代入y＝x+1，得y＝1，
∴点Q（1，0），
把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4，得y＝4，
∴点C（0，4），
∴CQ＝3，
设P（m，﹣m2+3m+4），则点F（m，m+1），
∴PF＝（﹣m2+3m+4）﹣（m+1）＝﹣m2+2m+3，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
当m＝2时，﹣m2+3m+4＝6，
∴点P（2，6）；
（3）存在点P，使得∠CPE＝∠QFE，
过点C作CG⊥PF，垂足为G，过点Q作QH⊥PF，垂足为H，
则四边形CGHQ为矩形，
∴CG＝QH，∠AGP＝∠QHF＝90°，
∴当PG＝HF时，△CGP≌△QHF（SAS），
这时∠CPG＝∠QFH，即∠CPE＝∠QFE，
设P（m，﹣m2+3m+4），
则PG＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m．
∵HF＝QO＝1，
∴﹣m2+3m＝1，
解得或．

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