2020-2021学年湖北省武汉外国语学校九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉外国语学校九年级（上）期末数学试卷

1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是

A.  B.  C.  D.

5. 把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为米，则铁塔的高BC为
   
   
    

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

7. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连接，则的长度是
    

A. 1cm B. 2cm C.  D.

8. 如图，为的外接圆，已知为，则的度数为
   
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列式子一定正确的是
   
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
    ①；
    ②；
    ③当时，y随x的增大而增大；
    ④关于x的一元二次方程有一个实数根.
    其中正确的结论有
    
     

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ .
12. 抛物线的顶点坐标为______.
13. 一辆汽车行驶的路程单位：关于时间单位：的函数解析式是，经过16s汽车行驶了______
14. 反比例函数的图象经过点，则k的值为______.
15. 如图，AD是的外接圆的直径，若，则______
    
     

16. 在中，，，，则AC的长为______ .
17. 若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为______ .
18. AB是的弦，，垂足为M，连接若中有一个角是，，则弦AB的长为______ .
19. 同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为______ .
20. 如图，的中线AD与高CE交于点F，，，，则AB的长为______ .

21. 先化简，再求代数式值，其中
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上.
    在图中画出等腰，点C在小正方形顶点上；
    在的条件下确定点C后，再确定点D，点D在小正方形顶点上，请你连接DA，DC，DB，使，并直接写出四边形ADBC的面积为______ .
    
    
    
    
    
    
     
23. 为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，高远中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题
    这次活动共抽查学生多少名？
    请通过计算补全条形统计图；
    若高远中学共有1600名学生，估计该中学“优秀”等次的学生有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，点F是DE的中点，连接
    求证：；
    在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形.

25. 某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元.
    求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
    班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
    
    
    
    
    
    
     
26. 内接于，，BD为的直径，
    如图1，求证：为等边三角形；
    如图2，弦AE交BC于点F，点G在EC上，，求证：；
    如图3，在的条件下，弦BH分别交AF，AG于P，Q两点，，，求QG的长.
     

27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，
    如图1，求抛物线的解析式；
    如图2，点D在抛物线上，且点D在第二象限，连接BD交y轴于点E，若，求点D的坐标；
    如图3，在的条件下，点P在抛物线上，且点P在第三象限，点F在PB上，，过点F作x轴的垂线，点G为垂足，连接DG并延长交BF于点H，若，求BP的长.
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：A、，该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、，该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、，该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、，该点在函数图象上，故本选项正确．
故选
由于反比例函数中，，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：袋子中装有4个黑球、2个白球，共有6个球，
随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是
故选：
用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：A、主视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：  

5.【答案】C
 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为，
所得的图象解析式为
故选：
先求出的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：过点A作，E为垂足，如图所示：

则四边形ADCE为矩形，，
，
在中，，
，
，
故选：
过点A作，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段AC的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到
【解答】
解：在中，，，，
，则
又由旋转的性质知，，，
是的中垂线，

根据旋转的性质知
故选  

8.【答案】C
 

【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，
而，
，

故选：
作所对的圆周角，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，
，所以A选项错误；
，
，所以B选项错误；
，
，即，所以C选项错误；
，
，
，
，
∽，
，所以D选项正确．
故选：
根据平行线分线段成比例可对A选项和B选项进行判断；：利用得到，则根据比例的性质可对C选项进行判断；通过证明∽，则利用相似比可对D选项进行判断的．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则与y轴交于负半轴，则，故，所以①错误；
抛物线对称轴为，与x轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以②正确；
时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④错误；
综上所述，正确的结论有：②③，
故选：
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
 

11.【答案】
 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．
 

12.【答案】
 

【解析】解：顶点坐标是
故答案为：
直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．
 

13.【答案】272
 

【解析】解：当时，，
经过16s汽车行驶了272m，
故答案为：
将代入函数解析式求解即可．
本题考查了二次函数的应用，直接将数值代入二次函数解析式进行计算．
 

14.【答案】
 

【解析】解：把代入函数中，得，解得
故答案为：
将点代入解析式可求出k的值．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
 

15.【答案】50
 

【解析】解：连接BD，如图，
为的外接圆的直径，
，
，

故答案为
连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
，



，
故答案为：
根据锐角三角函数的意义，求出AB，再根据勾股定理求出BC即可．
本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的前提．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由题意，得该扇形的弧长，
故答案为：
把已知数据代入弧长公式，计算即可．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为是解题的关键．
 

18.【答案】或
 

【解析】解：，
，
若，
则，
，
；

若，
则，
，


故答案为：或
分，，两种情况分别利用正切的定义求解即可．
本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论．
 

19.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了概率公式的知识，采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比列举出所有情况，让两个骰子的点数和是10的情况数除以总情况数即为所求的概率.
【解答】
解：易得有种可能，两个骰子的点数和是10的有4，6；5，5；6，4共3种，所以概率是
故答案为  

