江苏省海安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份江苏省海安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届高三年级阶段测试（二）
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．i为虚数单位，则满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．28 B． C．56 D．
4．设D为△ABC所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列．若p：数列是等比数列；q：
，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．关于函数其中，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0； 丁：方程有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．设常数a使方程在区间上恰有五个解，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，
同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
10．已知实数a，b，c，满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三
角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，
则（ ）
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数．不论a为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_________．
14．已知函数．若存在a，b，使得f (x)在区间的最小值为且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为_________．
15．在数列中，．数列满足．若，
，则数列的前2022项和为_________．
16．已知椭圆C：的右焦点为．经过原点O且斜率的直线与椭圆C交于A，B两点，的中点为M，的中点为N．若，则椭圆C的离心率e的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，且满足a1+a3=2q+1，S3=3a2+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn =求数列{bn}的前2n项和T2n．


18．（本小题满分12分）
在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有10k（k∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若k=5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X，采取“10合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．



19．（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，D为边BC上一点，若 =．
（1）证明：（i）AD平分∠BAC，
（ii）AD2=AB∙AC-DB∙DC；
（2）若(1+sinB)sin∠BAC=cosB(1+cos∠BAC)，求的最大值．

20．（本小题满分12分）
在一张纸上有一圆C：(x+)2+y2=4，定点M(,0)，折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T．
（1）求证：||TC| -|TM||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；
（2）设A(-1,0)，M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2=1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2=-k1．求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．


21．（本小题满分12分）
已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示，若AB= DG=2，CF=3，∠BAD=．
（1）求点D到平面BFG的距离；
（2）求锐二面角A－EC－B的余弦值．

22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2xlnx，g(x)= x2+ax-1，a∈R．
（1）若F(x)= g(x)-f(x)在[1, +∞)存在极小值点，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)= |f(x)|-2a有3个零点x1，x2，x3(x1 （i） x3>；
（ii）>．

