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2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷，共27页。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一一个正确，请在答题卷.上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，其中x的取值满足（ ）
A．x＞2 B．x≠﹣1 C．x≠2 D．x＜2
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）已知等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角是（ ）
A．50° B．80 C．65° D．130°
5．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF成立，则下列结论成立的是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DF C．∠B＝∠F D．AC∥DF
6．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b2＝3a•4ab2 B．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
C．am+an＝a（m+n） D．x﹣1＝x（1）
7．（3分）若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2 B．1
C． D．1
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10．（3分）设x，y是实数，定义“※”的一种运算如下：x※y＝（x﹣y）2，则下列结论：①若x※y＝0，则x＝0或y＝0；②x※y＝y※x；③（x﹣y）※（y﹣z）＝x※（﹣z）；④x※（y+z）＝x※y+y※z+x※（﹣z）；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 ．
12．（3分）计算：（﹣3）0＝ ．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为 ．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，D是BC边上一点，点A在线段CD的垂直平分线上，连接AD，若∠B＝50°，则∠BAD＝ 度．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）4y（﹣2xy2）；
（2）（x+3）（x﹣1）．
18．（10分）因式分解：
（1）3mx﹣6my；
（2）1﹣25x2．
19．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
20．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
21．（12分）如图，A（﹣4，3），B（4，3），C（1，﹣1）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中作△ABC的中线CE与BD，设CE与BD交于点F；
（2）在图2中，在y轴上找点Q，使得AQ+GQ最小；
（3）在图3中的AB上找一点M，使∠BCM＝∠GCM；
（4）在图3中作点N（2，3）关于CM的对称点Q．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请直接将答案填在答卷指定的位置。
22．（4分）关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a＝ ．
23．（4分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 ．
24．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角中最大内角为 ．
25．（4分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位量写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
27．（12分）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．
（1）如图1．连接BD，若∠BAD＝90°，求证：AD＝CD．
（2）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ＝AP+CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）点B（b，0）为x轴上两点，点C在Y轴的正半轴上，且a，b满足等式a2+2ab+b2＝0．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图2，M，N是OC上的点，且∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，延长BN交AC于P，连接PM，判断PM与AN的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AB于E，点G为线段DE上一点，且∠BGE＝∠ACB，F为AD的中点，连接CF，FG．求证：CF⊥FG．
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一一个正确，请在答题卷.上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）分式有意义，其中x的取值满足（ ）
A．x＞2 B．x≠﹣1 C．x≠2 D．x＜2
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（3分）已知等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角是（ ）
A．50° B．80 C．65° D．130°
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角，答案可得．
【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
5．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF成立，则下列结论成立的是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DF C．∠B＝∠F D．AC∥DF
【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质进行推理论证．
【解答】解：A、若△ABC≌△DEF，则AC＝DF，不符合题意；
B、若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，不符合题意；
C、若△ABC≌△DEF，则∠B＝∠E，不符合题意；
D、若△ABC≌△DEF，则∠ACB＝∠F，所以AC∥DF，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
6．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b2＝3a•4ab2 B．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
C．am+an＝a（m+n） D．x﹣1＝x（1）
