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    重庆市南开中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)
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    重庆市南开中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析)

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    这是一份重庆市南开中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(学生版+解析),共25页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    1. 若为锐角,则( )
    A. B. C. D.
    2. 命题“,”的否定是( )
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    3. 已知α是第二象限角,则点P(sinα,tanα)在( )
    A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    4. 若函数的定义域为,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    5. 函数的图像大致是( )
    A B.
    C. D.
    6. 设,,,则( )
    A. B.
    C. D.
    7. 已知函数的定义域为,且函数为偶函数,函数为奇函数,则( )
    A. B.
    C. D.
    8. 2023年是农历癸卯兔年,在中国传统文化中,兔被视为一种祥瑞之物,是活力和幸福的象征,寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》,该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm(头顶距眼睛的距离为10cm),为使观赏视角最大,小南离墙距离应为( )
    A. B. 76cmC. 94cmD.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    9. 下列各式中值为1的是( )
    A. B.
    C. D.
    10. 若,,且,则下列不等式中正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    11. 若存在实数使得函数有四个零点,且,则下列说法正确的是( )
    A. B.
    C. D. 的最小值为
    12. 已知函数,其中,,,是常数,若对任意恒有,则下列判断一定成立有( )
    A. B.
    C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题共90分)
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
    13. 设集合,,则______.
    14. 若圆心角为2rad的扇形的周长为6cm,则该扇形的面积为______.
    15. 若,且,,则______.
    16. 对于给定的区间,如果存在一个正的常数,使得都有,且对恒成立,那么称函数为上的“增函数”.已知函数,若函数是上的“3增函数”,则实数的取值范围是______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    17. 在单位圆中,角的终边与单位圆的交点为,其中.
    (1)求的值;
    (2)求的值.
    18. 已知函数(且)图像与函数的图像关于直线对称.
    (1)若在区间上的值域为,求的值;
    (2)在(1)的条件下,解关于的不等式.
    19. 已知函数.
    (1)将函数化为形式,其中,,,并求的值域;
    (2)若,,求的值.
    20. 已知函数(其中,为常数且,)过点、.
    (1)求,的值;
    (2)若关于的不等式对恒成立,求实数的取值范围.
    21. 已知定义在上的函数满足:①;②,,均有.
    (1)求函数的解析式;
    (2)记.若,,且关于的方程在内有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
    22. 已知函数,其中.
    (1)当时,若,求的值;
    (2)记的最大值为,求的表达式并求出的最小值.
    重庆南开中学高2025级高一(上)期末考试
    数学试题
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    1. 若锐角,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据倍角公式即可求解.
    【详解】,
    为锐角,所以为锐角,
    所以原式化简为.
    故选:B.
    2. 命题“,”的否定是( )
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    【答案】C
    【解析】
    【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题,把任意改为存在,把结论否定.
    【详解】“,”的否定是“,”.
    故选:C
    3. 已知α是第二象限角,则点P(sinα,tanα)在( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由α是第二象限角,可得sinα>0,tanα<0,从而可得答案
    【详解】解:∵α是第二象限角,
    ∴sinα>0,csα<0,
    ∴tanα<0.
    ∴点P(sinα,tanα)在第四象限.
    故选:D.
    4. 若函数的定义域为,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由题意可知在上恒成立,然后分和两种情况讨论求解即可.
    【详解】因为函数的定义域为,
    所以在上恒成立,
    当时,,得,不合题意,
    当时,则,解得,
    综上实数的取值范围为,
    故选:C
    5. 函数的图像大致是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简,然后可得答案.
    【详解】当时,,
    当,,
    所以函数的图像大致是选项D,
    故选:D
    6. 设,,,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先根据函数单调性得到,,对利用换底公式变形后作差,结合基本不等式,得到,从而得到答案.
    【详解】因为单调递减,所以,
    又与均单调递增,故,,
    其中,,
    ,其中,故,
    其中,
    故,
    所以,即,

