2022-2023学年河南师大附中、新乡学院附中联考九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南师大附中、新乡学院附中联考九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南师大附中、新乡学院附中联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．60° C．70° D．75°
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC长为（　　）

A． B． C． D．6
4．（3分）下列语句中不正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（3分）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（　　）
A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68
C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.68
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天我市会下雨”是随机事件
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
7．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（　　）

A．90° B．120° C．135° D．150°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，已知点A、B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点P沿C→A→B→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 　 　cm2．
12．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为 　 　．

14．（3分）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为 　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝3x+3．
17．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为　 　．

18．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．
19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OE，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）填空：
①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为　 　；
②当∠CDF＝　 　时，OE∥BC，此时四边形ODCE是　 　形．

20．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为10元/本，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：本）与线下售价x（单位：元/本，12≤x≤16，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/本）
12
13
14
15
16
y（本）
120
110
100
90
80
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每本便宜1元，且线上的月销量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
21．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线y（k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．


2022-2023学年河南师大附中、新乡学院附中联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．60° C．70° D．75°
【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，∠AOC＝30°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，
∴AO＝CO，∠AOC＝30°，
∴∠A＝∠ACO75°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC长为（　　）

A． B． C． D．6
【分析】由∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出，代入AB＝AD+BD＝5，AD＝2即可求出AC的长，此题得解．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，即，
∴AC或AC（舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
4．（3分）下列语句中不正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理判断即可．
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
5．（3分）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（　　）
A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68
C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.68
【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据2018年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：0.63（1+x）2＝0.68．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天我市会下雨”是随机事件
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据概率的定义进行判断．
【解答】解：A、若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B、某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C、明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；
D、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误；
故选：C．
【点评】考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（　　）

A．90° B．120° C．135° D．150°
【分析】连接AC．证明△ABC，△ACD都是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∵优弧BD＝优弧BD，
∴∠BED＝∠BCD＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，
由已知，BC＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝5，
∵BE＝2DE，
∴设DE＝x，则BE＝2x，
∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2，
∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，
则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴k＝2×（a+4）＝5a，
∴a，
∴k＝5，
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
9．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10．（3分）如图，已知点A、B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点P沿C→A→B→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分点P在CA，A到B，BO三段上的三种情况讨论，分别判断出函数类型即可得出答案．
【解答】解：当P在CA上时，
∵三角形OMP的底OM不变，只有高PM再变化，
∴该部分对应的函数图象的类型为一次函数，
当P在A到B之间时，
∵OM•PM＝k为定值，
∴三角形OMP的面积不变，
∴该部分对应的函数图象为平行于x轴的线段，
当P在OB上时，
∵OM和PM同时发生变化，
∴该部分对应的函数图象为二次函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据点P的位置得出对应的函数类型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 　240π　cm2．
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
则由弧长公式得：20π，
解得：R＝24，
即扇形的面积是20π×24＝240π（cm2）．
故答案为：240π．
【点评】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积弧长×半径．
12．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k＞0且k≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1）•k＞0，然后解不等式得到它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1）•k＞0，
解得k＞0且k≠1．
故答案为：k＞0且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．（3分）如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为 　﹣4　．

【分析】过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，得到△BCE∽△B′CF，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A'B'C的相似比，进而求出EC，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，
则BE∥B′F，
∴△BCE∽△B′CF，
∴，
∵点C的坐标为（﹣1，0），点B'的横坐标为5，
∴CF＝6，
∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，
∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，即，
∴，
解得：EC＝3，
∴点B的横坐标为﹣4，
故答案为：﹣4．

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为 　（3，﹣2）　．

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意C（2，3），
第一次旋转得到的坐标为（3，﹣2），
第二次旋转得到的坐标为（﹣2，﹣3），
第三次旋转得到的坐标为（﹣3，2），
第四次旋转得到的坐标为（2，3），
•••
四次一个循环，
∵2021÷4＝505•••1，
∴则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2021次旋转后矩形的位置是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 　　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知AM＝OM，则点M在线段AO的垂直平分线上，作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，连接AD，则AD＝OD，设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，利用勾股定理得OD，再利用△PME∽△AFO，可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，
∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，
∴AM＝OM，
∴点M在线段AO的垂直平分线上，
作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，
连接AD，则AD＝OD，

∵A（2，4），
∴AF＝2，OF＝4，
设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，
∵FD2+AF2＝AD2，
∴（4﹣t）2+22＝t2，
∴t，
∴OD，
∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，
∴∠FOA＝∠OED，
∵∠AFO＝∠DOE＝90°，
∴△FAO∽△ODE，
∴，
即AF•OE＝OD•OF，
∴OE＝5，
∵P（1，0），
∴PE＝4，
在Rt△AFO中，
OA2，
当PM⊥DE时，PM最小，
∴∠PME＝∠AFO＝90°，
∴△PME∽△AFO，
∴，
∴，
∴PM，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，确定点M的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x+1）＝3x+3．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
则x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
则x﹣3＝±，
∴x1＝3，x2＝3；
（2）3x（x+1）＝3x+3，
3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣3）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为　　．

【分析】（1）将A、B、C分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，顺次连接即可得出△A1B1C1，即可得出写出C1点的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A2B2C2，即可写出C2点的坐标；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，C1（1，﹣2）；

（2）如图2，C2（﹣1，1）；

（3）∵AB，AC，BC，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴S△ABC，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积S△ABC．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转作图及平移作图的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、平移的特点．
18．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图：
；

（2）共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OE，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）填空：
①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为　6　；
②当∠CDF＝　30°　时，OE∥BC，此时四边形ODCE是　菱　形．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，由OB＝OD，得∠ABC＝∠ODB，则∠ODB＝∠C，得出OD∥AC，再由DF⊥AC，得出OD⊥DF，即可得出结论；
（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC+∠AED＝180°，∠DEC+∠AED＝180°，推出∠ABC＝∠DEC，∠C＝∠DEC，得出DE＝DC，由等腰三角形的性质得CE＝2CF，则S△CDE＝2S△CDF，即可得出结果；
②易证OE是△ABC的中位线，得出BC＝2OE＝AB＝AC，则△ABC为等边三角形，得∠C＝60°，证明△CDE为等边三角形，得出∠CDE＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF∠CDE＝30°，由OE∥CD，OD∥CE，得四边形ODCE为平行四边形，再由OD＝OE，得出▱ODCE为菱形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）解：①∵∠ABC+∠AED＝180°，∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∵DF⊥AC，
∴CE＝2CF，
∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，
故答案为：6；
②∵OE＝OA＝OB，
∴AB＝2OE，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE＝DC，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴∠CDF∠CDE60°＝30°，
∵OE∥CD，OD∥CE，
∴四边形ODCE为平行四边形，
∵OD＝OE，
∴▱ODCE为菱形，
故答案为：30°，菱．
【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为10元/本，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：本）与线下售价x（单位：元/本，12≤x≤16，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/本）
12
13
14
15
16
y（本）
120
110
100
90
80
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每本便宜1元，且线上的月销量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，根据题意得到二次函数解析式，由二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝120；x＝13，y＝110代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+240（12≤x≤16）；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝40（x﹣1﹣10）+y（x﹣10）＝40x﹣440+（﹣10x+240）（x﹣10）＝﹣10（x﹣19）2+770，
∵12≤x≤16，
∴当x为16元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为680元．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线y（k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．

【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，即，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y得k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y；

（2）S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD
（2+5）×6|8|5×2
＝12．

【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．
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