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、am+an＝a（m+n）是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
7．（3分）若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．
【解答】解：（2x﹣m）（3x+5）
＝6x2﹣3mx+10x﹣5m
＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．
∵积的一次项系数为25，
∴10﹣3m＝25．
解得m＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2 B．1
C． D．1
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（）2，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
1，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据垂直平分线的性质得出DA＝DB＝12cm，根据等边对等角得出∠ADC＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm，
∴DA＝DB＝12cm，
∵∠B＝15°，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，
在△ACD中，∠C＝90°，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10．（3分）设x，y是实数，定义“※”的一种运算如下：x※y＝（x﹣y）2，则下列结论：①若x※y＝0，则x＝0或y＝0；②x※y＝y※x；③（x﹣y）※（y﹣z）＝x※（﹣z）；④x※（y+z）＝x※y+y※z+x※（﹣z）；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答．
【解答】解：①若x※y＝（x﹣y）2＝0，则x＝y，原来的说法错误；
②∵x※y＝（x﹣y）2，y※x＝（y﹣x）2＝（x﹣y）2，∴x※y＝y※x是正确的；
③（x﹣y）※（y﹣z）＝[（x﹣y）﹣（y﹣z）]2＝（x﹣2y+z）2，x※（﹣z）＝（x+z）2，则（x﹣y）※（y﹣z）≠x※（﹣z），原来的说法错误；
④∵x※（y+z）＝（x﹣y﹣z）2，x※y+y※z+x※（﹣z）＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x+z）2，则x※（y+z）≠x※y+y※z+x※（﹣z），原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算定律，才能正确解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 7×10﹣9 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故答案为：7×10﹣9
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）计算：（﹣3）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂公式可得：（﹣3）0＝1．
【解答】解：原式＝1；
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 SSS ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
故答案为：SSS．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，D是BC边上一点，点A在线段CD的垂直平分线上，连接AD，若∠B＝50°，则∠BAD＝ 15 度．
【分析】根据∠ADC＝∠B+∠BAD，只要求出∠ADC即可解决问题．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠BAC（180°﹣50°）＝65°，
∵点A在线段CD的垂直平分线上，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝65°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴65°＝50°+∠BAD，
∴∠BAD＝15°，
故答案为15．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 24° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根据翻折的性质求得∠ADE＝102°，进而求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝39°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，
将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝102°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．
故答案为：24°．
【点评】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）4y（﹣2xy2）；
（2）（x+3）（x﹣1）．
【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则进行求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．
【解答】解：（1）4y（﹣2xy2）
＝﹣2×4xy1+2
＝﹣8xy3；
（2）（x+3）（x﹣1）
＝x2﹣x+3x﹣3
＝x2+2x﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式，解答的是对相应的运算法则的掌握．
18．（10分）因式分解：
（1）3mx﹣6my；
（2）1﹣25x2．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）；
（2）1﹣25x2＝（1+5x）（1﹣5x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明S梯形ABCD＝2S△AED，可得结论．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵BD平分∠ADC，EF⊥DA，EC⊥DC，
∴∠EDF＝∠EDC，∠EFD＝∠C＝90°，
∵ED＝ED，
∴△EDF≌△EDC（AAS），
同法可证△EAB≌△EAF，
∴S梯形ABCD＝2S△AED＝23×4＝12．
【点评】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
20．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先方程两边同时乘以（x﹣2）得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式
，
当a＝2020时，原式；
（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
21．（12分）如图，A（﹣4，3），B（4，3），C（1，﹣1）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中作△ABC的中线CE与BD，设CE与BD交于点F；