    故选:D
    7. 已知函数的定义域为,且函数为偶函数,函数为奇函数,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由条件可得的图像关于对称,,然后可选出答案.
    【详解】因为函数为偶函数,所以的图像关于对称,
    因为函数的定义域为,函数为奇函数,
    所以函数的图像关于点对称,且,
    所以,
    故选:B
    8. 2023年是农历癸卯兔年,在中国传统文化中,兔被视为一种祥瑞之物,是活力和幸福的象征,寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》,该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm(头顶距眼睛的距离为10cm),为使观赏视角最大,小南离墙距离应为( )
    A. B. 76cmC. 94cmD.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题意只需最大,设小南眼睛所在的位置点为点,过点做直线的垂线,垂足为,求出,,设,则,求出,,代入,利用基本不等式求解即可.
    【详解】由题意可得为锐角,故要使最大,只需最大,
    设小南眼睛所在的位置点为点,过点做直线的垂线,垂足为,如图,
    则依题意可得(cm),(cm),,
    设,则,且,


    ,当且仅当即时等号成立,
    故使观赏视角最大,小南离墙距离应为cm.
    故选:D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    9. 下列各式中值为1的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式即特殊角的三角函数计算可得.
    【详解】解:对于A:,故A正确;
    对于B:
    ,故B正确;
    对于C:,故C正确;
    对于D:,故D错误;
    故选:ABC
    10. 若,,且,则下列不等式中正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】根据已知条件构造函数,注意的范围,利用函数单调性的性质及不等式的性质,结合特殊值法即可求解.
    【详解】令,则
    由一次函数知,在上单调递增,
    由对数函数知,在上单调递增,
    所以在上单调递增,
    由,得,即,
    所以,故A正确;
    由A知,,又,,,所以,
    因为在上单调递减,
    所以,故B正确,
    由B知,,令,,,此时,故C错误;
    由B知,,令,,,此时,故D错误;
    故选:AB.
    11. 若存在实数使得函数有四个零点,且,则下列说法正确的是( )
    A. B.
    C. D. 的最小值为
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】画出函数图像,方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解.
    【详解】有四个零点,
    所以有四个根,
    所以和函数图像有四个交点,且交点横坐标为,
    所以
    因为为正数,
    而,所以选项A错误;
    根据题意可得,,

    根据对称性有
    所以,
    故选项B正确;,

    故选项C正确;
    ,当且仅当时成立,所以等号取不到,故选项D错误,
    故选:BC.
    12. 已知函数,其中,,,是常数,若对任意恒有,则下列判断一定成立的有( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】取特殊值判断A,B,D,结合数量积的性质证明,判断C.
    【详解】因为,且对任意恒有,
    所以,A正确;
    当时,对任意恒有,但,,B错误,D错误;
    令,
    则,


    所以,
    所以,所以,故,C正确;
    故选:AC.
    【点睛】对于不等式恒成立问题,常利用一般与特殊的关系,通过取特殊值解决问题.
    第Ⅱ卷(非选择题共90分)
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
    13. 设集合,,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】解不等式求出集合,根据定义域的定义求出集合,即可求交集.
    【详解】由得解得,
    所以,
    由得,所以,
    所以,
    故答案为: .
    14. 若圆心角为2rad的扇形的周长为6cm,则该扇形的面积为______.
    【答案】##2.25
    【解析】
    【分析】利用扇形的面积和弧长公式求解即可.
    【详解】设扇形的半径为,弧长为,
    由题意及弧长公式可得解得,
    所以该扇形面积,
    故答案为:
    15. 若,且,,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题意求出的范围,,的值,而,由两角差的余弦公式代入即可得出答案.
    【详解】因为,所以,
    ,所以,所以,
    所以,,
    所以,
    因为,,则,
    ,,所以
    所以

