2023高考数学二轮复习专题18 三角恒等变换 （解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题18 三角恒等变换 （解析版），共43页。

专题18 三角恒等变换
【考点预测】
知识点一．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点二．二倍角公式
①；
②；
③；
知识点三：降次（幂）公式

知识点四：半角公式


知识点五．辅助角公式
（其中）．
【方法技巧与总结】
1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3. 拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意 特殊的角也看成已知角，如．
【题型归纳目录】
题型一：两角和与差公式的证明
题型二：给式求值
题型三：给值求值
题型四：给值求角
题型五：正切恒等式及求非特殊角
【典例例题】
题型一：两角和与差公式的证明
例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推导：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析
【解析】
【分析】
在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.
【详解】
(1)不妨令.
如图，

设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.
连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分別与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当时，上式仍然成立.
∴，对于任意角有：.
(2)①公式的推导：


.
公式的推导：




正切公式的推导：



②公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数
；
；
；
.
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】（1）选第四个式子，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)选第四个式子，由即可求三角函数式的值；
(2)由题意，设一个角为，另一个角为，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值
【详解】
（1）由第四个式子：
（2）证明：



【点睛】
本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题
例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，

（1）利用单位圆､向量知识证明：
（2）若，，，，求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）根据向量的数量积公式即可证明；
（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案．
【详解】
（1）由题意知：，且与的夹角为，
所以，
又，，
所以，
故．
（2）且，则；
，则，又，，，

【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点，，，，从这个图出发.

（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
【答案】（1）推导见解析；（2）证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据图象可知，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令，求，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为，再根据两角差的余弦公式化简.
【详解】
（1）因为，
根据图象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以.


【点睛】
本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.

【方法技巧与总结】
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
题型二：给式求值
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】
且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】
易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意得到进而得到，，从而有.
【详解】
∵，
∴，
则，
，
∴
，
故选A.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.
例7．（2020·全国·高三专题练习）若，则的值为（       ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】
∵，
∴，
∵，
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得.
【详解】
依题意，
，
，
，
，
，代入，
，
化简得，
两边除以，，
，
解得或.
故选：AC
例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，，即可求得，用二倍角公式即可求得 和 ，用拼凑角思想可表示出，用三角恒等变换公式求解即可.
【详解】
因为，且，所以.又因为，解得，则，
故.
故答案为：
例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知，则的值为_____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
由倍角公式以及诱导公式求解即可．
【详解】



故答案为：
例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若时，取得最大值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.
【详解】

（其中，），
当取最大值时，，∴
，
∴．
故答案为：
【方法技巧与总结】
给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.
解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
题型三：给值求值
例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可解得，即可求解
【详解】
，故，
可解得或，又，故，故，
故选：D
例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得的值，再根据求解即可.
【详解】
因为，所以，
.
故选：B.
例14．（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知的取值范围，求出的取值范围，再结合即可解得的值，即可求解
【详解】
因为，所以
又，所以，所以
所以
故选：D
例15．（2022·全国·模拟预测）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.
【详解】
因为，
所以.
故选：B．
例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，又，
所以，
所以。
即，所以
故选：B
例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.
【详解】

故选：B.
（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
先根据，判断角的范围，再根据求；
根据平方关系，判断的值；利用公式
求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.
【详解】
①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定
，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.
【方法技巧与总结】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.
题型四：给值求角
例19．（2022·全国·模拟预测）已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出，再由正弦函数的性质结合得出.
【详解】
由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．
故答案为：
例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】
，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】
，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得，分类讨论当、时的情况，结合和辅助角公式计算即可.
【详解】
由题意知，

则，
即，
当时，，即，
由，得；
当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
例23．（2022·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若，，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】
因为，所以，
因为，所以，即，
所以.
因为，，所以，
因为，
所以.
所以
.
因为，，
所以，所以.
故选：A
例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
推导出，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解】
因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，
所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.
故选：D.
例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（     ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】
因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
【方法技巧与总结】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.
题型五：正切恒等式及求非特殊角
例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角的终边经过点，且，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先通过诱导公式变形确认的值，再将变形化简．
【详解】
∵，，∴，故，，又，即，∴．
故选：D．
例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解．
【详解】
解：


．
故选：A．
例29．（2020·重庆一中高三阶段练习）求值：（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】
原式
，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.
例30．（2022·全国·高三专题练习）___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】


.
故答案为：.
例31．（2022·江苏南通·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】等答案较多
【解析】
【分析】
先把化简成，解得后，解三角方程即可解决.
【详解】


则，故，或
故答案为：等均符合题意.
例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两角差的正切公式化简求值．
【详解】
．
故答案为：．
例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，应用和角正切公式即可求值.
【详解】
.
故答案为：.
例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】
因为，
所以．
故答案为：1
【方法技巧与总结】
正切恒等式：当时，．
证明：因为，，所以
故．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角与角的位置关系可得与的关系，进而得出与的三角函数关系，结合两角和的余弦公式计算即可.
【详解】
因为与关于轴对称，，
所以，，
则，，，，
当时，，
，
当时，，