（2）在图2中，在y轴上找点Q，使得AQ+GQ最小；
（3）在图3中的AB上找一点M，使∠BCM＝∠GCM；
（4）在图3中作点N（2，3）关于CM的对称点Q．
【分析】（1）找到AC中点D，AB的中点E，连接BD，CE交于F即可；
（2）B与A关于y轴对称，连接BG交y轴于G，则G即是满足条件的点；
（3）由BC＝5，在AB上取BM＝5即可；
（4）取格点K（﹣4，﹣1），连接MK，可知MK＝5＝CK，连接AG交MK于Q，由四边形AGCM是平行四边形知AG∥CM，有KG＝2＝KQ，可得MQ＝3＝MN，则Q即为所求．
【解答】解：（1）作格点T，S，连接ST交AC于D，连接BD，设AB交y轴于E，连接CE，BD交CE于F，如图：
线段BD，CE即为所求的△ABC的中线；
（2）连接BG交y轴于Q，如图：
Q即为所求；
（3）在AB上B左侧取格点M，使BM＝5，连接MC，如图：
点M即为所求；
（4）取格点K（﹣4，﹣1），连接KM，AG交于Q，如图：
点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称作图，解题的关键是掌握轴对称的性质．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请直接将答案填在答卷指定的位置。
22．（4分）关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a＝ 15 ．
【分析】由x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，可得a﹣25＝﹣10，求出a的值即可．
【解答】解：x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，
∵（x+5）2≥0，
∴x2+10x+a有最小值a﹣25，
∴a﹣25＝﹣10，
解得a＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，偶次方的性质是解题的关键．
23．（4分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 2或1 ．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x，
将x代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
24．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角中最大内角为 2：3：4 ．
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，得到△AP′P是等边三角形，再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠BPC：∠CPA＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝120°，∠CPA＝140°，这样可分别求出∠PP′C，∠P′PC，∠PCP′，即可得到答案．
【解答】解：将含有PA、PB边的三角形△BPA，以B为轴心，顺时针方向旋转60°，
则将△BPA移到△BDC，△BDC≌△BPA，BP＝BDDC＝PA，∠BDC＝100°，
因为旋转60°，所以△BDP为等边形，等边三角形，三边相等，三角相等都是60°，
给我们解题极大方便，因为PD＝PB，△PDC即由，
PA、PB、PC构成的三角形∠DPC＝120°﹣60°＝60°，
∠PDC＝100°﹣60°＝40°，
∠DCP＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
40：60：80＝2：3：4，
故答案为：2：3：4．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
25．（4分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 15° ．
【分析】以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（BP+AP）（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题．
【解答】解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，
∴PHBP，
∴BP+2AP＝2（BP+AP）（PH+AP），
∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，
过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，
∴∠BAG＝15°，
∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为AG的长是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位量写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
27．（12分）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．
（1）如图1．连接BD，若∠BAD＝90°，求证：AD＝CD．
（2）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ＝AP+CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【分析】（1）证明Rt△BAD≌Rt△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BCK、△PBQ≌△BKQ，根据全等三角形的性质证明；
（3）在CD延长线上找一点K，使得KC＝AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BCK、△PBQ≌△BKQ，根据全等三角形的性质、四边形内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）
∴AD＝DC；
（2）证明：延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCK＝180°，
∴∠BAD＝∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
，
∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∵PQ＝AP+CQ，QK＝CK+CQ，
∴PQ＝QK
在△PBQ和△BKQ中，
，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴∠PBQ＝∠KBQ＝∠CBK+∠CBQ＝∠ABP+∠CBQ；
（3）解：∠PBQ＝90°∠ADC，
理由如下：如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC＝AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠PAB＝180°，
∴∠PAB＝∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∴∠PBK＝∠ABC，
∵PQ＝AP+CQ，
∴PQ＝QK，
在△PBQ和△BKQ中，
，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴∠PBQ＝∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，
∴2∠PBQ+（1800﹣∠ADC）＝360°，
