四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题及答案

宁南中学2024届高二下期第二次月考

理科数学试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

2．已知复数，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（    ）

A．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

B．甲成绩比乙成绩更稳定

C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

5．已知函数，则（    ）

A． B． C．7 D．8

6．下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（    ）

①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心

②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱；

A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④

7．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

9．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．的展开式中项的系数为

A．30 B．35 C．20 D．25

11．若定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，若，则______ .

14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

15．如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．

16．已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是______.

三、解答题

17．为了解社区居民的业余活动，某社区对100名居民业余活动是参加文艺活动还是参加体育活动进行问卷调查，数据如下表所示：

(1)是否有99.9%的把握认为参加文艺活动还是体育活动与性别有关？

(2)用频率估计概率，从社区全体居民中随机抽取3人，记X是所抽3人中参加文艺活动的人数，求随机变量X的分布列与期望．

附：

18．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，．

（1）求与；

（2）设，数列的前项和记为，求．

19．△的内角A，B，C的对边分别为，，，若A，B，C成等差数列，且.

（1）求△的外接圆半径R；

（2）求的取值范围.（提示：）.

20．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，底面ABCD，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图．

(1)求证：平面PBD；

(2)求直线FH与平面PBC所成角的正弦值．

21．已知椭圆的长轴长为4，点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.

22．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

高二下期第二次月考理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13、              14、           15、10            16、e-2

三、解答题

17．(1)依题意，列联表如下，

所以，

所以有99.9%的把握认为参加文艺活动或体育活动与性别有关．

(2)依题意，居民中参加文艺活动的概率为，其中X服从二项分布，

所以，，

，．

其分布列如下：

所以．

18．解：（1）设正项等比数列的公比为()，

由解得，所以，．

（2）由（1）得，

所以，①

，②

①-②得，

所以．

19．（1）A,B,C成等数列，2B=A+C,又A+B+C=

，又，，.

（2），

，

，.

20．（1）证明：∵E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，∴，，

∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可证平面PBD，

∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，

∵平面EFG，∴平面PBD．

（2）∵平面ABCD，四边形ABCD为矩形，

以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，

，，，

设平面PBC的法向量为，则，

取，可得，∴，

所以，直线FH与平面PBC所成角的正弦值为．

21．（1）解：由题意得 ，

又点在上，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：设，的坐标为，，依题意得，

联立方程组消去，得.

，所以

，，

，

∵，所以，则，

所以.

22．（1）当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

（2），则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由（1）得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由（1）得当时，，，所以，

此时

存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.