2021-2022学年江苏省泰州中学高二上学期第二次质量检测数学试题含解析

2021-2022学年江苏省泰州中学高二上学期第二次质量检测数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线斜率得倾斜角．

【详解】由方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．

故选：A．

2．以，为直径的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】圆心为中点，半径为，即可求出圆的标准方程，转化为一般方程即可.

【详解】中点为，

，

所以以，为直径的圆的圆心为，半径为，

所以圆的标准方程为，

整理得：，

所以以，为直径的圆的方程为，

故选：A

3．已知双曲线 的焦距为10 ， 则双曲线的浙近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到，再求渐近线方程即可.

【详解】因为双曲线 的焦距为10，

所以，即，

所以渐近线方程为.

故选：C

4．在正项等比数列中，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知应用等比中项求，再由即可得.

【详解】由题意得，

，而，

，

．

故选：B

5．已知为等差数列的前项和，若，，，则（        ）

A．12 B．18 C．24 D．30

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式求得，再由建立方程，求解即可.

【详解】解：由条件得，解得，，解得：，

故选：C.

6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意知直线过圆的圆心，即，再由表示直线上的点到点的距离求解.

【详解】因为直线始终平分圆的周长，

所以直线过圆的圆心，

则，

因为表示直线上的点到点的距离，

则的最小值为点到直线的距离，

即，

所以的最小值为，

故选：A

7．已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（       ）

A． B．4 C．5 D．4或5

【答案】D

【分析】设，由题意得到，设直线AB方程为，联立方程组得到，根据均为抛物线上的点，得到，两式相加得出关于的方程，求得的值，结合焦点弦的性质，即可求解.

【详解】设，

因为中点坐标为，可得，，

因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，

联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，

因为均为抛物线上的点，可得，

两式相加得，

即，解得或，

因为，可得或.

故选：D.

8．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项和，若，则的值为（       ）

A．9 B．11 C．12 D．14

【答案】B

【分析】根据生成数列的定义，先求出，然后分为偶数和奇数讨论即可求解.

【详解】解：由题意可知，当为偶数时，可得，则；

当为奇数时，可得，则，

所以，

则当为偶数时，，

则，因为，所以无解；

当为奇数时，，所以，

因为，所以，

故选：B.

二、多选题

9．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（       ）

A．

B．

C．当或时，取得最大值

D．当时，的最大值为21

【答案】BC

【分析】由等比中项的性质和等差数列的通项公式可求得，再运用等差数列的求和公式求得，再逐一判断可得选项.

【详解】解：由，即，，得：，

又，解得，所以B正确；

，所以A不正确；

，

，当或11时，最大，所以C正确；

时，即，解得，所以时的最大值为20，

所以D不正确，

故选：BC.

10．以下四个命题表述正确的是（       ）

A．直线恒过点（-3，-3）

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．圆与圆恰有三条公切线，则m=4

D．已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为

【答案】BCD

【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，，

，所以定点为，A错误.

B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确.

C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，

由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，，C选项正确.

D选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为，即，则所在直线方程为，.D选项正确.

故选：BCD

11．已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据数列特性结合等比数列的性质得，然后根据通项公式求出和，逐项分析便可得答案.

【详解】解：由题意得：

A选项：

，故A正确；

B选项：，故B正确；

D选项：，故D错误；

C选项：，故C正确．

故选：ABC

12．已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左､右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线的标准方程为

B．若直线与双曲线无交点，则

C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则

D．若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1

【答案】ACD

【分析】对A，根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点T建立方程组解出a,b，进而得到答案；

对B，结合双曲线的渐近线即可判断B；

对C，设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案；

对D，考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式，并代入双曲线方程，根据判别式为0得到间的关系，然后解出点M的坐标，求出和O到直线的距离，最后求出面积.

【详解】对于A选项，由题意，且，联立解得，所以双曲线的标准方程为，故A正确；

对于B选项，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，则，故B错误；

对于C选项，过点的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为.设，，联立得，所以解得且且，，，则，故C正确；

对于选项D，由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，当直线的斜率不存在时，：，，；当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线：，故由，从而，化简得.又因为双曲线的渐近线方程为，故由从而点.同理可得，，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积为定值1，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的选项D比较复杂，对于此类问题要注意两个方面：①设直线方程（斜截式结构简单）时一定要考虑直线的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面积，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高.