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）点B（b，0）为x轴上两点，点C在Y轴的正半轴上，且a，b满足等式a2+2ab+b2＝0．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图2，M，N是OC上的点，且∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，延长BN交AC于P，连接PM，判断PM与AN的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AB于E，点G为线段DE上一点，且∠BGE＝∠ACB，F为AD的中点，连接CF，FG．求证：CF⊥FG．
【分析】（1）由题意可得a＝﹣b，即OA＝OB，根据线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，根据等腰三角形的性质可得∠NAB＝∠NBA，∠ANO＝∠BNO，可得∠PNC＝∠CNE，根据角平分线的性质可得PM平分∠CPB，根据三角形的外角的性质可得∠CPM＝∠CAN＝2∠NAB，即可得PM∥AN；
（3）延长GF至点M，使FM＝FG，连接CG，CM，AM，由题意可证△AMF≌△DGF，可得AM＝DG，由角的数量关系可得∠BCO＝∠BDG＝∠DBG，即DG＝BG，根据“SAS”可证△AMC≌△BGC，可得CM＝CG，根据等腰三角形性质可得CF⊥FG．
【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，且AB⊥OC，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形
（2）PM∥AN，
理由如下：
如图，延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，
∵OC是AB的垂直平分线，
∴AN＝NB，CO⊥AB
∴∠NAB＝∠NBA，∠ANO＝∠BNO
∴∠PNC＝∠CNE，且MH⊥AE，MD⊥BP，
∴MD＝MH，
∵∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，
∴AM平分∠CAE，且MG⊥AC，MH⊥AE
∴MG＝MH
∴MG＝MD，且MG⊥AC，MD⊥BP，
∴PM平分∠BPC
∵∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，∠PNA＝∠NAB+∠NBA
∴∠CAN＝2∠NAB＝∠PNA，
∵∠CPB＝∠CAN+∠PNA
∴∠CPB＝4∠NAB
∵PM平分∠BAC
∴∠CPM＝2∠NAB
∴∠CPM＝∠CAN
∴PM∥AN
（3）如图，延长GF至点M，使FM＝FG，连接CG，CM，AM，
∵MF＝FG，∠AFM＝∠DFG，AF＝DF，
∴△AMF≌△DGF（SAS）
∴AM＝DG，∠MAD＝∠ADG，
∵DE⊥AB，CO⊥AB
∴DE∥CO
∴∠BCO＝∠BDE
∵∠ACB＝∠BGE，∠BGE＝∠BDE+∠DBG＝∠BCO+∠DBG，∠ACB＝2∠BCO，
∴∠BCO＝∠BDG＝∠DBG
∴DG＝BG，
∴AM＝BG
∵∠CAM＝∠MAD﹣∠CAD＝∠ADG﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠BDE﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠OCB﹣∠CAD＝∠OCB
∴∠CAM＝∠CBG，且AC＝BC，AM＝BG
∴△AMC≌△BGC（SAS）
∴CM＝CG，且MF＝FG
∴CF⊥FG
【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/23 16:53:48；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一一个正确，请在答题卷.上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，其中x的取值满足（ ）
A．x＞2 B．x≠﹣1 C．x≠2 D．x＜2
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）已知等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角是（ ）
A．50° B．80 C．65° D．130°
5．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF成立，则下列结论成立的是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DF C．∠B＝∠F D．AC∥DF
6．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b2＝3a•4ab2 B．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
C．am+an＝a（m+n） D．x﹣1＝x（1）
7．（3分）若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2 B．1
C． D．1
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10．（3分）设x，y是实数，定义“※”的一种运算如下：x※y＝（x﹣y）2，则下列结论：①若x※y＝0，则x＝0或y＝0；②x※y＝y※x；③（x﹣y）※（y﹣z）＝x※（﹣z）；④x※（y+z）＝x※y+y※z+x※（﹣z）；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 ．
12．（3分）计算：（﹣3）0＝ ．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为 ．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，D是BC边上一点，点A在线段CD的垂直平分线上，连接AD，若∠B＝50°，则∠BAD＝ 度．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）4y（﹣2xy2）；
（2）（x+3）（x﹣1）．
18．（10分）因式分解：
（1）3mx﹣6my；
（2）1﹣25x2．
19．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
20．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
21．（12分）如图，A（﹣4，3），B（4，3），C（1，﹣1）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中作△ABC的中线CE与BD，设CE与BD交于点F；
（2）在图2中，在y轴上找点Q，使得AQ+GQ最小；
（3）在图3中的AB上找一点M，使∠BCM＝∠GCM；
（4）在图3中作点N（2，3）关于CM的对称点Q．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请直接将答案填在答卷指定的位置。
22．（4分）关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a＝ ．
23．（4分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 ．
24．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角中最大内角为 ．
