四川省绵阳南山中学2023届高三数学（文）仿真试题（Word版附解析）

秘密★启用前【考试时间：2023年5月18日15：00--17：00】

绵阳南山中学2023年高考仿真考试数学试题（文科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

第I卷（选择题，共60分）

一､单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求解不等式得出，进而即可根据交集的运算得出答案.

【详解】解可得，或，

所以或.

又，

所以.

故选：D.

2. 已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等式求出复数，得到复数，由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】由，得，则，在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

3. 若向量，且，则（    ）

A. 1 B. 5 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得，结合，列出方程求得，即可求解.

【详解】由向量，可得，

因为，可得，解得，

所以，可得.

故选：D.

4. 不等式“”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解对数不等式和指数不等式，求出解集，进而判断出答案.

详解】，解得，，解得，

因为，但，

故“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A

5. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 该次课外知识测试及格率为

B. 该次课外知识测试得满分的同学有名

C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D. 若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名

【答案】C

【解析】

【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各项的描述即可判断其正误.

【详解】由图知，及格率为，故A错误.

该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.

由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.

由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.

故选：C

6. 在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由正弦定理求得，及，结合两角和的正弦公式求得，根据面积公式，即可求解.

【详解】在中，因为，可得，

由正弦定理，可得，

又因为，可得，所以，

所以，

则.

故选：A.

7. 若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（    ）

A. -3 B.  C. 1 D. -3或1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，求导从而得出直线的斜率，进而求得直线的方程，然后结合题意可分析出直线与直线之间的距离为，求得的值，再分析验证是否满足题意即可.

【详解】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，

对于，定义域为，则，

所以有，直线的斜率，

又因为直线与直线平行，则有，解得：，

则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，

若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，

必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，

当时，直线即为与曲线没有交点，

曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；

当时，直线即为与曲线有个交点，

曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，

一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；

故.

故选：A.

8. 记函数的最小正周期为，若，为的一个零点，则的最小值为（    ）

A.  B. 3 C. 6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得，结合为的一个零点，求得，即可求解.

【详解】由函数的最小正周期为，

因为，可得，

又因为，可得，所以，

因为为函数的一个零点，所以，

解得，即，

又因为，所以的最小值为.

故选：B.

9. 已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，得到，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由题意，抛物线，可得且，

过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，如图所示，

由抛物线的定义，可得，

则，则.

故选:A.

10. 已知定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可.

【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，

又在上单调递增，

由，得，即，

平方并化简，得，解得，即x的取值范围为.

故选：C

11. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（    ）

A. 米 B. 米

C. 米 D. 米

【答案】A

【解析】

【分析】由扇形弧长公式可求得圆心角，根据可求得结果.

【详解】根据题意作图如下，

由题意知：的长为，为的中点，，

，即所求距离约为米.

故选：A.

12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱上的动点（点不与点重合）．若，则下列说法正确的个数是（    ）

①存在点，使得点到平面的距离为；

②直线与所成角为；

③平面；

④用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知得出到平面的距离的范围，即可得出①；平移即可得出②正确；根据①可知平面平面，进而说明与平面相交即可判断③；根据已知作出截面，即可求出周长.

【详解】对于①，连接，如图1所示：

因为，所以易知，

且平面平面，

又已知三棱锥各条棱长均为，所以三棱锥为正四面体，

所以到平面的距离为：，

因为平面，所以，又，且，

所以平面，又平面，所以，

同理可得，且，所以平面，

又因为，所以到平面的距离，且，故①正确；

对于②，易知，直线与所成角即等于与所成角或其余角.

因为均为正方体的面对角线，所以为等边三角形，

所以，，即直线与所成角为，故②正确；

对于③，连接，由①可知平面平面，

又因为平面平面，所以不平行于平面，所以平面不成立，故③错误；

对于④，

如图2，在上取点，过点作交于，过作交于，

以此类推，依次可得点，此时截面为六边形，根据题意可知：

平面平面，不妨设，

所以，所以，

所以六边形的周长为：，故④正确.

综上所述，正确的为①②④.

故选：C.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______．

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离.

【详解】双曲线的离心率为2，由得，则，

右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为.

故答案为：

14. 连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】列举出符合题意的，由古典概型的概率计算公式可得结果．

【详解】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线与圆相交，

则，即满足．符合题意的有

，

共21种，

由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．

故答案：

15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形，则这个几何体的外接球的表面积为___________．

【答案】

【解析】

【分析】作出直观图，将其补形为长方体，长方体体对角线长即为外接球直径，从而求出外接球半径和表面积.

【详解】画出直观图，如下，三棱锥即为所求，

将其补形为长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

其中，

故几何体的外接球的直径为长方体的体对角线长，即，

其中，故半径为，

故这个几何体的外接球的表面积为.

故答案为：

16. 已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.

