第五章 一元函数的导数及其应用单元测试（提升卷）-2020-2021学年高二数学新教材单元双测卷（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 单元过关检测

能力提升B卷   解析版

题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟

一、单选题

1．如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1，高为2，3的两矩形构成，设函数S是图中阴影部分介于平行线和之间的那一部分的面积，那么函数的图象大致为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据图象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面积增长速度的变化情况，从而求得结果.

【详解】

根据图象可知在[0，1]上面积增长速度越来越慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，在图形上反映出[1，2]上的切线的斜率大于在[2，3]上的切线的斜率，因此C项符合题意.

【点睛】

本题考查函数图象的应用和判断，解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系，属中档题.

2．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

就是由函数的减区间得的解区间．

【详解】

由图象知和上递减，因此的解集为．

故选A．

【点睛】

本题考查导数与单调性的关系．的解区间是的减区间，的解区间是的增区间．

3．曲线上的点到直线的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.

【详解】

设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.

设切点为，对函数求导得，

由，可得，则，所以，切点为.

则点到直线的距离.

曲线上的点到直线的最短距离是.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.

4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数单调性，将问题转化为在区间上恒成立求参数范围的问题；再分离参数，则问题得解.

【详解】

因为在区间上单调递增，

故在区间上恒成立.

即在区间恒成立.

故.

故选：.

【点睛】

本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围，属基础题.

5．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.

【详解】

的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

6．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点．

【详解】

设切点坐标为，∵，∴，即，

解得或.∵，∴，即，

则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．

7．已知函数，其中为函数的导数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.

【详解】

，

所以，，

，函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，

因此，.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：

（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；

（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.

在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.

8．已知函数.则下列结论中错误的是（    ）

A．的极值点不止一个 B．的最小值为

C．的图象关于轴对称 D．在上单调递减

【答案】A

【分析】

判断函数的值域以及函数的单调性，求解函数的极值，函数的奇偶性、对称性，即可得到结果.

【详解】

因为，，

所以，

则当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，且只有一个极值点.

因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.

所以选项BCD正确，选项A错误，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数的图象和性质，函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.

二、多选题

9．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（    ）

A．若，且，则的解集为

B．若，且，则函数有极小值0

C．若，且，则不等式的解集为

D．若，则

【答案】ABD

【分析】

根据各选项的条件分别构造出函数，再利用导数得到函数的单调性，再根据单调性和已知条件依次判断即可得到答案.

【详解】

对选项A：设，因为，且，

则，所以在上增函数，

又因为，

所以当时，，

即的解集为，故A正确.

对选项B，设，

因为

所以当时， ，为减函数，

当时， ，为增函数，

故当，取得极小值，极小值为，故B正确.

对选项C，设，.

因为，，所以，在上增函数.

又因为，所以.

所以当时，，故C错误.

对选项D，设，

因为，所以，在上增函数.

所以，，即.

故D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，同时考查了构造函数，属于中档题.

10．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（    ）

A．2是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界

C．函数有上界，无下界 D．函数有界

【答案】ABD

【分析】

由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；由恒成立即可判断C；利用放缩法即可判断D.

【详解】

对于A，当时，,当且仅当时取等号，

恒成立，是的一个下界，故A正确；

对于B，因为，

当时，；时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，有下界，

又时，，无上界，故B正确；

对于C，，，恒成立，有下界，故C错误；

对于D，，，

又，，，既有上界又有下界，

即有界，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题.

11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（    ）

A．函数对称中心

B．的值是99

C．函数对称中心

D．的值是1

【答案】BC

【分析】

根据题意求出函数对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.

【详解】

,

令，解得，，

由题意可知：函数的对称中心为；

因为函数的对称中心为，

所以有，

设，

所以有，

得，，

即的值是99.

故选：BC

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.

12．如图，在四面体中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为，设，对于函数，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，函数取到最大值

B．函数在上是减函数

C．函数的图象关于直线对称

D．不存在，使得(其中为四面体的体积).

【答案】ABD

【分析】

由题意可知，设，则.利用导数性质求出当时，函数 取到最大值.

【详解】

在四面体中，点，，分别在棱，，上，

且平面平面，

由题意可知，

，.

棱锥 与棱锥 的高之比为.设，

.

，

当时，，当时，，

当 时，函数 取到最大值.故正确；

函数在函数在上是减函数，故正确；

函数 的图像不关于直线对称，故错误；

，

不存在，使得(其中为四面体的体积).故正确.

故选：.

【点睛】

本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题

三、填空题

13．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.

【答案】

【分析】

首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率

【详解】

解：因为，

所以，所以，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题

14．在中，分别为角的对边，若函数有极值点，则的范围是__________．

【答案】

【详解】

由题意有两个不等实根，

所以，，

所以，所以．

故答案为：.

【点睛】

对定义域内的可导函数来讲，导函数的零点是函数极值点的必要条件，只有在的两侧的符号正好相反，都是极值点．本题中导函数是二次函数，因此要使得的零点为的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．

15．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中阴影部分），圆的半径为1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦上，圆心是矩形的中心.若米，，，则“杠铃形图案”面积的最小值为______平方米.

【答案】

【分析】

先求出面积关于的函数解析式，利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值．

【详解】

设中点为，连接，

  则，，

则，，

所以“杠铃形图案”的面积为，

则.