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【详解】分析：根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1），利用点斜式可得直线方程．

详解：∵f（x）=ex

∴f（1）=e且f′（x）=ex

根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=e

∴函数f（x）=ex在x=1处的切线方程是y﹣e=e（x﹣1），

即y=ex

故答案为y=ex．

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

14．已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线：2x-y-3=0上，则圆C的方程为_______________；

【答案】

【详解】设圆心，由可得，

解得，故圆的半径为，

故圆的方程为：，

故答案为：.

15．已知等比数列的前项和满足，则数列的前项和___________.

【答案】

【分析】当时，，当时，，解方程得与，从而求得等比数列的通项公式，结合错位相减法即可求出结果．

【详解】设等比数列的公比为，

当时，

当时，

解得

所以，

①

②

由①－②得

故

故答案为：

16．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.

【答案】

【分析】利用给定信息求出椭圆C的两个焦点坐标，再借助待定系数法计算作答.

【详解】依题意，抛物线的焦点为，又光的反射具有可逆性，

则由发出的平行于x轴的光线经过抛物线反射必过，再经过椭圆C反射经过，

因此，、为椭圆C的两个焦点，半焦距，而在椭圆C上，于是得，解得，

所以椭圆C的方程为.

故答案为：

四、解答题

17．求下列函数的导数.

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由导数的乘法法则即可得到答案；

（2）由导数的除法法则即可得到答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知点，圆.

(1)若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；

(2)设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.

（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.

(1)

解：由题意，圆，可得圆心，半径，

因为直线被圆C截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则，解得，即，

综上可得，所求直线的方程为或.

(2)

解：设点，

因为点，线段的中点为，可得，解得，

又因为在圆上，可得，即，

即点的轨迹方程为.

19．已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）先构建新数列，再求出并构建方程，最后求出即可.

（2）先整理为，再利用裂项相消法求即可.

【详解】（1）由题意，令，设数列的前项和为，则.

当时，；

当时，.

∴数列是常数列，即，

故，；

（2）由（1）知，，

∴

.

【点睛】本题考查由递推关系求通项，裂项相消法求前项和，是基础题.

20．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，两点，且，，（为坐标原点），记△，△的面积分别为，．

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线为，求的值；

(3)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)20

【分析】（1）由题设，结合抛物线定义有求参数p，即可写出抛物线方程.

（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理求得、关于t、n的表达式，再根据关于的关系式及向量数量积的坐标表示，列方程求参数n即可.

（3）由（1）（2）易得且，应用基本不等式求最小值即可，注意等号成立条件.

(1)

由抛物线方程知：其准线方程为，又抛物线上点到焦点的距离为3，

∴由抛物线定义知：，则，

∴抛物线的方程为.

(2)

联立直线与抛物线得：，易得，，

又，且，

综上，，即，

∴或，由上知：，则.

(3)

由（2）知：直线l与x轴交点为，且，则，

又，

∴，由且，则，当且仅当时等号成立.

∴最小值为20.

21．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米（）的森林.设为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（单位：万立方米）.

（1）请写出一个递推公式，表示，两者间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中r，k为常数；

（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）

参考数据：，，.

【答案】（1）；（2）；（3）19.

【分析】（1）根据题意得到，化简求解；

（2）将转化为，再与（1）的结果对比求解；

（3）由（2）得到，则数列是等比数列，求得其通项公式，再由求解.

【详解】（1）由题意，得，

.①

（2）将化成，②

比较①②的系数，得，

解得.

所以递推公式为.

（3）因为，且，

所以，

由（2）可知，

所以，

即数列是以为首项，为公比的等比数列，

其通项公式为，

所以.

2030年底的森林蓄积量为数列的第10项，

.

由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，

所以，即，

即.解得.

所以每年的砍伐量最大为19万立方米.

22．如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试探讨点的纵坐标是否为定值，若是求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）定值，且为3.

【分析】（1）根据条件可知，以及，列式求解；（2）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，得到直线和的直线方程，两式联立，利用根与系数的关系化简得，再求解.

【详解】（1）由题意可得，解得，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，.

易知点、，

直线的斜率为，直线的方程为，

直线的斜率为，直线的方程为，

由，可得，

其中，

，解得.

因此，点的纵坐标为定值3.

【点睛】思路点睛：定点，定值问题解决步骤：

（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

（2）韦达定理列出两根和及两根积；

（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.