2022-2023学年江苏省泰州市五校高二上学期期中联考模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市五校高二上学期期中联考模拟数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；

【详解】解：抛物线，即，则，所以，

所以抛物线的焦点到其准线的距离为.

故选：C

2．已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程．

【详解】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为，即；

若直线不经过原点，可设直线的方程为，

把点代入可得，解得，

直线的方程为，即，

综上可得直线的方程为或；

故选：D．

3．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ）

A．6 B．8 C．2 D．4

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．

故选：B

4．点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（    ）

A．  B． C．3 D．9

【答案】C

【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．

【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，

则圆心坐标为（－，－1），半径为

因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，

所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，

所以－＋1＋1＝0，k＝4．

所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.

故选：C．

5．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为，

由余弦定理可得

即，

整理可得，

所以，即.

故选：B

6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答.

【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，

由得：，又，

于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，

所以这条弦所在的直线方程是.

故选：B

7．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.

【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，

因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，

所以该圆与已知圆相切，

又两圆圆心间距离为，

所以或（无解，舍去），解得

故选：C.

8．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出圆的圆心坐标和半径，作出圆关于直线的对称圆，连结，则与直线的交点即为点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，的最小值为.

【详解】

由圆，圆，

可知圆圆心为，半径为1，如图，

圆圆心为，半径为2，

圆关于直线的对称圆为圆，

连结，交于，则为满足使最小的点，

此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，

最小值为，

而，

的最小值为，故选A.

【点睛】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

二、多选题

9．已知直线，其中，则（    ）

A．直线l过定点

B．当时，直线l与直线垂直

C．若直线l与直线平行，则

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数

【答案】ABD

【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断.

【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；

对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，

而直线的斜率为，

所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；

对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；

对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确.

故选：ABD

10．在平面直角坐标系中，，，，，设点的轨迹为，下列说法正确的是（    ）

A．轨迹的方程为

B．面积的最大值为

C．的最小值为

D．若直线与轨迹交于，两点，则

【答案】BD

【分析】A选项：设，利用列等式，整理即可得到点的轨迹；

B选项：根据几何的思路得到当点纵坐标的绝对值最大时，面积最大时，然后求面积即可；

C选项：根据几何的思路得到，然后求最小值即可；

D选项：利用勾股定理求弦长即可.

【详解】设点，化简得，，故A错误；

当点纵坐标的绝对值最大时，面积最大时，此时，故B正确；

设轨迹的圆心为，半径为，所以，，点在圆内，所以，故C错误；

圆心到直线的距离为，，，故D正确．

故选：BD.

11．已知椭圆焦点分别为为坐标原点，直线与交于，两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，直线与垂直

B．点在直线上

C．的取值范围为

D．存在点，使得

【答案】BC

【分析】解：设，联立，，结合韦达定理求得点M的坐标，然后逐项判断.

【详解】解：设，联立，

可得，

，

所以，

所以，，

所以点的坐标为.

则，，

所以直线与直线不垂直，A错误；

显然点在直线上，B正确；

当时，，此时与相切，取切点，

则，故的取值范围为，C正确；

由椭圆方程得，故，

故，不存在点，使，D错，

故选：BC.

12．拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则的最小值为4

B．当时，

C．若，则的取值范围为

D．在直线上存在点，使得

【答案】BC

【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D，

【详解】对A，如图，由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，故A错误；

对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，故

.

故，所以.故B正确；

对C，过作垂直于准线，垂足为，则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，.

故的取值范围为，故C正确；

对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，故D错误；

故选：BC

三、填空题

13．的顶点，，，则BC边上的中线所在的直线方程是____________．

【答案】

【分析】由中点坐标公式求出BC中点坐标，由中线过点A，利用两点式求出直线方程.

【详解】由中点坐标公式， BC中点坐标为，BC边上的中线过点A，由直线两点式方程，得，化为一般式方程为:，

故答案为：

14．椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．

【答案】24

【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

从而得到P与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.

【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，

由椭圆定义可知：，

故P与双曲线两焦点的距离之和为14，

又，

因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.

故答案为：24

15．过点且与圆相切的直线的方程是______．

【答案】或

【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.

【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，

所以直线，

此时圆心到直线的距离为1=r，

此时直线与圆相切，满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，

所以，即，

因为直线l与圆相切，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以直线l的方程为.