25．（4分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位量写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
27．（12分）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．
（1）如图1．连接BD，若∠BAD＝90°，求证：AD＝CD．
（2）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ＝AP+CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）点B（b，0）为x轴上两点，点C在Y轴的正半轴上，且a，b满足等式a2+2ab+b2＝0．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图2，M，N是OC上的点，且∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，延长BN交AC于P，连接PM，判断PM与AN的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AB于E，点G为线段DE上一点，且∠BGE＝∠ACB，F为AD的中点，连接CF，FG．求证：CF⊥FG．
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校美加分校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一一个正确，请在答题卷.上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）分式有意义，其中x的取值满足（ ）
A．x＞2 B．x≠﹣1 C．x≠2 D．x＜2
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（3分）已知等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角是（ ）
A．50° B．80 C．65° D．130°
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角，答案可得．
【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
5．（3分）如图，如果△ABC≌△DEF成立，则下列结论成立的是（ ）
A．AC＝EF B．AB＝DF C．∠B＝∠F D．AC∥DF
【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质进行推理论证．
【解答】解：A、若△ABC≌△DEF，则AC＝DF，不符合题意；
B、若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，不符合题意；
C、若△ABC≌△DEF，则∠B＝∠E，不符合题意；
D、若△ABC≌△DEF，则∠ACB＝∠F，所以AC∥DF，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
6．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b2＝3a•4ab2 B．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
C．am+an＝a（m+n） D．x﹣1＝x（1）
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、am+an＝a（m+n）是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
7．（3分）若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．
【解答】解：（2x﹣m）（3x+5）
＝6x2﹣3mx+10x﹣5m
＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．
∵积的一次项系数为25，
∴10﹣3m＝25．
解得m＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（）2 B．1
C． D．1
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（）2，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
1，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据垂直平分线的性质得出DA＝DB＝12cm，根据等边对等角得出∠ADC＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm，
∴DA＝DB＝12cm，
∵∠B＝15°，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，
在△ACD中，∠C＝90°，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10．（3分）设x，y是实数，定义“※”的一种运算如下：x※y＝（x﹣y）2，则下列结论：①若x※y＝0，则x＝0或y＝0；②x※y＝y※x；③（x﹣y）※（y﹣z）＝x※（﹣z）；④x※（y+z）＝x※y+y※z+x※（﹣z）；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答．
【解答】解：①若x※y＝（x﹣y）2＝0，则x＝y，原来的说法错误；
②∵x※y＝（x﹣y）2，y※x＝（y﹣x）2＝（x﹣y）2，∴x※y＝y※x是正确的；
③（x﹣y）※（y﹣z）＝[（x﹣y）﹣（y﹣z）]2＝（x﹣2y+z）2，x※（﹣z）＝（x+z）2，则（x﹣y）※（y﹣z）≠x※（﹣z），原来的说法错误；
④∵x※（y+z）＝（x﹣y﹣z）2，x※y+y※z+x※（﹣z）＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x+z）2，则x※（y+z）≠x※y+y※z+x※（﹣z），原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算定律，才能正确解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 7×10﹣9 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故答案为：7×10﹣9
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）计算：（﹣3）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂公式可得：（﹣3）0＝1．
【解答】解：原式＝1；
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 SSS ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
故答案为：SSS．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，D是BC边上一点，点A在线段CD的垂直平分线上，连接AD，若∠B＝50°，则∠BAD＝ 15 度．
【分析】根据∠ADC＝∠B+∠BAD，只要求出∠ADC即可解决问题．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠BAC（180°﹣50°）＝65°，
