重庆市南开中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份重庆市南开中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
1. 若为锐角，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知α是第二象限角，则点P(sinα，tanα)在( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 函数的图像大致是( )
A B.
C. D.
6. 设，，，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
8. 2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm(头顶距眼睛的距离为10cm)，为使观赏视角最大，小南离墙距离应为( )
A. B. 76cmC. 94cmD.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
9. 下列各式中值为1的是( )
A. B.
C. D.
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
12. 已知函数，其中，，，是常数，若对任意恒有，则下列判断一定成立有( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
13. 设集合，，则______.
14. 若圆心角为2rad的扇形的周长为6cm，则该扇形的面积为______.
15. 若，且，，则______.
16. 对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”.已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
17. 在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
18. 已知函数(且)图像与函数的图像关于直线对称.
(1)若在区间上的值域为，求的值；
(2)在(1)的条件下，解关于的不等式.
19. 已知函数.
(1)将函数化为形式，其中，，，并求的值域；
(2)若，，求的值.
20. 已知函数(其中，为常数且，)过点、.
(1)求，的值；
(2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
21. 已知定义在上的函数满足：①；②，，均有.
(1)求函数的解析式；
(2)记.若，，且关于的方程在内有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
22. 已知函数，其中.
(1)当时，若，求的值；
(2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.
重庆南开中学高2025级高一(上)期末考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
1. 若锐角，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倍角公式即可求解.
【详解】，
为锐角，所以为锐角，
所以原式化简为.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C
3. 已知α是第二象限角，则点P(sinα，tanα)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由α是第二象限角，可得sinα＞0，tanα＜0，从而可得答案
【详解】解：∵α是第二象限角，
∴sinα＞0，csα＜0，
∴tanα＜0．
∴点P(sinα，tanα)在第四象限．
故选：D．
4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
当时，，得，不合题意，
当时，则，解得，
综上实数的取值范围为，
故选：C
5. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.
【详解】当时，，
当，，
所以函数的图像大致是选项D，
故选：D
6. 设，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数单调性得到，，对利用换底公式变形后作差，结合基本不等式，得到，从而得到答案.
【详解】因为单调递减，所以，
又与均单调递增，故，，
其中，，
，其中，故，
其中，
故，
所以，即，
故
故选：D
7. 已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得的图像关于对称，，然后可选出答案.
【详解】因为函数为偶函数，所以的图像关于对称，
因为函数的定义域为，函数为奇函数，
所以函数的图像关于点对称，且，
所以，
故选：B
8. 2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm(头顶距眼睛的距离为10cm)，为使观赏视角最大，小南离墙距离应为( )
A. B. 76cmC. 94cmD.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意只需最大，设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得(cm)，(cm)，，
设，则，且，
，
故
，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小南离墙距离应为cm.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
9. 下列各式中值为1的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式即特殊角的三角函数计算可得.
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，注意的范围，利用函数单调性的性质及不等式的性质，结合特殊值法即可求解.
【详解】令，则
由一次函数知，在上单调递增，
由对数函数知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，故A正确；
由A知，，又，，，所以，
因为在上单调递减，
所以，故B正确，
由B知，，令，，，此时，故C错误；
由B知，，令，，，此时，故D错误；
故选：AB.
11. 若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】画出函数图像，方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解.
【详解】有四个零点，
所以有四个根，
所以和函数图像有四个交点，且交点横坐标为，
所以
因为为正数，
而，所以选项A错误；
根据题意可得，，
，
根据对称性有
所以，
故选项B正确；，
，
故选项C正确；
，当且仅当时成立，所以等号取不到，故选项D错误，
故选：BC.
12. 已知函数，其中，，，是常数，若对任意恒有，则下列判断一定成立的有( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】取特殊值判断A，B，D，结合数量积的性质证明，判断C.
【详解】因为，且对任意恒有，
所以，A正确；
当时，对任意恒有，但，，B错误，D错误；
令，
则，
，
，
所以，
所以，所以，故，C正确；
故选：AC.
【点睛】对于不等式恒成立问题，常利用一般与特殊的关系，通过取特殊值解决问题.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
13. 设集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】解不等式求出集合,根据定义域的定义求出集合，即可求交集.
【详解】由得解得，
所以，
由得，所以，
所以，
故答案为: .
14. 若圆心角为2rad的扇形的周长为6cm，则该扇形的面积为______.
【答案】##2.25
【解析】
【分析】利用扇形的面积和弧长公式求解即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
由题意及弧长公式可得解得，
所以该扇形面积，
故答案为：
15. 若，且，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因为，，则，
，，所以
所以
，
所以.
故答案为：.
16. 对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“增函数”.已知函数，若函数是上的“3增函数”，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围.
【详解】设，则定义域为R，
且，故为偶函数，
定义域为R，且，
故为奇函数，
所以为偶函数，
且在上单调递增，
故在R上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以有，满足3增函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，
故满足，故满足3增函数，
若时，画出的图象如下：
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在，使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
17. 在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由A在单位圆上，可求得，后可求得；
(2)，后由可得答案.
【小问1详解】
由A在单位圆上，则，又，
则，则，，则；
【小问2详解】
，又，
则.
18. 已知函数(且)的图像与函数的图像关于直线对称.
(1)若在区间上的值域为，求的值；
(2)在(1)的条件下，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据反函数关系先得出表达式，进而得出表达式，利用的单调性，分类讨论得出结果；
(2)由(1)的单调性，结合定义域的范围，解不等式组即可.
【小问1详解】
由题知，是的反函数，，故.
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知：
【小问2详解】
由(1)知，，为定义在的增函数，
根据，定义域满足：，解得.
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
19. 已知函数.
(1)将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得，根据三角函数的值域可得答案；
(2)由求出，由的范围求出，由展开代入可得答案.
【小问1详解】
，
∵，∴；
【小问2详解】
由，可知，
∵，∴，∴，
∴.
20. 已知函数(其中，为常数且，)过点、.
(1)求，的值；
(2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据待定系数法即可求解；(2)根据分离参数和均值不等式即可求解.
【小问1详解】
由条件知：，解得：.
【小问2详解】
，
令，
则，
即：对都成立
所以对成立，
对成立，
所以，.
又，
当且仅当时取等，
∴.
21. 已知定义在上的函数满足：①；②，，均有.
(1)求函数的解析式；
(2)记.若，，且关于的方程在内有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)

(2)
【解析】
【分析】(1)根据所给表达式，利用赋值法进行求解；
(2)由(1)求出，然后根据的定义结合图像求出的解析式，令，将方程转化为有三个不同的实数解，结合给定条件分析即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，，且，
令可知：，
令可知：，
所以函数，
【小问2详解】
由(1)，
所以，
而，
由时，如图所示：

由图可知，如图所示：
由图可知在上单调递减，上单调递增，
，当时，，当时，.
令，
则，
令，
要使原方程上有3个实数解，
则，即，，，
①当，时，，
②当，时，，，此时不符合题意，舍去，
综上：，即.
22. 已知函数，其中.
(1)当时，若，求的值；
(2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】(1)令，可得，即可得答案；
(2)分、、、四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即可得答案.
【小问1详解】
令，则，，
∴，
当时，，
∴，
∴.
小问2详解】
，
①当，即时，在上单调递增，
∴.
②当，即时，
1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
记，
在上单调递增，，∴，
∴.
2°.时，.
3°.时，，
而，
∴.
综上，对，，
∴，当时取得最小值.