2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．圆的圆心坐标和半径分别为（    ）

A．，3 B．，3 C．，9 D．，9

【答案】A

【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径.

【详解】由方程可得，

故圆心坐标为，半径为3．

故选：A.

2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】先根据线线平行公式可得，再根据平行线间的距离公式求解即可.

【详解】直线与直线平行，

∴，解得，故直线为直线，化简得，

∴它们之间的距离为．

故选：B．

3．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.

【详解】如图所示，

设直线l的倾斜角为，，

则，，

∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴，

即，

∴．

故选：A．

4．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】题目转化为函数与有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到答案.

【详解】方程有两个实数解即函数与有两个公共点，

曲线表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点），

如图所示．

由图形知，当直线经过点时，直线与曲线有2个公共点，此时有；

当直线与圆相切时，可得，解得或（舍去）.

结合图形可得实数b的取值范围是．

故选：D

5．若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由抛物线的定义求解即可

【详解】因为抛物线的标准方程为，其准线方程为，

由于抛物线上一点到其焦点的距离等于4，

由抛物线的定义可得，，解得．

故选：B

6．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（    ）项．

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，即可得144所对应项数.

【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和,所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，

所以144是该数列的第12项．

故选：C．

7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.

【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即，

到渐近线的距离为，

，则直角三角形的内切圆的半径，

如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得，

，

即，则，

所以，

由，，

，.

故选：A.

8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，进而可得结果.

【详解】已知方程可以变形为，即，

∴

其表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，

又由，可得，

故选：C.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式可以表示任何直线

B．直线在轴上的截距为

C．直线关于对称的直线方程是

D．点到直线的的最大距离为

【答案】BD

【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令求解直线在轴上的截距判断B；结合关于直线对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点求解即可判断D.

【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；

对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；

对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；

对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.

故选：BD

10．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27

【答案】BC

【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.

【详解】∵，，∴，，

∴，，∴，A选项错误；

又∵，即，

∴ ，解得，B选项正确；

∵，故C选项正确；

因为等差数列的前n项和为，所以，即，

由，

∴数列为等差数列，设，

因为当时，，当时，，

所以当时，，当时，，

所以，，

因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．

故选：BC．

11．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（    ）

A．四边形面积的最小值为4

B．线段的最小值为

C．当直线的方程为时，最小

D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为

【答案】ABD

【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合四边形面积计算判断AB，当方程为时，由对称性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断C，由弦长求出圆心到弦的距离的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D．

【详解】圆的圆心，半径为，

可知，，，

，

当取最小值时，四边形面积取得最小值，

此时，

所以四边形面积的最小值为，故A正确；

又圆心到直线的距离，

所以当取得最小值时，，

可得，故最小值，故B正确；

当直线的方程为时，，，则，

所以直线与直线垂直，又是中点，，，

所以，则，

所以，

易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误；

设M到直线的距离为，因为，且，

所以，则，

设，所以，即，

解得，

所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．

故选：ABD．

12．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ）

A． B．的面积

C．若，则 D．

【答案】ABD

【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解.

【详解】设，，又∵，

即，

又∵，，令，

∴，，

∴，故A正确；

，，

，故B正确；

当时，，得，

∴，故C不正确．

设，证明椭圆的焦点三角形面积为，

记，，

在中，由余弦定理有：，

∴，

又由椭圆定义有：，

∴；∴，

又∵，

∴

，

设，证明双曲线的焦点三角形面积为，

记，，

在中，由余弦定理有：，

∴，

又由双曲线定义有：，

∴；∴，

又∵，

∴

，

由，故D正确．

故选:ABD．

三、填空题

13．已知为等差数列，，，则_______．

【答案】

【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可.

【详解】根据题意，可设等差数列的公差为，

又由，则，即，

，则，即，

则公差，

则，

所以．

故答案为：

14．写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______．

【答案】（，，，任选一个答案均可）

【分析】设切线方程为，由直线与两相切可得①，②，联立求解即可得答案.

【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为1，

圆的圆心坐标为，半径为1，

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，

于是，，

故①，②，

联立①②解得或或或，

所以直线方程有4条，分别为或或或．

故答案为：（或或或任选一个答案均可）．

15．已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点_______．

【答案】

【分析】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得的方程，即可由相交直线系方程，求得直线恒过的定点.