20.【答案】
 

【解析】解：延长AD至点M，使，连接MB，
在和中，
，
≌
，
，
，CE是的高，
，
，
，
，
，
，
是的高，，
，即，
作于N，
则四边形EFNB是矩形，是等腰直角三角形，
，
，
，
负数舍去，
故答案为
先判断出≌进而得出，再判断出是等腰直角三角形，求得，然后利用，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线和高，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等，通过证得≌，得出，进而通过等腰三角形的性质得出是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，
原式
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊锐角的三角函数值确定x的值，继而代入计算可得答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

22.【答案】4
 

【解析】解：如图，即为所求作．

如图，四边形ADBC即为所求作．

故答案为
根据等腰三角形的定义，画出图形即可．
取格点K，连接CK，由，证明即可．
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：名，
答：这次活动共抽查学生200名；
名，
补全条形统计图如图所示：

名，
答：高远中学1600名学生中“优秀”等次的学生大约有320名．
 

【解析】通过条形统计图可得“优秀”的有40人，“良好”的有80人，“一般”的有60人，而“良好”的占，可求出调查人数；
计算出D等级的人数，即可补全条形统计图；
样本中“优秀”的占调查人数的，因此总体1600人的是“优秀”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：，
，即
在与中，

≌

，，

，

点F是DE的中点，
，
；
解：符合条件的等腰直角三角形有：，，，
理由如下：在中，，，则是等腰直角三角形．
在中，，，则是等腰直角三角形．
在等腰中，点F是DE的中点，
，，
，都是等腰直角三角形．
 

【解析】由“SAS”可证≌，可得，可求，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得结论；
根据等腰三角形的判定定理进行推理即可．
本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，难度不大．
 

25.【答案】解：设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：，
解得：，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
 

【解析】设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．列出方程组，可求解；
设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是本题的关键．
 

26.【答案】证明：如图1，连接CD，

为的直径，

，


，
为等边三角形；

证明：如图2，

为等边三角形，

，

，，


，


为等边三角形，


，，
≌
；

解：如图3，过点O作，点L为垂足．

点O为圆心，
，
，

，

在中，

连接AH，延长PO交AH于点M，
是等边三角形，







是等边三角形．
连接AD，
为的直径，

是等边三角形，


在直角内，，
为的直径，

在直角中，，

，

在直角中，


，
是等边三角形，
，
连接BE，
，，


是等边三角形．


，




 

【解析】如图1，连接CD，由、证得为等边三角形；
如图2，根据≌的对应边相等证得；
如图3，过点O作，点L为垂足．
首先，推知中的；连接AH，延长PO交AH于点M，构造等边；
然后，连接AD，通过解直角得到，在直角中，利用勾股定理求得，继而根据垂径定理推知，所以通过解直角求得由图中线段间的和差关系易得，则等边三角形中，得到，，；
最后，连接BE，构造等边，根据等边三角形的性质和平行线的判定定理推知，结合平行线截线段成比例求得
本题考查了圆的综合题，解题过程中涉及到了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及平行线截线段成比例等知识点，难度较大，注意解题过程中辅助线的作法．
 

27.【答案】解：二次函数，
当时，，，
，
，，，
，，
，
解得，
抛物线的解析式为；

过点D作x轴的垂线，点M为垂足，设点D的横坐标为t，则点D的纵坐标为，
点D在第二象限，
，
，，
，
在中，，
，
，，
解得舍去，，
点D的纵坐标为，
点D的坐标为；

连接OF，
，，，
≌，
；
过点F作y轴的垂线，点T为垂足，
，
，
，
四边形OTFG为矩形；
，
四边形OTFG为正方形；
取OM的中点N，连接DN，过点G作DN的垂线交DN的延长线于点R，
在中，，
；
，
，
；
；
，
≌，
，
，
，
，，，
；
在中，，，，
，
，
在中，，，
在中，，
；
在中，，
，
四边形OTFG为正方形，
设，，，
，，
，
，
在中，
在中，
，
解得舍去，；

过点P作x轴的垂线，点W为垂足，
设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为，
点P在第三象限，
，
在中，，
，

，
，
解得舍去，，
，
在中，，


 

【解析】利用二次函数图象上点的坐标可求出点C的坐标，进而可得出OC的长，结合，可求出OB，OA的长，进而可得出点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
在中，通过解直角三角形可求出OE的长，进而可得出点E的坐标，根据点B，E的坐标，利用待定系数法可求出直线BE的解析式，再联立两函数解析式成方程组，解之即可得出点D的坐标舍去点B的坐标；
连接OF，过点F作y轴的垂线，点T为垂足，取OM的中点N，连接DN，过点G作DN的垂线交DN的延长线于点R，依次证明≌、四边形OTFG为正方形、≌；设，，，由，得关于m的等式，解得m的值；设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为，在中，由，得关于n的方程，解得n的值；最后在中，根据，求得BP的长即可．
本题是二次函数的综合题型，考查的知识点主要有：利用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形等，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．