高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.3 综合应用导学案

　组合数的综合应用　

关键能力·合作学习

类型一　简单的组合问题(数学建模)

1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)

A．120种    B．90种    C．60种    D．30种

【解析】选C.甲场馆安排1名有C种方法，乙场馆安排2名有C种方法，丙场馆安排3名有C种方法，所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有CCC＝60种．

2．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字有________种可能．

【解析】依题意得所拨数字共有CC＝24种可能．

答案：24

3．(2021·北京高二检测)生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名．现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛．

(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？

(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？

【解析】(1)根据题意，正、副组长2人中有且只有1人入选，其选法有2种，在10名组员中任选2人，有C＝45种选法，则有2×45＝90种选法．

(2)根据题意，分2种情况讨论：

①正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，选派方法数为CC＝9；

②正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为CC＝72.

则有9＋72＝81种不同的选法．

解简单的组合应用题的策略

(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．

提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

【加练·固】有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名．

(2)至少有1名女运动员．

(3)既要有队长，又要有女运动员．

【解析】(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法．第二步：选2名女运动员，有C种选法．故共有C·C＝120(种)选法．

(2)方法一(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法．

方法二(间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法 ，其中全是男运动员的选法有C种，

故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种).

(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有(C－C)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种).

类型二　与几何有关的组合应用题(数学建模)

【典例】已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．

(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？

解与几何有关的组合应用题的策略

(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．

(2)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．

如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.

(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

【解析】(1)方法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个).

方法二：可作三角形C－C＝116(个).其中以C1为顶点的三角形有C＝36(个).

(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个).

【加练·固】

在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？

【思路导引】要想组成三角形，需找不在同一直线上的三点．因为O为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行讨论．

【解析】方法一：(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM，ON上，所以有C·C个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C·C个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有C·C个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．

方法二：(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到(C－C－C)个三角形，即C－C－C＝120－20－10＝90个．

方法三：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有C·C个三角形，再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得C·C个三角形，所以共有C·C＋C·C＝15×4＋5×6＝90个．

类型三　组合应用中的分组分配问题(数学建模)

　角度1　不同元素分组、分配问题　

【典例】有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？

(1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本．

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本．

(3)分成三组，每组都是2本．

(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．

【思维导引】

(1)先从6本书中取出一本作为一组，再从剩余的5本中任取2本作为一组，则其余3本为一组．(2)在(1)分组的基础上进行排列即可．(3)先从6本书中取出2本作为一组，再从剩余的4本中任取2本作为一组，则其余2本为一组，其中有重复，须除以A.(4)在(3)中分组的基础上排列即可．

【解析】(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60(种).

(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(种).

(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种).

(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90(种).

【变式探究】

将本例中这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少一本，则结果如何？

【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少一本，则有(3，1，1，1)和(2，2，1，1)两种．

当为(3，1，1，1)时，有C种分组方法，所以有CA＝480种分组方法；当为(2，2，1，1)时，有种分法，所以有A＝1 080种分法．

综上，共有480＋1 080＝1 560种方法．

　角度2　相同元素分配问题　

【典例】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．

(1)每盒至多一球，有多少种放法？

(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？

(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？

【思路导引】(1)全排列问题，用排列数公式计数；

(2)先确定哪个球的编号与盒子编号相同，再放其他球，分步计数；

(3)先确定哪三个盒子放球，再确定哪个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，分步计数；

(4)转化为在14个球中间的13个空中放入三块隔板的放法问题．

【解析】(1)这是全排列问题，共有A＝24种放法．

(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C·2＝8种放法．

(3)先从四个盒子中选出三个盒子放球，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．

(4)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，

即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1，2，3，4的盒子分别放入2，6，5，7个球．

1．分组、分配问题的求解策略

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

(2)分配问题属于“排列”问题．

分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

2．相同元素分配问题的建模思想

(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．

(2)将n个相同的元素分给m个不同的元素(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．

1．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(　　)

A．60种    B．20种    C．10种    D．8种

【解析】选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.

2．(2020·全国高考Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有：C＝6.现在可看成是3组同学分配到3个小区，

分法有：A＝6.根据分步乘法原理，

可得不同的安排方法有6×6＝36种．

答案：36

【加练·固】

把5名专家分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为(　　)

A.116　　B．100　　C．124　　D．90

【解析】选B.根据题意，分2步进行分析：

①将5名医学专家分为3组，

若分为2，2，1的三组，有＝15种分组方法，若分为3，1，1的三组，有C＝10种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法；

②将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去A医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，则3个组的分派方法有2×2＝4种情况，则有25×4＝100种分配方法．

　　　　　　　　　　　　课堂检测·素养达标

1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有(　　)

A．27种     B．24种     C．21种     D．18种

【解析】选C.分两类：

一类是2个白球有C＝15种取法，

另一类是2个黑球有C＝6种取法，

所以取法共有15＋6＝21(种).

2．从4艘驱逐舰和5艘护卫舰中任意选出3艘参加索马里护航任务，其中至少要有驱逐舰和护卫舰各1艘的选法种数是(　　)

A.140     B．84     C．70     D．35

【解析】选C.包括两种可能：

2艘驱逐舰和1艘护卫舰，有CC种取法；

1艘驱逐舰和2艘护卫舰，有CC种取法．

所以一共有CC＋CC＝70种．

3．(教材练习改编)甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)

A.36种    B．48种    C．96种    D．192种

【解析】选C.甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．

4．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有(　　)

A．60种    B．34种    C．31种    D．30种

【解析】选D.根据题意，

要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况讨论：选出的3人为2男1女，

有CC＝18种安排方法，选出的3人为1男2女，

有CC＝12种安排方法，则有18＋12＝30种选法．

5．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：

佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．则佳佳可定制的混合花束一共有________种．

【解析】若选粉色系列有C·C·C种选法，若选黄色系列有C·C·C种选法，佳佳可定制的混合花束一共有C·C·C＋C·C·C＝54＋54＝108种．

答案：108

关闭Word文档返回原板块