精品解析：天津市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

天津一中2019-2020-2高一年级数学学科期末质量调查试卷

一、选择题

1. 若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知求出，即得复数的虚部.

【详解】由题意，由得，

∴复数的虚部为，

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

2. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）

A. 若,,则 B. 若，,则

C. 若,,则 D. 若,,则

【答案】C

【解析】

【分析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．

【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：

在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；

在B中，若，，则或，故B错误；

在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；

在D中，若，，则与平行或，故D错误．

故选C．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．

3. 设R，向量且，则( )

A.  B.  C.  D. 10

【答案】C

【解析】

试题分析: 向量且，

，，

从而，

因此，

故选C．

考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直．

4. 某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（    ）

A. 1，3，4 B. 2，3，3 C. 2，2，4 D. 1，1，6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图可得第2，3，4组中频数之比，结合分层抽样的特点可得人数.

【详解】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，

现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法，通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.

5. 雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（    ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：，，）

A. 4.0米 B. 4.2米 C. 4.3米 D. 4.4米

【答案】B

【解析】

【分析】

在和中，利用正切值可求得，进而求得.

【详解】在中，（米），

中，（米），

（米）.

故选：.

【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.

6. 如图，O是△ABC的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由3，得：D是BC的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则，故得解

【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，

则点E为BC的中点，

且

由3，得：D是BC的四等分点，

则

，

故选A．

【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题．

7. 在中,=分别为角的对应边),则的形状为

A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形

【答案】B

【解析】

由题可得=，所以.

由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.

本题选择B选项.

8. 下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（    ）

A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”

B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”

C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”

D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”

【答案】C

【解析】

【分析】

利用相互独立事件的定义直接判断各选项，即可得到结果．

【详解】对于选项A，事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件N是相互独立事件；

对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”， 则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；

对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 则事件发生与否和事件有关，故事件和事件与不是相互独立事件；

对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”， 则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断，本题属于基础题.

9. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据直线平面垂直的判定与性质得出，为直角三角形，可得SC的中点O为球心，又可求得，求出球的半径，即可得解．

【详解】解：平面ABC，，

，，

面SAB，

面SAB，

，

，中AC的中点O，

，

为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，

故选B．

【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．

10. 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.

【详解】由题意知：，设

以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：

，，设

则，

当时，

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.

二、填空题

11. 是虚数单位，则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．

【详解】．

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

12. 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.

【详解】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.

13. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.

【详解】设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，

所以圆柱的全面积为，故全面积与侧面积之比为，填.

【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.

14. 在中，，，是的中点，是上一点，且，则的值是______.

【答案】

【解析】

【分析】

用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值.

【详解】为的中点，，

，，，

，

，

，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

15. 在中，内角的对边分别是，若，，则____.

【答案】

【解析】

【分析】

由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.

【详解】

根据正弦定理：

可得

根据余弦定理：

由已知可得：

故可联立方程：

解得：.

由

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求三角形一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16. 在中，，，，，则______；设，且，则的值为______.

【答案】    (1). 3    (2).

【解析】

【分析】

由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；

把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．

【详解】解：，、、三点共线，

，

两边平方得：，

，

解得：（舍去）．

，

，

化简整理，得，

，解得．

故答案为：3，．

【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．

三、解答题

17. 在中，内角、、的对边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，．求：

（ⅰ）边长；

（ⅱ）的值．

【答案】（1）；  （2）（ⅰ）；（ii）．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.

（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；

（ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值.

【详解】解：（1）由已知及正弦定理得

，，

，

（2）（ⅰ）因为，，

由余弦定理得，

（ⅱ）由，因为为锐角，所以

，，

【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.

18. 某校参加夏令营的同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

（1）用表中字母写出这个试验样本空间；

（2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；.

【解析】

【分析】

（1）根据样本空间的概念写出即可；

（2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.

【详解】（1）这个试验的样本空间为：

.

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；

，，，，，共6种，

因此事件发生的概率.

【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题.

19. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.

（1）求证；　

（2）求平面与平面所成二面角的大小；

（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.

（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角平面角为，根据题意可求角度.

（3）利用中位线将异面直线平移，则或其补角是异面直线与所成角，根据勾股定理，即可求解.

【详解】（1）∵底面是正方形， ∴，

∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴.

（2）由（1）知，又，∴为所求二面角的平面角，

　在中，∵，∴.

（3）取中点，连结，

在，由中位线定理得  ，

或其补角是异面直线与所成角，

∵，，

所以中，有，.

【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理能力，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.

20.  

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面 OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点， AB=BE=2. 

（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；

（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且 AH=HF，求直线BH和平面 CEF所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

  【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（ Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.

试题解析：依题意，，如图，以 为点，分别以 的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 ， . 

（Ⅰ）证明：依题意， . 

设 为平面的法向量，则 ，即 . 

不妨设，可得 ，又 ，可得 ， 

又因为直线，所以 . 

（Ⅱ）解：易证， 为平面的一个法向量.

依题意， . 

设 为平面的法向量，则 ，即 . 

不妨设，可得 . 

因此有 ，于是 ， 

所以，二面角的正弦值为 . 

（Ⅲ）解：由 ，得.

因为，所以 ，进而有 ，从而 ，因此 . 

所以，直线和平面所成角的正弦值为 . 

 【考点】利用空间向量解决立体几何问题