2023-2024学年河南省新乡市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面是人教版九上教材的部分图片，不是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．2D．3
3．正十边形的中心角的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
4．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝46°（ ）
A．58°B．76°C．84°D．92°
5．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
6．将抛物线y＝﹣（x+1）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得新抛物线顶点为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，6）C．（0，2）D．（0，﹣6）
7．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为（ ）
A．﹣9B．C．D．9
8．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点CB．AC＝EC
C．∠BCA＝∠DCED．点D是AC中点
10．如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，AE⊥BE，则CE最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．“画饼充饥”是 事件．
12．方程x2＝x的解是 ．
13．把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
14．点P（2，﹣1）关于原点对称的点Q的坐标是（b﹣1，a+3），则a+b＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）2x（x﹣1）＝1；
（2）x2+8x+7＝0．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（4，1）、（6，3）．
（1）建立平面直角坐标系，并直接写出点A坐标；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，画出△ADE；
（3）求△ADE的面积．
18．河南樱桃，半壁江山在新安．新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”．村民组以原价30元/千克对外销售．为了减少库存，经过两次降价后，售价为每千克19.2元．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）因天气原因，现按照（1）的百分率进一步降价促销
19．如图所示某地铁站有三个闸口．
（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
（2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
20．材料：
切弦亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
证明：为了说明切弦性质的正确性，补充证明过程．
已知：如图，P是⊙O外一点， ，
求证： ．
证明：
21．一名运动员在10m高的跳台进行跳水，过程中离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m），图象是抛物线y＝a（x﹣1）2+11一部分．
（1）运动员腾空后的最高点距离水平面 m；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
22．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，交AC延长线于点E，连接DA．
（1）求证：∠F+2∠EAD＝90°；
（2）若，求BF的长．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求a和b；
（2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，求m．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内．
1．下面是人教版九上教材的部分图片，不是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
解：A．原图形是中心对称图形；
B．原图形是中心对称图形；
C．原图形是中心对称图形；
D．原图形不是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．2D．3
【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
解：一元二次方程2x2+2x﹣4＝0一次项系数是：5．
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．正十边形的中心角的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【分析】根据正多边形的中心角的定义解决问题即可．
解：正十边形中心角的度数＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝46°（ ）
A．58°B．76°C．84°D．92°
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答．
解：∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
【分析】利用频率估计概率求解即可．
解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.78，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
6．将抛物线y＝﹣（x+1）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得新抛物线顶点为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，6）C．（0，2）D．（0，﹣6）
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可．
解：将抛物线y＝﹣（x+1）2+6先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度的二次函数的解析式为：y＝﹣（x+6﹣1）2+6﹣2，即y＝﹣x2+4．
∴平移后的二次函数的顶点坐标为（0，2），
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为（ ）
A．﹣9B．C．D．9
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出9+4k＝0，解之即可得出实数k的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝3有两个相等的实数根，
∴Δ＝32﹣7×1×（﹣k）＝9+6k＝0，
解得：k＝﹣，
∴实数k的值为﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点CB．AC＝EC
C．∠BCA＝∠DCED．点D是AC中点
【分析】根据旋转的定义及性质即可求解．
解：∵△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，
∴旋转中心是点C，AC＝CE，点D不一定AC的中点，
∴A、B、C结论正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
10．如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，AE⊥BE，则CE最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．
解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OE′＝5，
∵BC＝12，
∴OC＝＝＝13．
∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣4＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．“画饼充饥”是 不可能 事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
解：“画饼充饥”是 不可能发生的事件，
因而是：不可能事件．
故答案为：不可能．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝6，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝6或x﹣1＝0，
解得：x4＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
13．把二次函数y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣1）2+2 ．
【分析】根据配方法的操作整理即可得解．
解：y＝x2﹣2x+3，
＝x2﹣2x+3+2，
＝（x﹣1）4+2，
所以，y＝（x﹣1）3+2．
