2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数a的取值集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据集合间的关系即可得结果.

【详解】因为集合，，，所以

故选：B.

2．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先证明充分性，再证明非必要性，即得解.

【详解】若，则，故充分性成立；

由得，所以，则或，故必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得a>1，b>1，利用作差法可得b>a，进而得出答案.

【详解】因为c+1≥0，所以c+4≥3，故，

因为c+2≥0，所以c+3≥1，故，

，，

因为（c+2）（c+3）-（c+1）（c+4）=2>0，所以b2>a2，故b>a>1.

故选：B

4．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，利用换元法转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质求出函数的值域.

【详解】解：令，，则，所以原函数即为，，

对称轴方程为，可知，即，

函数的值域为.

故选：C

5．若点在幂函数的图象上，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由幂函数的定义知函数的系数为,可求出的值，再把点代入函数的解析式中求出的值，然后把的值代入函数中，求出函数的定义域，进而可求出值域.

【详解】由已知可得 ，解得，，故，

对于函数，有 ，解得，故函数的定义域为，因此函数的值域为

故选：B.

6．已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】证明函数没有奇偶性，即得解.

【详解】函数的定义域为R，

，

，

所以没有奇偶性.由于选项ABD都是偶函数.

故选：C

7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先证明函数是周期为4的函数，再利用函数的周期性和奇偶性得解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以是周期为4的函数，

所以，

因为是奇函数，所以

故选：D

8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分，与三种情况，考虑分母的正负及根号下非负，求出实数a的取值范围.

【详解】当时，为常数函数，不具有单调性，舍去；

当时，单调递减，此时还需要满足分母大于0且根号下非负，

故要满足，解得：，

当时，单调递增，此时根号下大于2，还需要满足分母小于0，

故要满足，解得：，

综上：实数a的取值范围是.

故选：B

二、多选题

9．下列函数是奇函数的是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】BD

【分析】先要满足定义域关于原点对称，再满足，即为奇函数，

A选项，函数为偶函数；

BD选项，满足两个条件，为奇函数；

C选项，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

【详解】对于A选项，定义域为R，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意．

对于B选项，定义域为，关于原点对称，当时，，

当时，，故为奇函数，满足题意．

对于C选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意．

对于D选项，，定义域为R，关于原点对称，

且，故为奇函数，满足题意．

故选：BD

10．已知，则下列选项中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据幂的运算法则求解判断．

【详解】，，因此A正确；

，因此B不正确；

，，解得，因此C正确；

，因此D正确．

故选：ACD．

11．设，且，那么（    ）

A．有最小值6 B．有最大值6

C．ab有最小值9 D．ab有最大值9

【答案】AC

【分析】利用基本不等式将已知等式转化为只含所求式子的二次不等式即可.

【详解】对于A选项，由有，当且仅当时取等，

得，因，解得，

故有最小值6，故A正确，B错误；

对于C选项，由有，当且仅当取等，

因，，解得，得.则ab有最小值9，故C正确，D错误．

故选：AC

12．已知函数，则（    ）

A．

B．的值域为

C．是R上的减函数

D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】计算得选项A正确；的值域是，得选项B错误；恒正且在R上递增，得选项C正确；等价于，再利用函数的单调性解不等式得选项D正确．

【详解】，所以选项A正确；

的值域是，故的值域是，所以选项B错误；

恒正且在R上递增，故是R上的减函数，所以选项C正确；

由于，

故不等式等价于，即，

又是R上的减函数，故，解得，所以选项D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】且

【分析】解不等式组即得解.

【详解】解：由已知可得，解得且.

故函数的定义域为且

故答案为：且

14．已知集合，，若，则__________．

【答案】

【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.

【详解】由集合，，

若，则集合B中或，

若，则或舍去，此时且；

若，则集合A中，不符合集合中元素的互异性，不成立，

综上，

故答案为：

15．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知，，则矩形花坛AMPN面积最小值为__________．

【答案】64

【分析】设出，利用三角形相似得到，表达出矩形花坛AMPN面积，利用基本不等式求出最小值.

【详解】设，则，，

由三角形相似可得：，即，

，

故，当且仅当时取等号成立，

故面积的最小值是

故答案为：64.

16．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】等价于在区间上有解，设，，求出函数的最值即得解.

【详解】函数在区间上有零点，

即在区间上有解，

所以在区间上有解，

设，，

由于在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，

所以

所以，即

故答案为：

四、解答题

17．已知函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合

(1)求

(2)若集合，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由函数定义域求出，由函数值域求出，从而求出交集；

（2）由得到，分与两种情况，进行求解，最后求出数a的取值范围．

【详解】（1）由得到，

故，即，故，

由，得到，即，

故；

（2），

当时，即时，，满足条件；

当时，即时，，要使，

则，解得：，

综上所述，实数a的取值范围为.

18．已知函数

(1)用定义证明在区间上单调递减：

(2)若，求x的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设出，，且，证明；

（2）由在上单调递减，等价于，求解即可

【详解】（1）证明：因为，

设任意的，，且，则，

因为，，且，所以，，所以，

所以在上单调递减；

（2）因为、，且在上单调递减，所以等价于，

即，所以，所以，即

19．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)当时，求的最小值及相应x的值．

【答案】(1)

(2)的最小值为，此时

【分析】（1）由分式不等式的解法得即可；

（2）结合基本不等式求解最值即可.

【详解】（1）解：，即

即

解得或

不等式的解集为

（2）解：当时，令，则，

则，

又当时，，当且仅当即即时取等号，

故的最小值为，此时

20．已知函数，，其中且

(1)求

(2)若对于，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）利用对数的运算可得，进而计算原式即可；

（2）由可得，利用对的取值分类讨论对数函数的单调性，

得出对应的一元二次不等式，分别解不等式即可.

【详解】（1）由，定义域

所以在定义域内有：

原式

（2）由，可得，

又恒成立．

当时，，要使题中不等式恒成立，

则，

易得，即，

解得

当时，，要使题中不等式恒成立，

则，易得²，

即，解得或所以

综上所述，

21．若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的．

(1)已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

(2)已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数c的取值范围．

【答案】(1)假命题，举例见解析

(2)

【分析】（1）利用“疏远函数”的定义，举例直接判断即可；（2）由函数与在上是疏远的，构造函数恒成立， 进而得到，令，进而利用单调性的定义证明的单调性，得到，进而可求得的范围.

【详解】（1）由题意可知，命题“函数和在上是疏远的”，则

在上恒成立，即证在上恒成立，

令，故，又函数的对称轴为，

故函数在上递增，所以，即，并不恒大于3，故为假命题，反例为当时

（2）根据题意在上恒成立，即

又，，所以，故，

令，取，

则，

因为，，则，，则，

所以，所以函数在上递增，

故，解得或，

所以

22．2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战.某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游。2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点.该村原有500户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元。调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业，据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x%，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元。在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入.

(1)求x的取值范围；

(2)要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值（保留三位小数）.

（参考数据：，，）

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；

（2）根据题意，列出不等式，分离参数，利用函数的单调性求最小值，即可求得参数的最值.

【详解】（1）根据题意，剩余户从事种植业的平均每户的年收入为，

故要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入，

则，整理得：，解得，

又，故的取值范围为.

（2）户从事乡村旅游的年收入为，从事种植业的年收入为，

依题意可得：，

整理得：，又，即恒成立，

因为在单调递减，在单调递增.

又，故可得，又，故取得最小值时，或，

当时，，

当时，，

故，即的最大值为.