2022-2023学年河南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.关于二次函数y=2(x−3)2+1，下列说法正确的是( )
A. 图象的开口向下B. 图象的对称轴为直线x=−3
C. 图象顶点坐标为(3,−1)D. 当x1且a≠0B. a>−1且a≠0C. a>−2且a≠0D. a>1
4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上.若∠BAC=30°.则∠ADC的大小是( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
5.已知点A(1,y1)、B(2,y2)、C(−3,y3)都在反比例函数y=12x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y30．
4.【答案】B
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠ADC=180°−60°=120°，
故选：B．
连接BC，利用AB是直径得出∠ACB=90°，进而利用圆内解四边形的性质解答即可．
此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是利用AB是直径得出∠ACB=90°．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得1⋅y1=12，2⋅y2=12，−3⋅y3=12，
解得y1=12，y2=6，y3=−4，
所以y30，
∴k=5，
故选：D．
根据反比例函数系数k的几何意义，以及平行线的性质进行计算即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc0，
∴x=2时，y=4a+2b+c>0，③正确．
∵b=−2a，
∴a−b+c=3a+c=0，
∴c=−3a，
∵2c−3b=−6a+6a=0，
∴2c=3b，
∴2c>b④正确．
∵x=1时y取最大值，
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，即a+b>m(am+b)(m≠1)，⑤正确．
故选：B．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①，由x=−1时y=0可判断②，由抛物线对称性及x=0时y>0可判断③，由a与b的数量关系及a−b+c=0可得a与c的数量关系，从而判断④，由x=1时y取最大值可判断⑤．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】23
【解析】解：列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，
则P数字之积为负数=812=23．
故答案为：23．
列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】4
【解析】解：∵cs∠BDC=DCBD=35，
∴设DC=3x cm，则BD=5x cm，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x cm，
又∵AC=DC+AD=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
∴DC=3cm，BD=5cm，
在Rt△BDC中，BC= 52−32=4(cm)．
故答案为：4．
由于cs∠BDC=DCBD=35，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答．
本题考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质、勾股定理的相关知识，综合性较强，计算要仔细．
13.【答案】 55
【解析】解：
连接CE，
∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC= 32+12= 10，
BE=CE= 12+12= 2，∠EBC=∠ECB=45°，
∴CE⊥AB，
∴sinA=CEAC= 2 10= 55，
故答案为： 55．
连接CE，求出CE⊥AB，根据勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根据锐角三角函数定义求出即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形．
14.【答案】2≤m≤8
【解析】解：设平移后的解析式为y=(x+1)2−m，
将B点坐标代入，得
4−m=2，解得m=2，
将D点坐标代入，得
9−m=1，解得m=8，
y=(x+1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，
故答案为：2≤m≤8．
根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了矩形性质和二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，把B，D的坐标代入是解题关键．
15.【答案】14.5
【解析】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切点，
∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OA=5，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴DMCD=ADAC，
∵AD=8，CD=6，AC=10，
∴DM=245，
∴PM=PD+DM=1+245=295，
∴△AOP的最大面积=12OA⋅PM=12×5×295=292=14.5，
故答案为：14.5．
当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出PM垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定与性质，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键．
16.【答案】解：(1)(2x+3)2=(3x+2)2，
∴(2x+3)2−(3x+2)2=0，
∴[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)−(3x+2)]=0，
∴5(x+1)(1−x)=0，
∴x+1=0或1−x=0，
解得：x1=−1，x2=1；
(2)(13)−1+sin45°−(π+1)0+ 3tan60°
=3+ 22−1+ 3× 3
=3+ 22−1+3
=5+ 22．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)利用零指数幂，负指数幂和三角函数值化简，再合并．
本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，利用零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值是解题关键．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE=∠EBC=90°，
又∵EC⊥EF，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠BCE，
∴△AEF∽△BCE．
(2)解：连接AC，
由(1)得△AEF∽△BCE，
∴AF：BE=AE：BC，
∵E、F分别是AB、AD的中点，且AD=BC，
∴AF=12AD=12BC，AE=BE=12AB，
∴12BC12AB=12ABBC，
∴BC2=12AB2，
∵AB=2，
∴BC= 12×22= 2．
【解析】(1)由矩形的性质得∠FAE=∠EBC=90°，再根据∠CEF=90°及同角的余角相等证明∠AEF=∠BCE，即可证明△AEF∽△BCE；
(2)由△AEF∽△BCE得AF：BE=AE：BC，再由E，F分别是AB，AD的中点，得AF=12AD=12BC，AE=BE=12AB，可以得到答案．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
18.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠DAB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD/​/AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∵BC经过⊙O的半径OD的外端，且BC⊥OD，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解法一：连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠EAD=∠DAC，
∴△EAD∽△DAC，
∴AEAD=ADAC，
∵AC=4，AD=2 6，
∴AE=AD2AC=(2 6)24=6，
∴OA=OE=12AE=3，
∴⊙O的半径为3．
解法二：作OF⊥AC于点F，则∠OFA=90°，
∵∠OFC=∠C=∠ODC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵AC=4，AD=2 6，
∴OF=CD= AD2−AC2= (2 6)2−42=2 2，
设OD=OA=r，则CF=OD=r，
∵AF2+OF2=OA2，且AF=4−r，
∴(4−r)2+(2 2)2=r2，
解得r=3，
∴⊙O的半径为3．
【解析】(1)连接OD，可证明∠ODA=∠DAB=∠DAC，则OD/​/AC，所以∠ODB=∠C=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
(2)连接DE，证明△EAD∽△DAC，得AEAD=ADAC，可求得AE=6；也可以根据矩形的性质和勾股定理求解，作OF⊥AC于点F，设OD=OA=r，则CF=OD=r，可列方程(4−r)2+(2 2)2=r2，解方程求出r的值即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵直线y1=x+m经过点C(−1,2)，
∴2=−1+m，解得m=3，
∴直线AB为y1=x+3；
∵点C(−1,2)在反比例函数y2=kx(k≠0,x