∵点A在线段CD的垂直平分线上，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝65°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴65°＝50°+∠BAD，
∴∠BAD＝15°，
故答案为15．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 24° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根据翻折的性质求得∠ADE＝102°，进而求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝39°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，
将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝102°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．
故答案为：24°．
【点评】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）计算：
（1）4y（﹣2xy2）；
（2）（x+3）（x﹣1）．
【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则进行求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．
【解答】解：（1）4y（﹣2xy2）
＝﹣2×4xy1+2
＝﹣8xy3；
（2）（x+3）（x﹣1）
＝x2﹣x+3x﹣3
＝x2+2x﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式，解答的是对相应的运算法则的掌握．
18．（10分）因式分解：
（1）3mx﹣6my；
（2）1﹣25x2．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）；
（2）1﹣25x2＝（1+5x）（1﹣5x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（10分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）已知AE＝4，DE＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明S梯形ABCD＝2S△AED，可得结论．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵BD平分∠ADC，EF⊥DA，EC⊥DC，
∴∠EDF＝∠EDC，∠EFD＝∠C＝90°，
∵ED＝ED，
∴△EDF≌△EDC（AAS），
同法可证△EAB≌△EAF，
∴S梯形ABCD＝2S△AED＝23×4＝12．
【点评】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
20．（10分）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先方程两边同时乘以（x﹣2）得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式
，
当a＝2020时，原式；
（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
21．（12分）如图，A（﹣4，3），B（4，3），C（1，﹣1）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中作△ABC的中线CE与BD，设CE与BD交于点F；
（2）在图2中，在y轴上找点Q，使得AQ+GQ最小；
（3）在图3中的AB上找一点M，使∠BCM＝∠GCM；
（4）在图3中作点N（2，3）关于CM的对称点Q．
【分析】（1）找到AC中点D，AB的中点E，连接BD，CE交于F即可；
（2）B与A关于y轴对称，连接BG交y轴于G，则G即是满足条件的点；
（3）由BC＝5，在AB上取BM＝5即可；
（4）取格点K（﹣4，﹣1），连接MK，可知MK＝5＝CK，连接AG交MK于Q，由四边形AGCM是平行四边形知AG∥CM，有KG＝2＝KQ，可得MQ＝3＝MN，则Q即为所求．
【解答】解：（1）作格点T，S，连接ST交AC于D，连接BD，设AB交y轴于E，连接CE，BD交CE于F，如图：
线段BD，CE即为所求的△ABC的中线；
（2）连接BG交y轴于Q，如图：
Q即为所求；
（3）在AB上B左侧取格点M，使BM＝5，连接MC，如图：
点M即为所求；
（4）取格点K（﹣4，﹣1），连接KM，AG交于Q，如图：
点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称作图，解题的关键是掌握轴对称的性质．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请直接将答案填在答卷指定的位置。
22．（4分）关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a＝ 15 ．
【分析】由x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，可得a﹣25＝﹣10，求出a的值即可．
【解答】解：x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，
∵（x+5）2≥0，
∴x2+10x+a有最小值a﹣25，
∴a﹣25＝﹣10，
解得a＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，偶次方的性质是解题的关键．
23．（4分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 2或1 ．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x，
将x代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
24．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角中最大内角为 2：3：4 ．
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，得到△AP′P是等边三角形，再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠BPC：∠CPA＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝120°，∠CPA＝140°，这样可分别求出∠PP′C，∠P′PC，∠PCP′，即可得到答案．
【解答】解：将含有PA、PB边的三角形△BPA，以B为轴心，顺时针方向旋转60°，
则将△BPA移到△BDC，△BDC≌△BPA，BP＝BDDC＝PA，∠BDC＝100°，
因为旋转60°，所以△BDP为等边形，等边三角形，三边相等，三角相等都是60°，
给我们解题极大方便，因为PD＝PB，△PDC即由，
PA、PB、PC构成的三角形∠DPC＝120°﹣60°＝60°，
∠PDC＝100°﹣60°＝40°，
∠DCP＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
40：60：80＝2：3：4，
故答案为：2：3：4．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
25．（4分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 15° ．