一、单项选择题．
1．C 2．D 3．B 4．A
5．A 6．B 7．C 8． A
二、多项选择题．
9．BC 10．AC 11．ABD 12．ACD
三、填空题．
13． 14．，或，
15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为a1+a3=2q+1，S3=3a2+1，所以a1=1，q=2，
所以an =2n-1；
（2）因为 bn =
n为偶数时，bn === -
所以T2n=a2- a1+b2+ a4- a3+b4+…+a2n- a2n-1+b2n
=( a1+ a3+ … + a2n-1)
+( -+ -+…+ -)
=1- + ．
18．解：（1）对50个人采取“10合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，因为共检测15次，即2个感染者分在同一组；只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从49人中任选9人与他组成一组，求选到的9人中有另一位感染者的概率，此概率为=；
（2）若2个感染者分在同一组，则X=2k+5，P==，Y=k+10，P==，
若2个感染者分在不同小组，则X=2k+10，P=1- ，Y=k+40，P=1- ，
E(X) = 2k+10- ，E(Y) = k+20- ，
令E(X)> E(Y)，所以2k+10- > k+20- ，则10k2-101k+80>0（k∈N*），
所以k≥10，
综上，当k≥10时，采取“10合1检测法”更适宜．
19．解：（1）（i）设∠BAD＝α，∠CAD＝β，
在△ABD中，由正弦定理得，=①，
在△ACD中，由正弦定理得，=②
因为=，sin∠ADB=sin∠ADC，
所以sina=sinb，又因为0＜α、β＜，
所以a=b，所以AD平分∠BAC，
（i）因为cos∠ADB=cos∠ADC，所以=
所以AD2=AB2+ BD2-(AB2+ BC2-AC2)= AB2+AC2-BD(BC-BD)
因为=，
所以AD2= AB2+ AC2-BD∙DC
= AB∙AC (+)-BD∙DC
= AB∙AC-DB∙DC；
（2）因为(1+sinB)sin∠BAC=cosB(1+cos∠BAC)，
所以=，
所以tanα=tan，
所以A+B=．
所以的最大值为．
20．解：（1）证明：如图，由点M1与M关于PQ对称，则|M1T| = |TM|，
所以||TC| - |TM||=||TC| - |TM1||=|CM1|=2，故为定值．
由||TC| - |TM1||=2<|CM|=2，由双曲线定义知，点的轨迹为以C(-,0)，M(,0)为焦点，实轴长为2的双曲线，
设双曲线C′方程为：- =1（a>0，b>0），
所以a=1，c=，b2=c2-a2=4，
所以双曲线方程为x2-=1；
（2）因为A(-1,0)，所以设直线AM的方程为x=m1y-1，直线AN的方程为x=m2y-1，
联立方程组整理得(4m12-1)y2-8m1y=0，解得y=0或y=，所以M(,)，
联立方程组整理得(m22+1)y2-2m2y=0，解得y=0或y=，N(,)，因为k2=-k1，所以m2=-4m1，
所以N(,)，
所以kMN==4m1，
所以直线MN的方程为y-=4m1(x -)，
即y=4m1x -4m1 y=4m1(x -1)4m1，此时直线过定点(1,0)，
即直线MN恒过定点(1,0).
21．解：（1）设D到平面BFG的距离为d，连接BD，交AC于点O，
在直四棱柱中
所以GD⊥底面ABCD，又AC⊆平面ABCD，所以GD⊥AC，GD⊥BD，
同理FC⊥AC，BE⊥底面ABCD，
CF∥GD，GD⊆平面BGD，CF⊈平面BGD，所以CF∥平面BGD，
所以F到平面BDG的距离为=C到平面BDG的距离，
菱形ABCD中，BD⊥AC，所以V三棱锥D－BFG=S△BFG∙d=V三棱锥F－BDG=S△BDG∙OC，
因为AB= DG=2，CF=3，∠BAD=，菱形ABCD中，
所以BD=2，OC=，S△BDG =2，
Rt△BDG中，BG=2，Rt△BCF中，BF=，直角梯形CDGF中，GF=，
所以BG2+ FG2= BF2，所以∠BGF=，所以S△BFG =
所以d=，所以D到平面BFG的距离为．
（2）因为平面ABE∥平面CFGD，平面AEFG∩平面ABE=AE，
平面AEFG∩平面CFGD=GF，
所以FG∥AE，
同理AG∥BF，
所以四边形AEFG为平行四边形，
在平面ACF内作Oz∥CF，又因为CF⊥AC，CF⊥BD，所以Oz⊥AC，Oz⊥BD，
所以Oz⊥底面ABCD，又菱形ABCD中，BD⊥AC，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O－xyz，
则A(,0,0)，B(0,1,0)，C (-,0,0)，G(0,-1,2)，F(-,0,3)，
=+=+=(0,1,1)，=(,1,1)，=(,1,0)，
设平面BCE的法向量为m=(x,y,z)，
则m∙=0，m∙=0，则得其中一个m=(1,-,0)，
由（1）知BG⊥GF，FG∥AE，所以BG⊥AE，又BG⊥AC，所以BG⊥平面ACE，
所以平面ACE的一个法向量为m==(0,-2,2)，
所以cos=，
所以锐二面角A－EC－B的余弦值为．

22．解：（1）F(x)= g(x)-f(x)= x2+ax-1-2xlnx，F′(x)=2x+a-2-2lnx，
F′′(x)=2-≥0在，恒成立，F′(x)在[1, +∞)，单调递增，又F′(1)=a，
所以a≥0时，F(x)在[1, +∞)单调递增，F(x)=在[1, +∞)不存在极小值点，
a<0时，F′(1)<0，F′(x) =2x+a-2-2lnx>2x+a-2-2，令2x+a-2-2>0，>>1，
令t=()2，所以存在x0∈(1,t)，F′(x0) =0，且F(x)在(1, x0)单调递减，F(x)在( x0,t)单调递增，F(x)在[1, +∞)存在极小值点x0．
（2）（i）f(x)=2xlnx，令G(x)=xlnx，G′(x)=1+lnx=0，x=，G(x)在(0,)单调递减，G(x)在(, +∞)单调递增，G(x)min= - ，h(x)= |f(x)|-2a有3个不同的零点x1，x2，x3(x1 由（1）知a≥0时，当x≥1时，xlnx≤，所以x3lnx3=a≤，令=a，
x=，所以x3>；
（ii）同（i）知|G(x)|-a=0有3个不同的零点x1，x2，x3(x1 所以>．