    所以.
    故答案为:.
    16. 对于给定的区间,如果存在一个正的常数,使得都有,且对恒成立,那么称函数为上的“增函数”.已知函数,若函数是上的“3增函数”,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先分析出为偶函数,为奇函数,所以为偶函数,且在R上单调递增,分,与三种情况,结合函数的单调性和对称性,得到实数的取值范围.
    【详解】设,则定义域为R,
    且,故为偶函数,
    定义域为R,且,
    故为奇函数,
    所以为偶函数,
    且在上单调递增,
    故在R上单调递增,
    若,则画出的图象如下:
    即在上单调递减,在上单调递增,
    由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在单调递减,在上单调递增,
    因为为偶函数,所以有,满足3增函数,
    若,画出的图象如下:
    则在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
    由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
    因为为偶函数,
    所以只需任取,使得,
    由对称性可知,存在,使得,且,
    故满足,故满足3增函数,
    若时,画出的图象如下:
    则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
    由复合函数单调性满足“同增异减”,可知:在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
    因为为偶函数,
    故只需满足任取,使得,
    由对称性可知:存在,使得,
    所以要满足,结合,解得:,
    综上:实数的取值范围是.
    故答案为:.
    【点睛】复合函数的单调性,先考虑函数的定义域,再拆分为内层函数和外层函数,利用同增异减来判断复合函数的单调性;
    复合函数的奇偶性,先考虑函数定义域是否关于原点对称,再拆分为内层函数和外层函数,利用“内偶则偶,内奇同外”进行判断,即若内层函数为偶函数,则复合函数为偶函数,若内层函数为奇函数,则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性,若外层函数为奇函数,则复合函数为奇函数,若外层函数为偶函数,则复合函数为偶函数.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
    17. 在单位圆中,角的终边与单位圆的交点为,其中.
    (1)求的值;
    (2)求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由A在单位圆上,可求得,后可求得;
    (2),后由可得答案.
    【小问1详解】
    由A在单位圆上,则,又,
    则,则,,则;
    【小问2详解】
    ,又,
    则.
    18. 已知函数(且)的图像与函数的图像关于直线对称.
    (1)若在区间上的值域为,求的值;
    (2)在(1)的条件下,解关于的不等式.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据反函数关系先得出表达式,进而得出表达式,利用的单调性,分类讨论得出结果;
    (2)由(1)的单调性,结合定义域的范围,解不等式组即可.
    【小问1详解】
    由题知,是的反函数,,故.
    当时,根据指数函数,对数函数的单调性,均在单调递减,于是在上单调递减,故,此时不成立;
    当时,根据指数函数,对数函数的单调性,均在单调递增,在上单调递增,故,此时成立. 综上可知:
    【小问2详解】
    由(1)知,,为定义在的增函数,
    根据,定义域满足:,解得.
    由单调性和可得,,整理得,结合可知,
    19. 已知函数.
    (1)将函数化为的形式,其中,,,并求的值域;
    (2)若,,求的值.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得,根据三角函数的值域可得答案;
    (2)由求出,由的范围求出,由展开代入可得答案.
    【小问1详解】

    ∵,∴;
    【小问2详解】
    由,可知,
    ∵,∴,∴,
    ∴.
    20. 已知函数(其中,为常数且,)过点、.
    (1)求,的值;
    (2)若关于的不等式对恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据待定系数法即可求解;(2)根据分离参数和均值不等式即可求解.
    【小问1详解】
    由条件知:,解得:.
    【小问2详解】

    令,
    则,
    即:对都成立
    所以对成立,
    对成立,
    所以,.
    又,
    当且仅当时取等,
    ∴.
    21. 已知定义在上的函数满足:①;②,,均有.
    (1)求函数的解析式;
    (2)记.若,,且关于的方程在内有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
    【答案】(1)

    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据所给表达式,利用赋值法进行求解;
    (2)由(1)求出,然后根据的定义结合图像求出的解析式,令,将方程转化为有三个不同的实数解,结合给定条件分析即可求出实数的取值范围.
    【小问1详解】
    因为,,且,
    令可知:,
    令可知:,
    所以函数,
    【小问2详解】
    由(1),
    所以,
    而,
    由时,如图所示:

    由图可知,如图所示:
    由图可知在上单调递减,上单调递增,
    ,当时,,当时,.
    令,
    则,
    令,
    要使原方程上有3个实数解,
    则,即,,,
    ①当,时,,
    ②当,时,,,此时不符合题意,舍去,
    综上:,即.
    22. 已知函数,其中.
    (1)当时,若,求的值;
    (2)记的最大值为,求的表达式并求出的最小值.
    【答案】(1)
    (2),
    【解析】
    【分析】(1)令,可得,即可得答案;
    (2)分、、、四种情况讨论,每种情况下得到函数的单调性,即可得答案.
    【小问1详解】
    令,则,,
    ∴,
    当时,,
    ∴,
    ∴.
    小问2详解】

    ①当,即时,在上单调递增,
    ∴.
    ②当,即时,
    1°.时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
    ∴,
    记,
    在上单调递增,,∴,
    ∴.
    2°.时,.
    3°.时,,
    而,
    ∴.
    综上,对,,
    ∴,当时取得最小值.
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