2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期10月联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．以下五个写法中：①；②；③；④；⑤，正确个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.

【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，∴①不对；

对于②：空集是任何集合的子集，，∴②对；

对于③：是无理数，∴③不对；

对于④：根据集合的无序性可知，∴④对：

对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，∴⑤不对：

正确的是：②④．

故选：B．

2．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

3．记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意和对图的理解可知阴影部分所表示的集合是，结合并集和补集的概念与运算计算即可.

【详解】由图知，阴影部分所表示的集合是，

∵，，

∴，

故.

故选：D

4．设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【分析】先解方程得集合A，再根据得，根据包含关系求实数，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数.

【详解】

因为，所以，因此或或，

当时，，当时，，当时，，

实数a的取值组成的集合为，其子集有，，，，，，，，共8个，

故选：D．

5．集合则 （    ）

A．M B．N C． D．

【答案】B

【分析】结合交集运算定义进行计算.

【详解】由已知，又表示整数，表示奇数，故，

故选：B

6．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断

【详解】解：对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则满足，而不满足，所以B错误，

对于C，若，则满足，，而此时，所以C错误，

对于D，因为，，所以，所以D正确，

故选：D

7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）

A．25 B．6 C．4 D．5

【答案】D

【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值.

【详解】因为不等式恒成立，，，

所以恒成立，

设，则

当且仅当时等号成立，

所以，所以，所以m的最大值为5，

故选：D．

8．近来国内天气干旱，各地多次发布干旱红色预警信号，导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元所，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的大小无法确定

【答案】C

【分析】根据题意可得，，再结合，即可得的大小关系.

【详解】解：根据题意可得．当且仅当等号成立；

，当且仅当等号成立，

由题意可得，所以，则.

故选：C．

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题：“”的否定是“”

C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】ABD

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A，C，D；根据含量词的命题的否定方法判断B.

【详解】对于选项A：“”可推出“”，又当时，成立，但是，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

对于选项B：命题“”的否定是“”，故B正确；

对于选项C：由“且”可推出“”，又当时，，∴“”推不出“且”，∴“且”是“”的充分不必要条件，故C错误：

对于D选项，关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确．

故选：ABD．

10．已知实数x，y满足，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用不等式的可加性判断A，B；变形后判断C， D.

【详解】因为，，，所以，故A正确；

因为，所以，解得，故B错误：

因为，又，所以，故C正确，D错误：

故选：AC．

11．已知集合，下列说法正确的是（    ）

A．不存在实数a使得 B．当时，

C．当时， D．存在实数a使得

【答案】AD

【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C通过假设求出实数的取值范围可判定，通过举例判断D.

【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确，

选项B：当时，，不满足，故选项B错误

选项C：若，则

①当时，有；

②当时，有，此方程组无实数解；

所以若，则有，故选项C错误，

选项D：当时，，，，故D正确，

故选：AD．

12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若实数，满足，则的最小值为

C．若，则的最小值为

D．若，则的最小值为2

【答案】ACD

【分析】A选项：根据，利用基本不等式“1”的妙用，即可求出的最小值；

B选项：先将完全平方后展开，利用基本不等式即可求解；

C选项：用表示出，再代入中，利用基本不等式求出最小值；

D选项：设，用和表示出和，再代入化简变形，利用基本不等式求得最小值.

【详解】对于A选项：因为，

所以

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

对于B选项：∵

∴，

∴，当且仅当时等号成立，故错误．

对于C选项：原式

（当且仅当时取等号）．故正确；

对于D选项．令，则，由，得，

则，

而，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

故选：ACD

三、填空题

13．请写出不等式的一个充分不必要条件___________．

【答案】 (答案不唯一)

【分析】根据充分不必要条件，找到一个能推出，但是推不出来的条件即可.

【详解】因为能推出，但是不能推出，

所以是不等式的一个充分不必要条件，

故答案为：（答案不唯一）

14．国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有__________．

【答案】7

【分析】根据集合的交与并的元素个数之间的关系列式计算即可.

【详解】设参加语文竞赛的学生组成的集合为，参加数学竞赛的学生组成的集合为，参加外语竞赛的学生组成的集合为，则表示参加语文和数学竞赛的同学组成的集合，表示参加数学和外语竞赛的同学组成的集合，表示参加语文和外语竞赛的同学组成的集合，由已知集合中有39个元素，集合中有49个元素，集合中有41个元素，集合中有15个元素，集合中有13个元素，集合中有9个元素，

因为1人三项都没有参加，且共100名学生，所以中含有99个元素，

设三项都参加的有x人，结合图象可得集合，，的元素个数和减去集合，，的元素个数和再加上的元素的个数可得99，所以

，解得

故答案为：7.

15．命题“，使”是假命题，则实数a的取值的集合为__________．

【答案】

【分析】由已知在上恒成立，化简可得在上恒成立，根据基本不等式求的最小值，由此可得a的取值范围．

【详解】因为“，使”是假命题，所以命题“，使”为真命题，即在上恒成立，所以不等式在上恒成立，又，当且仅当时取等号，

所以，解得，所以a的取值的集合，

故答案为：.

四、双空题

16．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为.设集合的累积值为.

（1）若，则这样的集合共有___________个；

（2）若为偶数，则这样的集合共有___________个.

【答案】         

【分析】（1）列举出符合条件的集合，即可得解；

（2）求出集合的子集个数，除去“累积值”为奇数的子集，即可得解.

【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有个；

（2）因为集合的子集共有个，

其中“累积值”为奇数的子集为、、，共个，

所以“累积值”为偶数的集合共有个.

故答案为：（1）；（2）.

五、解答题

17．设集合，，.求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；

(2)或；

(3)或.

【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可.

【详解】(1)；

(2){x|或}，

{x|或}；

(3){x|或}，{x|x＜1或3＜x≤4}，

{x|或}.

18．（1）已知，则的最大值为？

（2）求函数 的最小值.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）先对的解析式进行配凑，然后利用基本不等式求解出的最大值；

（2）先对的解析式进行化简，然后利用配凑法以及基本不等式求解出函数的最小值.

【详解】解.（1）因为，所以，

则.

当且仅当，即时，取等号.

故的最大值为1.    

（2）

.    

当且仅当，即时，取等号.

故函数的最小值为.

19．设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.

(1)若A∩B={2}，求实数a的值；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.

【答案】(1)-1或-3；

(2).

【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；

【详解】(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.

因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，

得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，

当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；

当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，

综上，实数a的值为-1或-3；

(2)对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.

因为A∪B=A，所以B⊆A.

当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；

当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；

当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，

解得a=-，且a2=7，矛盾.

综上，实数a的取值范围是.

20．已知全集为R，集合，集合或.

(1)若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意可知，集合是集合的真子集，结合数轴即可求解；

(2)根据题意，先求出，再求出满足时的范围，再求补集即可.

【详解】(1)由是成立的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集，因 ，或，所以或，

解得.

(2)由或，得，

若，则或，即，因，

所以.

21．（1）设，，证明：；

（2）设，，，证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据作差法证明即可；

（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.

【详解】证明：（1）因为，，所以，。

所以，

故得证；

（2）由不等式的性质知，，

所以，

又因为根据（1）的结论可知，，

所以.

所以.

22．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米.

(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a>0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.

【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低

(2)

【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．

（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．

【详解】(1)解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋子前面新建墙体长为米，

则

因为.

当且仅当，即时等号成立.

所以当时，，

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.

(2)解：由题意可得，对任意的恒成立，

即，从而，即恒成立，

又.

当且仅当，即时等号成立.

所以.