所以，
故选：A．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，则（       ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知两式平方相加可得，即得，由此求得，化简为 ，由二倍角公式可求得答案.
【详解】
因为，，
两式平方相加得： ，
即 ，即，
则，
故即，，即，
即，，即，
故，
故选：C
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，则（       ）
A． B． C．1 D．2或6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，解得，
又，所以.
故选:A.
4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（       ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
已知条件代入后应用平方关系、余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式、诱导公式化简可得．
【详解】
．
故选：B．
5．（2022·山东烟台·三模）若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得的值
【详解】

由，可得
又，则
故选：D
6．（2022·全国·模拟预测（文））设角，的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两角差的正切公式，结合同角三角函数关系式进行判断即可.
【详解】
，，
∵，，∴，.A.B不恒成立；
又，∴.
故选：D.
7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由两角和的正切公式可得出，再结合两角和的正切公式化简可得结果.
【详解】
因为，所以，
所以
.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】
，
因为
所以，，
因为，，
所以，，
则．
故选：C
二、多选题
9．（2022·海南海口·二模）已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.
【详解】
因为，
所以，又 ，
所以，，故A错误，B正确．
，
所以，
，
故C错误，D正确．
故选：BD.
10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为的是（       ）.
A．sin B．sincos
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】
A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意，
故选：AD
11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，，，且，则（       ）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A. 利用平方关系求解判断； B.利用诱导公式求解判断； C.利用角的范围判断； D.利用两角和的正切公式求解判断.
【详解】
A. 由，，且 ，所以，所以故正确；
B. 因为，且，且，所以，故正确；
C.若，可能是方程的两根，则，，
因为，，所以，所以，又，，故错误；
D.，
，
，
，
，故正确；
故选：ABD
12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用凑角的方式，将角看成整体，但要注意角的范围，
根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.
【详解】
因为，，
所以，故A正确；
因为，
所以
所以
，故B正确；
，
，
由得，，解得；故C不正确；
由得，，解得；
，故D不正确.
故选：AB.
三、填空题
13．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】         
【解析】
【分析】
先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件求出所以，利用两角差的正弦展开式可得，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.
【详解】
因为，，
所以，
所以
，所以，
，所以，
则.
故答案为：.
15．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 ，则_____________ .
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用三角函数诱导公式和辅助角公式得到，再根据求解即可.
【详解】
因为
所以.

.
故答案为：
16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
由两角和的正弦公式化简，然后然后再由两角差的余弦公式变形可得．
【详解】






.
故答案为：0．
四、解答题
17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
(1)
解：因为，，
又，所以，
所以.
(2)
解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
18．（2022·江西·高一期中）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角的正切公式计算可得即可证明；
（2）根据同角三角函数的关系可得，，再根据两角和差的正弦公式，结合求解即可
(1)
证明：因为，
所以，
因为为锐角且函数在上单调递增，所以
(2)
由，结合角为锐角，解得，，
因为，且
所以.


又，
所以
19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再切化弦代入即可求解；
（2）先借助正切的和角公式求出，再求出，结合角的范围即可求解.
【详解】
（1）

；
（2）由可知，又，，
则，又，则，则，
又，则.
20．（2022·江西·高一阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且 ．
(1)求的值；
(2)求的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①，由二倍角的正切公式展开，即可求得答案;
选②，根据同角的三角函数关系可求得，结合角的象限，即可求得答案；
（2）利用三角函数诱导公式化简，再将分母看作，利用弦化切，即可求得答案.
(1)
选①:
因为，所以，所以，
即，解得或．
因为角α是第一象限角，所以．
选②
因为，所以，即．
因为角α是第一象限角，所以，
则．
(2)

,
因为，所以，
即．
21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知，，，求
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；
小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；
小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.
(1)
，解得 或
又，，即.
(2)

，
又， 原式=
(3)
，，，
又，，
则.

.
22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））求的值；
已知，，，求的值．
【答案】(1)．(2)．
【解析】
【分析】
以切化弦、降幂、二倍角等的原则化简．
，，并判断的范围是．
【详解】
解：原式．
，
又，
，，
，则．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．
23．（2020·全国·高三专题练习）在中，满足 ．
（1）求；
（2）设，求的值.
【答案】（1） （2）1或
【解析】
【分析】
（1）先利用平方关系将余弦化为正弦，再结合正余弦定理化简可得C.
（2）由（1）结合两角和与差的余弦公式及同角基本关系式将已知化简整理成关于正切的二次方程，解之即可.
【详解】
（1）∵，，∴变形为，
即，
利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.
（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，
又cosAcosB=，可得，
同时cos（）cos（）=，
∴
=
=
=-=，
∴，
∴或4.
【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，考查了两角和差的余弦公式的应用，考查了利用同角基本关系式处理齐次式的技巧，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，属于难题.