2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题（解析版）

2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集1，2，3，4，5，6，7，8，集合2，3，4，6，1，4，7，8，则（    ）

A．4 B．2，3，6 C．2，3，7 D．2，3，4，7

【答案】B

【解析】先求出再与取交集，即可得到答案.

【详解】

因为，2，3，4，6，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.

2．抛物线的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.

【详解】

，

抛物线的准线方程为，

即，故选A .

【点睛】

本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】分别解两个不等式得到集合，，再利用集合间的关系，即可得到答案.

【详解】

解不等式得；，

解不等式得：，

因为是的真子集，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.

4．直线与圆相交于、，则弦的长度为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求得答案.

【详解】

圆心到直线的距离，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.

5．已知数列中，，，记的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据递推关系求得等比数列的通项公式，再求出前项和为，化简可得.

【详解】

，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到与的关系.

6．已知偶函数在区间，上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得在区间上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得，从而利用函数的单调性可得答案.

【详解】

因为偶函数在区间，上单调递增，

所以在区间上单调递减.

因为，即，

因为，

所以，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.

7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的最小正周期是

C．在区间，上单调递增 D．在区间，上单调递减

【答案】C

【解析】根据函数的平移变换求出的解析式，再一一对照选项验证是否成立.

【详解】

函数的图象向右平移个单位长度得：.

对A，，故A错误；

对B，最小正周期为，故B错误；

对C，当，因为是的子区间，故C正确；

对D，当，不是的子区间，故D错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.

8．已知双曲线：，的右焦点为，，点在的一条渐近线上，若是原点），且的面积为，则的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三角形的面积及，求出点的坐标，再利用点的坐标求渐近线的斜率，从而得到的值，再观察选项，即可得到答案.

【详解】

因为，所以点的横坐标等于，

因为的面积为，设点在第一象限，

所以，

所以，只有选项A符合.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量.

9．已知函数，若关于的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A．， B．， C． D．，

【答案】D

【解析】画出函数的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到的取值范围.

【详解】

函数的图象如图所示：

将直线代入得：，

当直线与抛物线相切时，或，

由于方程恰有三个互不相同的实数解，

所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以.

故选：D.

【点睛】

本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.

二、填空题

10．是虚数单位，若复数满足，则________.

【答案】

【解析】利用复数的除法运算，求得.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.

11．的展开式中含项的系数是________（用数字作答）.

【答案】

【解析】根据二项展开式得，进而得到时会出现项，再计算其系数.

【详解】

，

当时，即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题.

12．已知，，且，则的最小值是_______.

【答案】

【解析】利用1的代换，将求式子的最小值等价于求的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值.

【详解】

因为，

等号成立当且仅当.

故答案为：.

【点睛】

本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.

13．已知半径为2的球的球面上有、、、不同的四点，是边长为3的等边三角形，且平面为球心，与在平面的同一侧），则三棱锥的体积为______.

【答案】

【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案.

【详解】

如图所示，点为的中心，则，

，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.

14．设是等差数列，若，，则_______；若，则数列的前项和________.

【答案】       

【解析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求.

【详解】

由题意得：.

因为，

所以，，，

所以.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写.

15．设点、、、为圆上四个互不相同的点，若，且，则_______.

【答案】

【解析】根据得到过圆的圆心，再利用向量的加法法则得，由向量数量积的几何意义得到等式，最后求得的值.

【详解】

因为，所以，

所以过圆的圆心，

所以，

因为在向量方向上的投影为：，代入上式得：

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

三、解答题

16．在中，内角、、所对的边分别为、、.已知.

⑴求证：、、成等差数列；

⑵若，，求和的值.

【答案】（1）证明见解析（2），

【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到，再利用正弦定理证得，从而证明结论成立；

（2）利用余弦定理，再由（1），联立求得的值；由正弦定理求得，再利用倍角公式求得的值.

【详解】

（1）因为，

所以.

由于在中，，所以，

所以.

由正弦定理，得.

所以成等差数列.

（2）在中，，

由余弦定理，得,

即.

由（1）知，所以，解得.

由正弦定理，得.

在中，因为于，所以，

所以.

所以.

【点睛】

本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求的值时，注意角这一条件的应用.

17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.

⑴求各个年级应选取的学生人数；

⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；

⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.

【答案】（1）高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）（3）详见解析

【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；

（2）利用计算原理求得基本事件的总数为，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；

（3）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分计算（），最后求得期望值.

【详解】

（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.

（2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为.

（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为，

且服从超几何分布，（）.

所以，随机变量的分布列为

所以，随机变量的数学期望为

.

【点睛】

本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.

18．如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.

⑴求证：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知为棱上的点，若，求线段的长度.

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】（1）证明，，再根据，从而得到线面垂直的证明；

（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；

（3）结合（2）中，求得点，再求的值，从而求得线段的长度.

【详解】

（1）在三角形中，且为的中点，

所以.①

在中，,.

连接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因为，③

由①②③，得平面.

（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以.

设为平面的法向量，

则有即

令，得所以.

易得，且为平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值为

（3）由（2）知.

设点，则.

又，，

所以，从而

即点.

所以.

所以.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.

19．设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.

⑴若，，求椭圆的离心率；

⑵若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.

①求椭圆的方程；

②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.

【答案】（1）（2）①②

【解析】（1）由题意得，利用勾股定理得，再利用椭圆的定义得到的关系，从而求得离心率；

（2）①由，得，求出后，即可得到椭圆的方程；

②设点，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得关于的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积，从而求得的值.

【详解】

（1）连接.因为，

所以是等边三角形，所以.

又，所以,所以.

于是，有，

所以，即所求椭圆的离心率为.

（2）①由，得，

整理，得.

又因为，所以，.

故所求椭圆的方程为.

②依题意，设点.

联立方程组

消去，并整理得.

则，（）

且，

所以.

又点到直线的距离为，

所以.

因为，所以，解得.

经验证满足（）式，

故所求实数.

【点睛】

本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

20．已知函数为自然对数的底数）.

⑴当时，求曲线在点，处的切线方程；

⑵讨论的单调性；

⑶当时，证明.

【答案】（1）（2）见解析（3）证明见解析

【解析】（1）当时，，利用导数的几何意义求得切线方程；

（2）对函数进行求导得，对分和两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；

（3）证明不等式成立等价于证明成立，再构造函数进行证明.

【详解】

（1）当时，.

所以，

所以，又.

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）易得（）.

①当时，，此时在上单调递增；

②当时，令，得.

则当时，，此时在上单调递增；

当时，，此时在上单调递减.

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（3）由（2）知，当时，在处取得最大值，

即

，

则等价于，即，

即.（※）

令，则.不妨设（），

所以（）.

从而，当时，；当时，，

所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.

故当时.

所以当时，总有.

即当时，不等式（※）总成立，

故当时，成立.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.