【详解】

所以，令，所以

令 ，则

令 ，则

所以在上单调递减，所以

所以在上单调递减，

所以

令 ，则 恒成立

所以在上单调递增，即

【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解

三､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（一）必考题：共60分．

17. 设数列的前项和为，．

（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若和分別是等差数列的第二项和第六项，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知求出.当时，由的关系推得，即可得出证明.进而根据等比数列的通项公式，即可得出答案；

（2）根据（1）的结果结合已知条件，可得出首项、公差，进而得出的通项公式.裂项求得，相加即可得出答案.

【小问1详解】

当时，，解得.

当时，

有，

，

两式作差可得，，

整理可得，.

又，

所以，数列为首项为2，公比为2等比数列，

所以，，

所以，.

【小问2详解】

由（1）可知，，，

所以，，.

设公差为，

则，

解得，，

所以，.

所以，，

所以，数列的前项和

.

18. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，

发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.

其中，，，

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

（1）根据表中数据，模型①、②的相关指数计算分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.

（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求y关于x的回归方程；并估计温度为30℃时的产卵数.（，，，与估计值均精确到小数点后两位）

（参考数据：，，）

【答案】（1）模型②的拟合效果更好；（2），当时，估计产卵数为.

【解析】

【分析】（1）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣，相关指数越大，拟合效果越好；

（2）由（1）可知选模型②，两边取对数得，再令，则，所以先利用最小二乘法求的回归系数，再代换回去即可.

【详解】解：（1）因为，所以模型②的拟合效果更好.

（2）由（1）知模型②的拟合效果更好，

对于模型②：设，则，

其中，

.

所以y关于x的回归方程为，

当时，估计产卵数为.

【点睛】此题考查了线性回归方程的应用问题，考查了相关指数的应用问题，属于中档题.

19. 如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；

（2）运用等体积法求解.

【小问1详解】

在直角三角形中，因为 ，所以 ，

即在四棱锥中， ，平面PDB，平面PDB，

所以平面，从而平面，

如图，在上取一点，使得，连接，

因为，所以，所以，

又 ，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，

在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，

又因为 ，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，

所以平面，故；

【小问2详解】

连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，

所以三棱锥的体积，

所以，

在 中，计算可得，由余弦定理得，所以，

，

设点到平面的距离为，则，故；

综上，点M到平面PBE的距离为 .

20. 已知椭圆四个顶点形成的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点不在x轴上），直线l的方程为：，过点M作垂直于直线l交于点E．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点O为坐标原点，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解即可；

（2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，先证直线过定点，进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值.

【小问1详解】

由题意可得：，解得，

椭圆C的标准方程为．

【小问2详解】

由（1）可得：，即，

由题意可设直线，则，

联立方程，消去x可得：，

∴，则，

∴直线的斜率，则直线的方程为．

令，则可得，

即直线过定点．

∴面积为，

令，则，

令，则，当时恒成立．

∴在上单调递减，则，即，

∴面积的最大值为．

【点睛】解本题两个关键思路：

①利用韦达定理得出两者之间的关系，并利用该关系证明直线过定点；

②求面积最大值时，因为使用基本不等式时等号成立条件不满足，所以利用导数求其最大值.

21. 已知函数．

（1）若在上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）设函数，，若恰有1个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）函数单调递减，等价于恒成立，分参即可求出的取值范围

（2）讨论在区间上的单调性，根据零点存在性定理判断零点个数，从而确定的取值范围

【详解】（1）∵在上为单调递减函数，∴对任意恒成立

∴，则，令，．则，

∴在单调减，则的最小值为

∴，即，所以实数a的取值范围是

（2）①，，所以，

当时，，所以在单调递增，

又因为，所以在上无零点．

当时，，使得，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

又因为，，

所以若，即时，在上无零点，

若，即时，在上有一个零点，

当时，，在上单调递减且，所以在上无零点，综上，

【点睛】题目考察三角函数相关的导数问题，第一小问已知单调性求参数是比较基础的题型，第二小问，已知零点个数求参数，需要对参数进行分类讨论，三角函数的分类讨论要结合三角的范围进行，所以要考虑，和的情况进行讨论

（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．

 [选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）设直线交曲线于两点A，B，求的大小.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，即可求解；

（2）联立直线和曲线的极坐标方程，根据极角的定义利用和差的正切公式即可求解.

【小问1详解】

依题意，

把，代入，

得直线的极坐标方程为；

把，代入，

得，即曲线的极坐标方程为.

【小问2详解】

联立和，

得，

即，

，

，

，

所以或，

即A，B两点对应的极角的正切值分别是和3，

于是，所以.

 [选修4-5：不等式选讲]

23. 已知a，b，c为实数且．

（1）若a，b，c均为正数，当时，求的值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由基本不等式可推得，结合已知以及不等式等号成立的条件，即可列出关系式，进而得处答案；

（2）根据已知转化为求解的最小值，进而根据柯西不等式，即可得出答案.

【小问1详解】

由基本不等式得：，，．

以上三个式子相加得，

所以，

当且仅当时等号成立，此时，，，

所以．

【小问2详解】

，

，