【详解】若过椭圆上任意一点作切线，则其斜率存在，

不妨设其为，

联立椭圆方程可得：，

则，

即，

又该方程

因为，则，故可得，

故此时过椭圆上一点的切线方程为，

即，，即；

当时，显然过点的切线方程也满足，

综上所述，过椭圆上任意一点的切线方程为：；

设，则，，，

则切线的方程为，切线的方程为，

又点在上，故，

可得A、B都在直线上，

即，，

令，解得，故直线AB过定点．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线恒过定点的问题，处理问题的关键是熟练掌握过椭圆上一点的切线方程的推导以及其形式，属综合困难题.

16．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，与圆：交于，两点（，在第一象限），则的最小值为_______．

【答案】##

【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值.

【详解】因为抛物线M的方程为，

所以抛物线M的焦点为，准线，

则直线过抛物线的焦点F，

当时，联立与可得，

所以，则；

当时，如图，

过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，

则，

得，

则，

同理可得，

所以，

化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，

，当且仅当且时等号成立，即，时等号成立；

所以的最小值为．

故答案为：．

四、解答题

17．已知为数列的前项和，且，（，），若，．求：

(1)数列的通项公式；

(2)的最值．

【答案】(1)

(2)最大值，无最小值．

【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可

（2）利用等差数列求和公式表示出，由二次函数的性质可求得最值.

【详解】（1）由，（，），知为等差数列，公差为d，

设首项为，由，，

得，

解得或，

因为，所以，

故．

（2）当时，，

，

所以当或4时，有最大值，无最小值．

18．已知的顶点，，直线的斜率为．

(1)求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)求角B的角平分线所在直线方程．

【答案】(1)或；

(2)或．

【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，根据截距相等得到直线方程为，代入点得到直线方程.

（2）考虑点C位于直线下方和上方两种情况，计算倾斜角得到斜率，得到直线方程.

【详解】（1）①当所求直线过原点时，设直线方程为，直线过点A，，故方程为；

②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，

所以设所求直线方程为，因为直线过点A，所以，解得，

所以所求直线方程为；

综上，满足条件的直线方程为或；

（2）因为的顶点，，直线的斜率为，

所以直线方程为，直线的倾斜角为，

①当点C位于直线下方时，，设此时其角平分线为，

则角平分线的倾斜角为，其斜率为，

所以角平分线方程为，即；

②当点C位于直线上方时，，

设此时其角平分线为，则角平分线的倾斜角为，其斜率为，

所以角平分线方程为，即；

所以角B的角平分线所在直线的一般式方程为或．

19．直线l经过抛物线焦点,且与抛物线相交于,两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.

(1)若直线l的斜率为2,求线段AB的长;

(2)求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

【答案】(1)10

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意得到直线的方程,与抛物线方程联立,依据抛物线的定义和韦达定理即可求出弦长;

(2)设直线的方程,令得到;设直线的方程,联立抛物线的方程,根据韦达定理求出,证明即可.

【详解】（1）∵抛物线的焦点,准线方程为,

∴直线的方程为,联立方程,得,

则,,

;

（2）设直线的方程为:,

令,可得,

设直线的方程为:,联立方程,得,

∴,

∴,

∴,

∴直线平行于轴,

即直线平行于抛物线的对称轴.

20．已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．

【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程；

（2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.

【详解】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，，

设，，的中点，

，①－② ，

，

，

则椭圆E的方程：；

（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，

，，PQ中点，

，

，

，，即，

由N在l上，，此时，

故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．

21．已知双曲线C过点,.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)设双曲线C的方程为,将,代入求解即可;

(2)由题意易得直线l的斜率存在,设,,直线l的方程为,联立直线与双曲线方程,化简的式子,结合韦达定理即可求出结果.

【详解】（1）设双曲线C的方程为,

将,代入上式得:,

解得,

双曲线C的方程为.

（2）设,,

由题意易得直线l的斜率存在,

设直线l的方程为,代入整理得,

,

,,且,

则

,

故为定值.

22．长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程，并说明其形状；

(2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值．

【答案】(1)，是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；

(2)证明见解析，此定值为．

【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过.

由直角三角形的性质判断出为的中点为定值.

【详解】（1）∵，P为线段AB中点，

∴，设，则，即.

则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；

（2）

根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k，

则直线方程为代入中，整理得，

故，，即，

因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：.

根据对称性可知，直线所过定点在轴上，

不妨令，得，

此时，即过，

则，所以过定点.

连接，在圆O中，由垂径定理可得：.

当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则．

当D、F重合时，取的中点，则也成立．

故存在定点E，使得为定值，此定值为．