故答案为：y＝（x﹣1）3+2．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．
14．点P（2，﹣1）关于原点对称的点Q的坐标是（b﹣1，a+3），则a+b＝ ﹣3 ．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
解：∵点P（2，﹣1）关于原点对称的点Q的坐标是（b﹣5，
∴b﹣1＝﹣2，a+6＝1，
∴b＝﹣1，a＝﹣2，
∴a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 π﹣ （结果保留π）．
【分析】连接CE，由扇形CBE面积减三角形CBE面积求解．
解：连接CE，
∵∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S扇形CBE＝＝π，
∵S△BCE＝BC2＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
故答案为：π﹣．
【点评】本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）2x（x﹣1）＝1；
（2）x2+8x+7＝0．
【分析】（1）先把方程化成一般形式，然后利用求根公式求解即可；
（2）利用十字相乘法把方程分解因式，二次方程化成一元一次方程，解方程即可．
解：（1）2x（x﹣1）＝6，
2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣2，
Δ＝b2﹣7ac
＝（﹣2）2﹣7×2×（﹣1）
＝4+8
＝12，
∴
，；
（2）x2+5x+7＝0，
（x+4）（x+1）＝0，
x+3＝0，x+1＝5，
x1＝﹣7，x3＝﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握常见的几种解一元二次方程的方法．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上（4，1）、（6，3）．
（1）建立平面直角坐标系，并直接写出点A坐标；
（2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，画出△ADE；
（3）求△ADE的面积．
【分析】（1）根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用三角形面积公式计算即可．
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
A（0，1）．
（2）如图，△ADE即为所求．
（3）△ADE的面积为＝4．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
18．河南樱桃，半壁江山在新安．新安因樱桃产量大、品质优、成熟早，被誉为“中国樱桃之乡”．村民组以原价30元/千克对外销售．为了减少库存，经过两次降价后，售价为每千克19.2元．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）因天气原因，现按照（1）的百分率进一步降价促销
【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用再次降价后的售价＝19.2×（1﹣平均每次降价的百分率），即可求出结论．
解：（1）设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：30（1﹣x）2＝19.8，
解得：x1＝0.7＝20%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为20%；
（2）根据题意得：19.2×（1﹣20%）＝15.36（元/千克）．
答：再次降价后的售价为15.36元/千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．如图所示某地铁站有三个闸口．
（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
（2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为7，
所以两名乘客选择不同闸口通过的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
20．材料：
切弦亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
证明：为了说明切弦性质的正确性，补充证明过程．
已知：如图，P是⊙O外一点， PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B ，
求证： OP垂直平分AB ．
证明：
【分析】根据题意，PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，求证OP垂直平分AB，证明的思路是：连接OA、OB，则OA＝OB，所以点O在AB的垂直平分线上，由切线长定理得PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB，于是得到问题的答案．
解：由题意可知，PA、点B，
证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AB．
故答案为：PA、PB分别与⊙O相切于点A，OP垂直平分AB．
【点评】此题重点考查切线长定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．一名运动员在10m高的跳台进行跳水，过程中离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m），图象是抛物线y＝a（x﹣1）2+11一部分．
（1）运动员腾空后的最高点距离水平面 11 m；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【分析】（1）根据最高点的纵坐标即可得到运动员腾空后的最高点与水平面的距离；
（2）将点A（0，10）代入解析式即可求出a的值，从而得到y关于x的函数解析式；
（3）令y＝0，解方程即可求出运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
解：（1）由抛物线y＝a（x﹣1）2+11知：抛物线的最高点的纵坐标为11，
∴运动员腾空后的最高点距离水平面11m，
故答案为：11；
（2）根据题意可得，抛物线y＝a（x﹣5）2+11过（0，10），
将A（4，10）代入得：a+11＝10，
解得a＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣（x﹣1）5+11；
（3）在y＝﹣（x﹣1）2+11中，令y＝8得﹣（x﹣1）2+11＝2，
解得x＝+1或x＝﹣，
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
22．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，交AC延长线于点E，连接DA．
（1）求证：∠F+2∠EAD＝90°；
（2）若，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，首先根据题意证明出OD∥AE，然后由切线的性质得到∠E＝∠ODF＝90°，进而求解即可；
（2）首先由DA＝DF得到∠F＝∠DAF，然后由∠F+2∠EAD＝90°，得到∠F＝∠DAF＝∠DAE＝30°，然后利用勾股定理得到OD＝6，OF＝12，进而求解即可．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵D为的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∵EF与⊙O相切于点D，
∴∠E＝∠ODF＝90°，
∴∠F+2∠EAD＝∠F+∠FAE＝90°；
（2）解：∵DA＝DF，
∴∠F＝∠DAF，
又由（1）知：∠F+2∠EAD＝90°，
∴∠F＝∠DAF＝∠DAE＝30°，
∴OF＝5OD，
∵，∠ODF＝90°，
∴OF2＝DF2+OD2，
∴OD＝3，OF＝12，
∴BF＝OF﹣OB＝6．
【点评】本题考查切线的性质，等弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求a和b；
（2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，求m．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用抛物线的解析式求得B点的坐标，即可利用待定系数法求得直线AB的解析式，进一步求得平移后的直线解析式，根据题意得到﹣x﹣4﹣m＝x2+x﹣4，即x2+2x+m＝0，则Δ＝0，即可得出22﹣4×＝0，解得m＝2．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣5，0），
∴，
解得a＝，b＝5；
（2）在y＝x7+x﹣4中，令x＝0得y＝﹣2，
∴B（0，﹣4），
由A（﹣2，0），﹣4）得直线AB解析式为y＝﹣x﹣7，
将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得到y＝﹣x﹣4﹣m，
∵直线恰与抛物线有一个交点时，
∴令﹣x﹣8﹣m＝x8+x﹣4，即x2+2x+m＝3，则Δ＝0，
∴23﹣4×＝0，
解得m＝2．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，解题的关键是明确题意得到关于m的方程．
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78