综上：直线的方程为或

故答案为：或

四、双空题

16．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．

【答案】         

【分析】由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程.

【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，

所以直线的方程为．

联立消去整理得，

可设，显然和是该方程的两个根，

则，所以．

（方法一）光线从点到经过的总路程为

．

（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，

故光线从点到经过的总路程为

．

故答案为：；20.

五、解答题

17．（1）已知双曲线的渐近线方程是，焦点是，，求双曲线的标准方程.

（2）若一个圆过点且与圆相切于点，求此圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设双曲线方程为，列出方程组，解之即得解；

（2）设所求圆的圆心为D，则D为PM的垂直平分线与直线CM的交点，求出PM的垂直平分线与直线CM的方程即得解.

【详解】（1）焦点在x轴上，设双曲线方程为，

由渐近线方程可知：，

又因为，故由可知，

所以双曲线的标准方程为.

根据题意，，

设所求圆的圆心为D，则D为PM的垂直平分线与直线CM的交点.

直线PM的斜率为，则PM的垂直平分线所在直线方程的斜率为1，

PM的中点坐标为，

则PM的垂直平分线所在直线方程为，即，

直线CM的斜率为，则直线CM的方程为，即，

由 ，得

又因为，

所以所求圆的方程为

18．已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆经过点．

（1）求椭圆方程；

（2）若点为椭圆上一动点，则点到直线的最小距离．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据题意，利用代入法，结合椭圆中的关系进行求解即可；

（2）根据椭圆的切线性质进行求解即可.

【详解】解：（1）椭圆的焦点为，①

又点在上，②，而③

联立①②③得，椭圆方程为

（2）设与椭圆相切联立方程组：

，

显然易知当时，与距离最近，

.

19．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.

(1)求抛物线方程；

(2)直线与抛物线相交于两个不同的点，为坐标原点，若，求实数的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；

（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.

【详解】（1）解：由抛物线过点，且，

得

所以抛物线方程为；

（2）设，联立得，

，

，

，

则，

，即，

解得或，

又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；

所以实数的值为.

20．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

(1)过点的直线被圆M截得的弦最短，求的方程；

(2)若的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由；

【答案】(1)

(2)圆过定点，.

【分析】（1）判断点Q在圆M内，进而可得过点且与MQ垂直的弦长最短，然后根据斜率公式求出的斜率即可求解；

（2）设，由，进而可得圆C的方程为，即，从而即可求解.

【详解】（1）解：因为圆，，

所以，

所以Q在圆内，所以过点且与MQ垂直的弦长最短，

因为圆心M点坐标为，所以，

所以所求直线的斜率k＝1，

所以的方程为，即；

（2）解：由题意，设，

因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径的圆，

其方程为，即，

由，解得或，

所以圆过定点，．

21．已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线AC和BD的斜率之比为定值．

【分析】（1）设，依据两点的斜率公式可求得曲线E的方程．

（2）设直线l：，，，联立方程得，得出根与系数的关系，表示直线AC的斜率，直线BD的斜率，并代入计算，可得其定值.

【详解】解：（1）设，依题意可得，所以，

所以曲线E的方程为．

（2）依题意，可设直线l：，，，

由，可得，则，，

因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，

所以，

所以直线AC和BD的斜率之比为定值．

22．设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件中离心率已知，结合建立方程组求得，得到椭圆的标准方程；

（2）根据两条直线的倾斜角互补，建立斜率关系，并用坐标进行表示.然后设定直线方程与椭圆联立后消元化简，并表示根与系数的关系，代入前式，确定直线所过定点，再分别利用弦长公式及点到直线的距离公式表示三角形面积，通过换元构造基本不等式求得面积的最值.

【详解】（1）由题可得，，

所以     因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为

（2），设

因为直线与直线的倾斜角互补，

所以可知，

即，

化简得

设直线，

将代入上式，

整理可得

且由消元化简可得

，

所以，代入上式

由，

解得

所以

因为点到直线PQ的距离，

且

所以

令，则

所以，.

当且仅当，时取等号.

所以的面积的最大值为

【点睛】（1）倾斜角互补，可转化为斜率和为0；

（2）圆锥曲线中面积最值问题，通常都是把面积表示出来，用基本不等式求最值.