2022-2023学年湖北省宜昌市西陵区东山中学八年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年湖北省宜昌市西陵区东山中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）1．（3分）下列四个图案分别是有害垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、其它垃圾的标志，其中是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a83．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（　　）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．（3分）一个多边形每一个外角都等于20°，则这个多边形的边数为（　　）A．12 B．14 C．16 D．185．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（　　）A．40° B．35° C．30° D．25°6．（3分）一个六边形共有n条对角线，则n的值为（　　）A．7 B．8 C．9 D．107．（3分）已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（　　）A．﹣50 B．50 C．500 D．﹣5008．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：49．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（　　）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点10．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则△BCD的周长是（　　）A．7 B．8 C．9 D．1011．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）A．6 B．8 C．10 D．8或10二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝　 　．13．（3分）已知点P（﹣a+3b，3）与点Q（﹣5，a﹣2b）关于x轴对称，则a＝　 　b＝　 　．14．（3分）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝13cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　 　cm．15．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1＝72°，∠2＝26°，则∠A＝　 　．三．解答题（共9小题）16．（6分）计算：（1）a•a2•a3﹣a6；（2）m•m7﹣（2m4）2．17．（6分）已知，村庄A和村庄B都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄A，B需铺设的水管长度之和最小．（1）请画出引水站P的位置，并连接AP，BP（包括画图痕迹）；（2）若不计杂料，所用水管之和为2000米，且BP比AP长600米，两村庄购买水管花费30000元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？18．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．19．（7分）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称；（2）再将△A′B′C′向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到△A″B″C″．画出图形；（3）请直接写出A″，B″，C″的坐标．20．（8分）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，F在AB上，CD＝DF．（1）求证：BF＝CE；（2）若AC＝10，AF＝2，求CE的长．22．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，简要证明．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足b1．（1）求A点的坐标；（2）如图1，已知点F（1，0），点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；（3）如图2，若点F（1，0）、C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值．2022-2023学年湖北省宜昌市西陵区东山中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）1．（3分）下列四个图案分别是有害垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、其它垃圾的标志，其中是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8【分析】根据同底数幂的乘除运算以及合并同类项法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝x5，故A不符合题意．B、原式＝2x2，故B不符合题意．C、原式＝x4，故C不符合题意．D、原式＝15a8，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查同底数幂的乘除运算以及合并同类项法则，本题属于基础题型．3．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（　　）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【解答】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由得出△OBC≌△OAC（SSS）．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．4．（3分）一个多边形每一个外角都等于20°，则这个多边形的边数为（　　）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】根据外角与外角和的关系，可求出边数．【解答】解：因为多边形的外角和是360°，又因为多边形的每个外角都是20°，所以这个多边形的边数为：360÷20＝18．故选：D．【点评】本题考查了正多边形及外角和，掌握多边形的外角和恒为360°是解决本题的关键．5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（　　）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．（3分）一个六边形共有n条对角线，则n的值为（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．【解答】解：六边形的对角线的条数n9．故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．7．（3分）已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（　　）A．﹣50 B．50 C．500 D．﹣500【分析】根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．【解答】解：∵3a＝5，3b＝10，∴3a+2b＝3a•（3b）2＝5×100＝500．故选：C．【点评】本题考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE＝OF，利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAOAB•DO：BC•EO：AC•OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD＝OE＝OF是解题的关键．9．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（　　）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点【分析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA＝PB的点的位置，然后思考满足PB＝PC的点的位置，答案可得．【解答】解：∵PA＝PB∴P在AB的垂直平分线上，同理P在AC，BC的垂直平分线上．∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．10．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则△BCD的周长是（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+DA＝BC+AC＝10，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）A．6 B．8 C．10 D．8或10【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝　110°　．【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB＝70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠CBD＝∠ABD∠ABC，∠BCD＝∠ACD∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．13．（3分）已知点P（﹣a+3b，3）与点Q（﹣5，a﹣2b）关于x轴对称，则a＝　﹣19　b＝　﹣8　．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．【解答】解：∵点P（﹣a+3b，3）与点Q（﹣5，a﹣2b）关于x轴对称，∴，解得．故答案为：﹣19，﹣8．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．（3分）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝13cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　3　cm．