专题06 平面向量的概念及其线性运算【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

专题06 平面向量的概念及其线性运算【专项训练】-2020-2021学年高一数学

下学期期中专项复习（北师大2019版）

一、单选题

1．（2021·江苏高一课时练习）下列说法错误的是（    ）

A．若，则

B．零向量是没有方向的

C．零向量与任一向量平行

D．零向量的方向是任意的

【答案】B

【分析】

由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.

【详解】

A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；

故选：B

2．（2021·浙江高一单元测试）下列说法正确的是（    ）

A．向量与向量是相等向量

B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系

C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

【答案】D

【分析】

由相等向量和平行向量的定义进行判断

【详解】

解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；

对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；

对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；

对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，

故选：D

3．（2021·浙江高一单元测试）化简得（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据向量加法减法运算法则即可化简.

【详解】

原式.

故选：D.

4．（2021·浙江高一期末）已知是的边上的中线，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用平面向量的线性运算可求得结果.

【详解】

因为是的边上的中线，所以为的中点，

所以

.

故选：B

5．（2021·全国高一课时练习）已知，下面式子正确的是（    ）

A．与同向 B．0·＝0

C． D．若，则

【答案】C

【分析】

根据向量数乘运算的定义依次判断各选项即可得答案.

【详解】

对于A选项，对，当时正确，当时错误，故A选项错误；

对于B选项，根据数乘运算的结果为向量，故0·是向量而非数0，故B选项错误；

对于C选项，根据数乘运算的分配率即可得，故C选项正确；

对于D选项，若，则，故D选项错误．

故选：C.

6．（2021·全国高一课时练习）设，不共线，＝＋k，＝m＋(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有（    ）

A．k＝m B．km－1＝0

C．km＋1＝0 D．k＋m＝0

【答案】B

【分析】

由A，B，C三点共线得与共线，然后由向量共线的定理求解可得．

【详解】

若A，B，C三点共线，则与共线，

所以存在唯一实数λ，使，即，即，

所以，所以km＝1，即km－1＝0.

故选：B．

7．（2021·全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（    ）

A． B．

C． D．且

【答案】C

【分析】

根据、的含义，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

、分别表示与、同方向的单位向量，

对于A：当时，，故A错误；

对于B：当时，若反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；

对于C：当时，，故C正确；

对于D：当且时，若满足题意，此时，故D错误.

故选：C

8．（2021·全国高一课时练习）4(－)－3(＋)－等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据向量的运算法则，计算化简，即可求得答案.

【详解】

原式4(－)－3(＋)－＝.

故选：D

9．（2021·全国高一课时练习）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（    ）

A．2个 B．3个

C．6个 D．7个

【答案】D

【分析】

根据题中条件，由共线向量的概念，结合图形，即可得出结果.

【详解】

因为点是正六边形的中心，所以，

且，三点共线；

所以除向量外，与向量共线且模相等的向量有：，，，，，，，共7个．

故选：D.

10．（2021·浙江高一单元测试）在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足，则等于（    ）

A．2 B．1 C．  D．4

【答案】B

【分析】

利用向量的减法可得＝(＋)，从而可得AP为斜边BC的中线，即求.

【详解】

∵＝＋(＋)，

∴－＝(＋)，＝(＋)，

∴AP为斜边BC的中线，∴.

故选：B

二、多选题

11．（2021·江苏高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】

应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误.

【详解】

在平行四边形ABCD中，根据向量的加减法法则：、，结合相等、相反向量的定义：、.

故选：ABD.

12．（2021·全国高一课时练习）已知m，n是实数， 是向量，则下列命题中正确的为（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则m＝n

【答案】AB

【分析】

根据数乘向量的运算法则，化简整理，即可得答案.

【详解】

对于A：根据数乘向量的原则可得：，故A正确；

对于B：根据数乘向量的原则可得：，故B正确；

对于C：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故C错误；

对于D：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故D错误；

故选：AB

三、填空题

13．（2021·全国高一课时练习）已知向量，满足，，且，则实数λ的值是________.

【答案】

【分析】

根据，可得，代入数据，即可得答案.

【详解】

由得：，

所以，即，

故答案为：

14．（2021·全国高一课时练习）设，是两个不共线的向量.若向量k＋2与8＋k的方向相反，则k＝________.

【答案】－4

【分析】

由向量平行求得值，排除方向相同的参数值即可得．

【详解】

因为向量k＋2与8＋k的方向相反，所以k＋2＝λ(8＋k)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0).

故答案为：．

15．（2020·山东高三月考）如图，在矩形ABCD中，，F为DE的中点，若，则=____.

【答案】

【分析】

根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.

【详解】

由F为DE的中点，利用向量平行四边形法则可得：

利用向量三角形法则知：

，，，.

故答案为：.

16．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）点在线段上，且，则______.

【答案】

【分析】

根据题意得出三点的位置，根据数乘向量的概念即可得结果.

【详解】

由可得三点的位置如图所示：

其中为的三等分点（靠近）

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了数乘向量的概念，得到的位置是解题的关键，属于基础题.

四、解答题

17．（2021·江苏高一课时练习）如图，已知向量，，请化简并求作出向量：(32)﹣2().

【答案】，作图答案见解析.

【分析】

根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可．

【详解】

(3)﹣2()=3.

作出向量(3)﹣2()如下图：

18．（2021·全国高一课时练习）设两个非零向量不共线，已知＝2＋k，＝＋3，＝2－.

问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

【答案】存在，k＝－8.

【分析】

先利用表示向量，再由求解.

【详解】

设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，

∵

又∵A，B，D三点共线，

，∴，

，解得，

∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线.

19．（2021·全国高一课时练习）计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.

（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.

【详解】

（1）

=.

（2）

=

20．（2020·全国高一课时练习）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.

【答案】，，

【分析】

利用平面的向量的线性运算法则：共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则，依次可求得到答案.

【详解】

是平行四边形，，，，

，

，

.

【点睛】

方法点睛：本题考查平面向量的线性运算，常见类型及解题策略：

（1）向量加法或减法的几何意义，向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和，一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．