因为，所以，，单调递增.所以

当时，的最小值.

则“杠铃形图案”面积的最小值为平方米.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题主要考察实际问题中函数的应用，根据题意写出面积关于的函数解析式，再利用导数求函数的最大值，难点在于利用导数求极值，考查了运算能力，属于中档题.

16．若函数，对于任意的，（其中）不等式恒成立，则的取值范围为________．

【答案】．

【分析】

转化条件为在上恒成立，求得即可得解.

【详解】

由题意，函数在上是单调递增函数，

所以即在上恒成立，

因为当时，，所以，

所以的取值范围为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知二次函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；

（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.

【详解】

（1）由得，

则在点处的切线斜率为，

又，

所以在点处的切线方程为，即；

（2）因为

所以

当时，在上恒正；

所以在上单调递增

当时，由得，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上所述，

当时，在上单调递增；

当时，当时，单调递减； 当时，单调递增.

【点睛】

本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.

18．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）在递增，在递减，在递增（2）

【解析】

【分析】

（1）先求函数的定义域以及导数，然后根据导数的零点与的大小关系确定分类讨论的标准，再结合的符号讨论函数的单调性.

（2）结合函数的单调性，求出，则问题转化为对于任意恒成立问题，再求出，的最大值，即可求出的范围.

【详解】

解：（1）的定义域是，

，

①当时，令，解得：，或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在递增，

②当时，，在递增，

③当时，令，解得：，或，

令，解得：；

故在递增，在递减，在递增；

（2）由（1）知时，在递增，

故在递增，

故，

要使不等式在恒成立，

只需，

记，则，

故在递增，的最大值是，

故，

故的范围是．

【点睛】

主要考查了含参函数单调性的讨论，以及恒成立问题，属于难题.对于恒成立问题，关键是等价转化为函数最值问题.而含参函数单调性的讨论的步骤：（1）确定函数的定义域；

（2）求出函数的导数；

（3）根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准；

（4）根据导数的符号讨论函数的单调性.

19．如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点为圆心，为半径做圆弧，将作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自点起，改为直道.已知千米，点A到OM，ON的距离分别为千米和1千米，，且千米，记.

（1）求的取值范围；

（2）已知弧形线路的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？

【答案】（1）；（2）当θ为时，总造价最少.

【分析】

（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线CN的方程，所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C的坐标，当PN过点C时，求出，结合图形，即可得出结果；

（2）先由题意，得到的长为，设，得出，，，用导数的方法求出其最小值即可.

【详解】

（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则，，，

所以直线CN的方程为，

所在圆的方程为，

联立解得，

当PN过点C时，，，

所以的取值范围是.

（2）由题意，的长为，设，

则，

所以总造价

，，，

所以，

令得，，所以，列表如下：

所以当时，有极小值，也是最小值.

答：当为时，总造价最少.

【点睛】

本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.

20．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.

（1）当时，求的值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）将代入，结合定义可求得对称中心，进而可知.结合所求式子特征即可求解.

（2）将代入不等式，结合定义域可分离参数，构造函数，求得并令，求得极值点，即可由导函数符号判断函数的单调性，进而求得，即可确定的取值范围.

【详解】

（1）函数，

当时，

因为，

∴，

令，解得，

则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，

所以，

所以，，…

则.

（2）∵，，

即，

又，

∴在上恒成立.

令.

∴.

∵，

令，得或（舍去）.

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

∴.

∴，

即的取值范围为.

【点睛】

本题考查了函数新定义的应用，导函数的运算及中心对称性质的应用，分离参数并构造函数法求参数的取值范围，由导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.

21．已知函数

（1）若存在极值点1，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，求证：

【答案】(1) ；(2) 见解析.

【详解】

试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.

(2)是典型的极值点偏移问题，先证明,再利用在上的单调性，即可得证.

试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.                       

(2)

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，所以为增函数，

当时，，所为减函数，

所以当时，取得极小值

又因为存在两个不同零点，所以，即

整理得，

作关于直线的对称曲线，

令

所以在上单调递增，

不妨设，则，

即，

又因为且在上为减函数，

故，即，又，易知成立，

故.

点晴：本题主要考查导数在函数中的应用，具体涉及到函数的极值，函数的极值点偏移问题.第一问中存在极值点1，所以，解得;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：一是在构造函数证明其大于于0恒成立，二是利用在上为减函数 ，两者结合即可证明结论成立.

22．已知，函数，

（1）求的最小值；

（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；

（3）证明：（）

【答案】(1)1.

(2).

（3）证明见解析.

【解析】

分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值．

（2）在上恒成立，分离变量，在上恒成立，求解函数在上的最大值．

（3）利用（2）问的结论进行放缩．

详解：（1）函数的定义域为，.

当，，当，，∴为极小值点，极小值.

（2）∵.

∴在上恒成立，即在上恒成立.

又，所以，所以，所求实数的取值范围为.

（3）由（2），取，设，

则，即，于是 .

.

所以 .

点睛：（1）函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．

（2）对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：

1、恒成立，等价于

2、使得成立，等价于

（3）利用导数证明不等式，再利用不等式对数列进行放缩，解决证明数列不等式很有效，本题还可以采用数学归纳法证明．