2021-2022学年江苏省淮安市清浦中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省淮安市清浦中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．过点且与直线垂直的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.

【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，

所求直线的方程为，即，

故选：C．

2．已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（       ）

A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16

C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16

【答案】D

【分析】直接利用圆的标准方程求解即可．

【详解】解：由圆的标准方程得：

圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：

．

故选：．

3．圆的圆心到直线的距离为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得.

【详解】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，

所以圆心到直线的距离为.

故选：B

4．直线的倾斜角大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】设直线的倾斜角为大小为，

则，

因为，

所以，

故选：D

5．已知圆（）截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．外切 C．相交 D．相离

【答案】A

【分析】首先通过已知条件求得，然后根据两个圆的位置关系确定正确选项.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以，

所以.

圆的圆心为，半径，

，

所以两个圆的位置关系是内切.

故选：A

6．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据方程表示圆，以及点在圆外，列不等式即可求解.

【详解】因为表示圆，

所以，解得：，

若过点可以向圆引两条切线，

则点在圆外，

所以，解得，

所以的范围是，

故选：C.

7．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.

详解：因为直线与直线平行，

所以，又直线在轴上的截距为，

所以，解得，所以，

所以，故选A.

点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.

8．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点,且点在直线上,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程,继而求得,再代入直线,根据距离的几何意义求解即可.

【详解】由题,两圆的公共弦方程为,即,定点满足,即,故.

又点在直线上,故,即.故的轨迹为直线.又的几何意义为原点到点的距离的平方.

故最小值为,故的取值范围是.

故选：C

【点睛】本题主要考查了圆的公共弦方程与直线过定点的问题,同时也考查了利用几何意义求解最值的问题.属于中档题.

二、多选题

9．已知圆与圆无公共切线，则实数m的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】两圆无公切线等价于两圆内含，即两圆的圆心距小于半径差的绝对值.

【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．

因为两圆无公切线，所以两圆内含，

又两圆圆心距，

所以，

解得．

故选:BC．

10．若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成任何一封闭图形的的值．

【详解】①三条直线交于同一点，不能围成封闭图形，

由，得，得交点．

直线过点，可得，得；

②若直线与直线平行时，则，解得；

③若直线与直线平行时，则，解得.

综上所述：或或．

故选：ACD ．

11．直线经过点，且与圆相交，截得弦长为，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】设出直线的方程，结合勾股定理求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

【详解】圆心为原点，半径为，

依题意可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

所以或.

所以直线的方程为或，

即或.

故选：BD

12．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．圆与圆恰有三条公切线，则

D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点

【答案】BCD

【解析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】对于选项A：由可得：，

由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；

对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，

平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，

故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；

对于选项C：由可得，圆心，，

由 可得，

圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，

即，解得：，故选项C正确；

对于选项D：设点坐标为，所以，即，

因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，

所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，

整理可得：，与已知圆相减可得，

消去可得：即，由可得，

所以直线经过定点，故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：

（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.

（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：

.

三、双空题

13．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的半径为________，圆心到直线的距离是___________．

【答案】     1或5；    

【分析】（1）运用待定系数法求解圆的方程进而确定圆的半径；

（2）运用点到直线的距离公式计算即可得出答案.

【详解】（1）设圆的标准方程为，根据题意，或，且

时，，解得 或或

时，，此时方程无解

所以圆的半径为1或5；

（2）由（1）知，圆心坐标为（1，1）或（5，5）

根据点到直线的距离公式可得：

点（1，1）到直线的距离为：

点（5，5）到直线的距离为：

所以圆心到直线的距离为.

四、填空题

14．圆关于直线的对称圆的标准方程是___．

【答案】

【分析】化简圆的方程为标准方程，求得圆心坐标和半径，结合对称，求得圆心关于直线的对称点的坐标，进而求得对称圆的方程.

【详解】由题意，圆的方程可化为 ，所以圆心 ，半径为 ，

设圆心 关于直线 的对称点坐标为 ，

则，解得，即 ，

故对称圆的标准为 .

故答案为：.

15．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为________．

【答案】

【分析】由题意可知当直线l与过点的直径垂直时，弦AB最短，通过垂直关系即可求出结果.

【详解】直线l：过定点，圆C：的圆心C：，半径为，当直线l与直线垂直时，弦AB最短，此时，所以直线AB的斜率为，即，所以，故此时直线l的方程为，即，

故答案为：.

16．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．

【答案】.

【分析】设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.

【详解】设，，，

，

整理得，又点在直线，

直线与圆共公共点，

圆心到直线的距离，

即.

故答案为:.

【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

五、解答题

17．（1）已知直线与直线平行，求的值；

（2）已知直线与直线互相垂直，求的值．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件，列出方程，即可求解；

（2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由题意，直线与直线平行，

可得，解得，

当时，，，显然与不重合，此时，

所以.

（2）由题意，直线与直线垂直

可得，解得或，

即当直线时，或

18．已知点在圆上运动.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；

（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.

【详解】（1）由题意，点在圆上运动，

设，整理得，则表示点与点连线的斜率，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

又由，解得，所以

所以的最大值为.

（2）设，整理得，

则表示直线在轴上的截距，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

由，解得，所以

所以的最小值为.

19．已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为1，直线截圆所得的弦长为.

(1)求圆方程；

(2)若点的坐标为，求直线和的斜率；

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据圆的弦长满足的关系即可根据勾股定理求解，

（2）根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】（1）已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为1，直线截圆所得的弦长为，

设的内切圆的圆心，，圆心到直线的距离为，

又因为直线截圆所得的弦长为，所以，

解得，

所以圆方程；

（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，

则圆心到直线的距离，即直线与圆不相切，不符合题意；

同理当直线斜率不存在时，也不符合题意；

当直线和的斜率存在时，设过点的直线方程为，即

，

圆心到直线的距离，解得.

所以，直线的斜率为、直线的斜率为，

或直线的斜率为、直线的斜率为.

20．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.

（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.

【答案】（1），，；（2）

【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.

（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.

【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：

李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等

故

故

即

故

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为

（2）圆心关于的对称点为

则有，

解得

联立与，可得交点为

王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.

【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

21．已知圆过点，且与圆外切于点，过点作圆的两条切线、，切点为、．

(1)求圆的标准方程；

(2)试问直线是否恒过定点？若过定点，请求出定点坐标.

【答案】(1)

(2)直线恒过定点

【分析】（1）由题意可知圆的圆心在轴上，设圆的半径为，则圆心，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出圆的标准方程；

（2）求出以点为圆心，为半径长的圆，将视为圆与圆的公共弦，求出直线的方程为，解方程组可得出定点的坐标.

【详解】（1）解：由题意可知圆的圆心在轴上，设圆的半径为，则圆心，

圆的方程为，

因为圆过点，则，解得，

故圆的方程为.

（2）解：由题意可知，则、、、四点共圆，

，

以为圆心，为半径的圆的方程为，

即，

线段可视为圆与圆的公共弦，

将上述两圆方程作差，消去二次项可得，

由，解得.

因此，直线恒过定点.

22．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．

(1)求圆的方程；

(2)当时，求直线的方程．

(3)是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)或；

(3)定值，﹒

【分析】(1)设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；

(2)根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程；

(3)由直线过点，我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．

【详解】（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，

圆的方程为．

（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意

②当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

连接，则

，，

则由，得，直线．

故直线的方程为或

（3），

①当与轴垂直时，易得，则，又，

②当的斜率存在时，设直线的方程为，

则由，得，，则

综上所述，是定值，且．