【分析】作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得CF＝CE，再根据同角的补角相等证明∠CBF＝∠D，即可证明△CBF≌△CDE，得BF＝DE，再证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF＝AE，于是得7+BF＝13﹣DE，所以7+DE＝13﹣DE，即可求得DE的长为3cm．【解答】解：∵作CF⊥AB交AB的延长线于点F，∵AC平分∠BAD，CF⊥AB，CE⊥AD，∴CF＝CE，∠F＝∠DEC＝∠AEC＝90°，∵∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠CBF＝∠D，在△CBF和△CDE中，，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，在Rt△ACF和Rt△ACE中，，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∵AD＝13cm，AB＝7cm，∴7+BF＝13﹣DE，∴7+DE＝13﹣DE，∴DE＝3，∴DE的长为3cm，故答案为：3．【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△CBF≌△CDE及Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．15．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1＝72°，∠2＝26°，则∠A＝　23°　．【分析】延长BD、CE相交于A′，根据翻折变换的性质求出∠3，∠4，再根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，延长BD、CE相交于A，∵∠1＝72°，∠2＝26°，根据翻折的性质，∠3（180°﹣∠1）（180°﹣72°）＝54°，∠4（180°﹣∠2）（180°﹣26°）＝77°，在△ADE中，∠A＝∠DEC﹣∠ADE＝∠4﹣∠3＝77°﹣54°＝23°．故答案为：23°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质求出∠3和∠4的度数是解题的关键．三．解答题（共9小题）16．（6分）计算：（1）a•a2•a3﹣a6；（2）m•m7﹣（2m4）2．【分析】（1）根据整式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．（2）根据整式的加减运算、乘法运算以及积的乘方运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6＝0．（2）原式＝m8﹣4m8＝﹣3m8．【点评】本题考查同底数幂的乘法以及积的乘方运算，本题属于基础题型．17．（6分）已知，村庄A和村庄B都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄A，B需铺设的水管长度之和最小．（1）请画出引水站P的位置，并连接AP，BP（包括画图痕迹）；（2）若不计杂料，所用水管之和为2000米，且BP比AP长600米，两村庄购买水管花费30000元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，点P即为所求；（2）构建方程组求出PA，PB可得结论．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）由题意，，解得，∵700×30000÷2000＝10500（元），1300×30000÷2000＝19500（元），∴A、B两村庄需分别付水管10500元，19500元．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．【分析】已知DE垂直平分斜边AB可求得AE＝BE，∠EAB＝∠EBA．易求出∠AEB．【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵∠CAB＝∠B+30°，∠CAB＝∠CAE+∠EAB，∴∠CAE＝30°．∵∠C＝90°，∴∠AEC＝60°．∴∠AEB＝120°【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换．19．（7分）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称；（2）再将△A′B′C′向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到△A″B″C″．画出图形；（3）请直接写出A″，B″，C″的坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称；（2）根据平移的性质即可将△A′B′C′向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到△A″B″C″；（3）结合（2）即可写出A″，B″，C″的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，△A″B″C″即为所求；（3）A″（﹣2，﹣2），B″（2，﹣5），C″（﹣3，﹣5）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．20．（8分）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝40 （海里）．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PBBC＝20（海里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），从而解决此题．【解答】解：（1）由题意得：AB＝20×2＝40（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝40 （海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴PBBC＝20（海里），∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．∴航行的时间为60÷20＝3（时）．∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，F在AB上，CD＝DF．（1）求证：BF＝CE；（2）若AC＝10，AF＝2，求CE的长．【分析】（1）由AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，得DB＝DE，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BDF≌Rt△DEC，则BF＝CE；（2）先证明AB＝AE，再由AC＝10，AF＝2，得BF+2＝10﹣CE，所以CE+2＝10﹣CE，则CE＝4，所以CE的长为4．【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，∴DB＝DE，∠B＝∠DEC＝∠DEA＝90°，在Rt△BDF和Rt△DEC中，，∴Rt△BDF≌Rt△DEC（HL），∴BF＝CE．（2）解：在Rt△ABD和Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AB＝AE，∵AC＝10，AF＝2，∴AB＝BF+2，AE＝10﹣CE，∴BF+2＝10﹣CE，∴CE+2＝10﹣CE，∴CE＝4，∴CE的长为4．【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边并且证明Rt△BDF≌Rt△DEC的解题的关键．22．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，，解得；综上所述，存在或 使得△ACP与△BPQ全等．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，简要证明．【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；（2）①结论：α+β＝180°，理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②当点D在线段BC的延长线上时，α+β＝180°．理由如下：如图，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．当点D在线段CB的延长线上移动时，α＝β．理由如下：如图，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β，综上所述，α+β＝180°或α＝β．【点评】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足b1．（1）求A点的坐标；（2）如图1，已知点F（1，0），点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；（3）如图2，若点F（1，0）、C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件确定a、b的值即可；（2）利用相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质可得答案；（3）利用勾股定理、锐角三角函数以及三角形的内角和定理进行计算即可．【解答】解：（1）∵和有意义，∴a＝2，又∵b1．∴b＝﹣1，∴A点的坐标（2，﹣1）；（2）如图1，过点G作GM⊥x轴，垂足为M，∵A（2，﹣1），点A与点D关于x轴对称，∴AE＝DE＝1，OE＝2，∴，∵OD⊥OG，∴∠DOE+∠GOM＝90°，∵∠GOM+∠OGM＝90°，∴∠DOE＝∠OGM，∵∠OED＝∠GMO＝90°，∴△DOE∽△OGM，∴，又∵F（1，0），∴OF＝1＝EF＝AE，∴∠AFE＝45°＝∠GFM＝∠FGM，∴GM＝FG，∴FM＝GM＝2OF＝2，∵GM∥AE，∴；（3）如图2，在y轴上取点E（0，1），过点E作EP⊥AC，垂足为P，过点A作AN⊥y轴，垂足为N，∵F（1，0），C（0，3），A（2，﹣1），∴OE＝OF＝1，OC＝3，∴∠OEF＝45°，EF，在Rt△COF中，CF，∵CE•OF＝CF•EP＝S△CEF，∴EP，∴sin∠EFP，在Rt△ACN中，AC2，∴sin∠ACN，∴sin∠EFP＝sin∠ACN，∴∠EFP＝∠ACN，∴∠EFP+∠FCO＝∠OEF＝45°，∴∠ACO+∠FCO＝45°．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，关于x轴和y轴对称的点的坐标特征，直角三角形的边角关系，掌握三角形内角和定理，二次根式有意义的条件，关于x轴和y轴对称的点的坐标特征，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 22:13:08；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214