江苏省泰州市2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

2022-2023学年度江苏泰州市高二第一学期期中联考(数学)

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    圆的圆心坐标和半径分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2.    已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若方程有两个实数解，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    若抛物线上一点到其焦点的距离等于，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知数列：，，，，，，，则是该数列的第项．(    )

A.  B.  C.  D.

7.    设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    古希腊数学家欧几里得在几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了年，到了世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    下列说法中，正确的有(    )

A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于对称的直线方程是
D. 点到直线的的最大距离为

10. 设等差数列的前项和为，公差为已知，，，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 设的前项和为，则时，的最大值为

11. 已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列说法正确的是(    )

A. 四边形面积的最小值为
B. 线段的最小值为
C. 当直线的方程为时，最小
D. 若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为

12. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有(    )

A.  B. 的面积
C. 若，则 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知为等差数列，，，则          
14. 写出与圆和圆都相切的一条切线方程          ．
15. 已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点          ．
16. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，与圆：交于，两点在第一象限，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知为数列的前项和，且，，若，求：

数列的通项公式

的最值．

18. 本小题分

已知的顶点，，直线的斜率为．

求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程

求角的角平分线所在直线方程．

19. 本小题分

直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点．

若直线的斜率为，求线段的长

求证：直线平行于抛物线的对称轴．

20. 本小题分

已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆上，直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，直线的斜率为．

求椭圆的方程

若，试问上是否存在、两点关于对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

21. 本小题分

已知双曲线过点，

求双曲线的标准方程

已知，过点的直线与双曲线交于不同两点、，设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．

22. 本小题分

长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线．

求曲线的方程，并说明其形状

过点作两条直线分别与曲线交于、两点，若直线，的斜率之积为，线段的中点为，求证：存在定点，使得为定值，并求出此定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

解：由方程可得，
圆心坐标为，半径为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

解：直线与直线平行，
，
解得，
直线为直线，化简得，
它们之间的距离为．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

解：如图所示，
设直线的倾斜角为，，
则，，
直线与连接，的线段总有公共点，
，
即，
．
故选A．

4.【答案】 

【解析】

解：方程有两个实数解即函数与有两个公共点，
曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分包括端点，如下图所示．

由图形知，当直线经过点时，
直线与曲线有个公共点，此时有，
当直线与圆相切时，可得，
解得或舍去，
结合图形可得实数的取值范围是 ．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

解：因为抛物线的标准方程为，其准线方程为，
由于抛物线上一点到其焦点的距离等于，
由抛物线的定义可得，，解得．

6.【答案】 

【解析】

解：由题意可得数列从第项起，每一项等于前两项的和，
所以这个数列为：，，，，，，，，，，，，
所以是该数列的第项．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

解：过作的一条渐近线的垂线，垂足为．
可得，
，则直角三角形的内切圆的半径，
设三角形的内切圆与切于，则，
，可得，
，
即，则，
所以，
由，
，
，．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

解：方程，，
即为，
可得，
则，
可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，
由双曲线的定义，可得，
解得，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

解：对于，当直线斜率不存在时，由点斜式不能表达出来，A错误；

对于，当时，所以直线在轴上的截距为，B正确；

对于，将直线中的用代替，用代替后得，即为直线关于对称的直线方程，C错误；

对于，直线恒过点，点到直线的的最大距离为点到点的距离，为，D正确．

故选BD．

10.【答案】 

【解析】

解：，， 
，
，，
 ，A错误； 
又，即， 
，解得，B正确； 
，故C正确； 
因为等差数列的前项和为，所以，即，
由，
数列为等差数列，设，
因为当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以，
，
因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以选项不正确．
故选BC．

11.【答案】 

【解析】

解：圆的圆心，半径为，
可知，，
，
当取最小值时，四边形面积取得最小值，
此时，
所以四边形面积的最小值为，故A正确；
又圆心到直线的距离，
所以，
可得，故最小值，故B正确；
当直线的方程为时，，，则，
所以直线与直线垂直，又是中点，，，
所以，则，
所以，
易得四边形是正方形，
此时最大，且为，故C错误；
设到直线的距离为，因为，且，
所以，则，
设，所以 ，即，
解得 ，
所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．
故选ABD．

12.【答案】 

【解析】

解：设，，又，
即，
又，，令，
，，
，故A正确
，
，
，故B正确
当时，，得，
，故C不正确．
设，证明椭圆的焦点三角形面积为，
记，，
在中，由余弦定理有：
，
，
又由椭圆定义有：，

，
又，


，
同理可得双曲线的焦点三角形面积为，
由，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】

解：根据题意，可设等差数列的公差为，
又由，则，即，
，则，即，
则公差，
则，
所以
故答案为：．

14.【答案】或或或任选一个答案均可 

【解析】

解：圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
显然且线的斜率不为，不妨设直线方程为，
于是，，
故 ， ，
联立解得或 或 或
所以直线方程有条，分别为或或或．
故答案为：或或或任选一个答案均可．

15.【答案】 

【解析】

解：设，则，，，
则切线的方程为，
切线的方程为，
可得、都在直线上，
即，
，
令，解得
故直线过定点．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

解：抛物线：
焦点为，准线，
则直线过抛物线的焦点，
当时，，则；
当时，如图，
过作轴于，设抛物线的准线交轴于，
则，
得，
则，
同理可得，
，
化圆：为，则圆的圆心为，半径为，


，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故答案为：．

17.【答案】解：由，，知为等差数列，公差为，
设首项为，由，，
得，
解得或，
因为，所以，
故．
当时，，
，
所以当时，有最大值，无最小值． 

18.【答案】解：当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，故方程为；
当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，
所以设所求直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以所求直线方程为；
综上，满足条件的直线方程为或；
因为的顶点，，直线的斜率为，
所以直线方程为，直线的倾斜角为，
根据题意，当点位于直线下方时，，设此时其角平分线为，
则角平分线的倾斜角为，其斜率为，
所以角平分线方程为，
即；
当点位于直线上方时，，
设此时其角平分线为，则角平分线的倾斜角为，其斜率为，
所以角平分线方程为，即；
所以角的角平分线所在直线的一般式方程为或． 

19.【答案】解：抛物线的焦点，准线方程为，
直线的方程为，联立方程，可得，
则，，
由抛物线的定义可知，
设直线的方程为：，
令，可得，
设直线的方程为：，联立方程，化为，
，，
，
直线平行于轴，
即直线平行于抛物线的对称轴． 

20.【答案】解：因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，
所以，，
设，，的中点，

，
，
则椭圆的方程：；
假设存在、两点关于对称，设直线的方程为，
，，中点，
，
，
，，即，
由在上，，此时，
故存在、两点关于对称，直线的方程为． 

21.【答案】解：设双曲线的方程为，
将，代入上式得：，解得，
所以双曲线的方程为；
设，，
由题意易得直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入整理得，
，
，，且，
则

，
故为定值． 

22.【答案】解：，为线段中点，
，设，则，
即，
则曲线是以坐标原点为圆心，为半径的圆；
根据题意，直线的斜率存在且不为，设斜率为，
则直线方程为代入中，整理得，
故，，即，
因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，则，
根据对称性可知，直线所过定点在轴上，
不妨令，得，
此时，即过，
则，所以过定点，
连接，则在中，取的中点，则．
故存在定点，使得为定值，此定值为．