【分析】以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（BP+AP）（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题．
【解答】解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，
∴PHBP，
∴BP+2AP＝2（BP+AP）（PH+AP），
∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，
过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，
∴∠BAG＝15°，
∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为AG的长是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位量写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
27．（12分）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．
（1）如图1．连接BD，若∠BAD＝90°，求证：AD＝CD．
（2）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ＝AP+CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【分析】（1）证明Rt△BAD≌Rt△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BCK、△PBQ≌△BKQ，根据全等三角形的性质证明；
（3）在CD延长线上找一点K，使得KC＝AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BCK、△PBQ≌△BKQ，根据全等三角形的性质、四边形内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）
∴AD＝DC；
（2）证明：延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCK＝180°，
∴∠BAD＝∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
，
∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∵PQ＝AP+CQ，QK＝CK+CQ，
∴PQ＝QK
在△PBQ和△BKQ中，
，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴∠PBQ＝∠KBQ＝∠CBK+∠CBQ＝∠ABP+∠CBQ；
（3）解：∠PBQ＝90°∠ADC，
理由如下：如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC＝AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠PAB＝180°，
∴∠PAB＝∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
∴△BPA≌△BCK（SAS）
∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∴∠PBK＝∠ABC，
∵PQ＝AP+CQ，
∴PQ＝QK，
在△PBQ和△BKQ中，
，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS）
∴∠PBQ＝∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，
∴2∠PBQ+（1800﹣∠ADC）＝360°，
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）点B（b，0）为x轴上两点，点C在Y轴的正半轴上，且a，b满足等式a2+2ab+b2＝0．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图2，M，N是OC上的点，且∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，延长BN交AC于P，连接PM，判断PM与AN的位置关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AB于E，点G为线段DE上一点，且∠BGE＝∠ACB，F为AD的中点，连接CF，FG．求证：CF⊥FG．
【分析】（1）由题意可得a＝﹣b，即OA＝OB，根据线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，根据等腰三角形的性质可得∠NAB＝∠NBA，∠ANO＝∠BNO，可得∠PNC＝∠CNE，根据角平分线的性质可得PM平分∠CPB，根据三角形的外角的性质可得∠CPM＝∠CAN＝2∠NAB，即可得PM∥AN；
（3）延长GF至点M，使FM＝FG，连接CG，CM，AM，由题意可证△AMF≌△DGF，可得AM＝DG，由角的数量关系可得∠BCO＝∠BDG＝∠DBG，即DG＝BG，根据“SAS”可证△AMC≌△BGC，可得CM＝CG，根据等腰三角形性质可得CF⊥FG．
【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，且AB⊥OC，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形
（2）PM∥AN，
理由如下：
如图，延长AN交BC于点E，连接PM，过点M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，
∵OC是AB的垂直平分线，
∴AN＝NB，CO⊥AB
∴∠NAB＝∠NBA，∠ANO＝∠BNO
∴∠PNC＝∠CNE，且MH⊥AE，MD⊥BP，
∴MD＝MH，
∵∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，
∴AM平分∠CAE，且MG⊥AC，MH⊥AE
∴MG＝MH
∴MG＝MD，且MG⊥AC，MD⊥BP，
∴PM平分∠BPC
∵∠CAM＝∠MAN＝∠NAB，∠PNA＝∠NAB+∠NBA
∴∠CAN＝2∠NAB＝∠PNA，
∵∠CPB＝∠CAN+∠PNA
∴∠CPB＝4∠NAB
∵PM平分∠BAC
∴∠CPM＝2∠NAB
∴∠CPM＝∠CAN
∴PM∥AN
（3）如图，延长GF至点M，使FM＝FG，连接CG，CM，AM，
∵MF＝FG，∠AFM＝∠DFG，AF＝DF，
∴△AMF≌△DGF（SAS）
∴AM＝DG，∠MAD＝∠ADG，
∵DE⊥AB，CO⊥AB
∴DE∥CO
∴∠BCO＝∠BDE
∵∠ACB＝∠BGE，∠BGE＝∠BDE+∠DBG＝∠BCO+∠DBG，∠ACB＝2∠BCO，
∴∠BCO＝∠BDG＝∠DBG
∴DG＝BG，
∴AM＝BG
∵∠CAM＝∠MAD﹣∠CAD＝∠ADG﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠BDE﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠OCB﹣∠CAD＝∠OCB
∴∠CAM＝∠CBG，且AC＝BC，AM＝BG
∴△AMC≌△BGC（SAS）
∴CM＝CG，且MF＝FG
∴CF⊥FG
【点评】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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