2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接求并集得到答案.

【详解】集合，，则.

故选：C

2．命题“，”的否定形式是（    ）

A．， B．，或

C．， D．，或

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.

【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题“，”的否定形式是，或.

故选：D.

3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，即，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义．根据“狄利克雷函数”求得（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】根据“狄利克雷函数”的定义和分段函数的求解方法，判断变量是否为有理数求解.

【详解】根据“狄利克雷函数”的定义，知，，

则，

所以，

故选：C.

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：因为，且，

，故符合题意的只有A.

故选：A

5．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算函数的定义域为，再根据抽象函数定义域得到，解得答案.

【详解】，函数定义域满足，解得.

故函数的定义域满足：，解得.

故选：D.

6．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.

【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，

可知 ，且为的两根，且，

即，即 ，

所以，当且仅当时取等号，

故选:C.

7．已知实数a，b，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由等价于，再利用充分条件和必要条件定义判断.

【详解】解：因为等价于，

所以，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

8．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断函数在各区间的正负，考虑和两种情况，将不等式转化为的正负，计算得到答案.

【详解】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减，

且，故，

函数在和上满足，在和上满足.

，

当时，，即；当时，，即.

综上所述：.

故选：A

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项检验即可求出结果.

【详解】因为，不等式两边同时乘以可得：，故选项A正确；

因为，所以，不等式两边同时乘以可得：，故选项B正确；

因为，所以，故选项C正确；

因为且，不等式的两边同时乘以可得：，故选项D错误；

故选：.

10．下列函数中最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，，故A不符题意；

对于B，，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为2，故B符合题意；

对于C，，

当且仅当，即时取等号，

又因为，所以，故C不符题意；

对于D，，

当时，函数取得最小值2，故D符合题意.

故选：BD.

11．具有性质的函数，我们称为满足变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题目的给出的新定义依次判断每个选项得到AB正确，C错误，再根据定义域分三种情况判断得到D正确，得到答案.

【详解】，则，A正确；

，则，B正确；

，则，C不正确；

当时，，，故；

当时，，，满足；

当时，，，，故D正确.

故选：ABD.

12．已知，若定义域为R的满足为奇函数，且对任意，，均有．则（    ）

A．的图象关于点对称

B．在R上单调递增

C．

D．关于x的不等式的解集为

【答案】BD

【分析】根据为奇函数其图象关于原点对称，可得的图象关于对称可判断A；

对于B，根据函数单调性定义和奇偶性可判断B；根据可得关于对称可判断C；利用转化为求，利用在R上单调递增、可判断D.

【详解】对于A，因为为奇函数，则其图象关于原点对称，将其图象向右平移2个单位可得的图象，所以的图象关于对称，故A错误；

对于B，对任意，，均有，

所以时，，或者时，，

即在上单调递增，因为的图象关于对称，所以在上单调递增，因为定义域为R的为奇函数，所以，

所以在R上单调递增，故B正确；

对于C，因为，所以，即关于对称， 所以，故C错误；

对于D，因为，所以关于x的不等式，即求，因为在R上单调递增，，所以只需，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．集合，，则集合的子集个数为______．

【答案】4

【分析】解方程组，根据方程组的解的个数可得中元素的个数，即可得解.

【详解】解：联立，解得或，

所以集合中有2个元素，

所以集合的子集个数为个.

故答案为：4.

14．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．

①，，；②在其定义域内单调递减．

【答案】（不唯一）

【分析】利用一次函数的性质判断.

【详解】解：当时，，

所以，易知在R上递减，

故答案为：（不唯一）

15．已知是函数的一个零点，且，，则a的取值范围是______．

【答案】.

【分析】先根据零点求出，从而，转化为在上有解，参变分离后即在上有解，求出，从而得到的取值范围.

【详解】由题意得：，解得：，

故，

，，

即在上有解，

即在上有解，

因为，

所以当时，，

所以，

所以a的取值范围是.

故答案为：.

16．已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为______．

【答案】##

【分析】利用基本不等式可得当且仅当时有最大值，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值.

【详解】由，得，

所以，

其中，当且仅当即时取最小值2，

故，取得最大值，

此时，，

所以，

故当时，有最大值为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）代入得到，计算或，再计算交集和并集得到答案.

（2）将转换为，根据集合的包含关系转化为不等关系计算得到答案.

【详解】（1）当时，，，

故，

或，故.

（2），故，需满足，解得，即.

18．已知命题p：，，命题q：，．

(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；

(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案；

（2）结合（1），再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案.

【详解】（1）由题意命题p： ，，当时，，不合题意；

当时，命题p为真命题，则需满足，即；

（2）由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为；

命题q：，为真时，则，

当命题p真而命题q假时，且，故；

当命题p假而命题q真时，且，故；

当命题p和命题q都真时，且，则，

故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或.

19．在①使“”是“”的充分不必要条件，②使“”是“”的必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

定义在R上的函数满足：对任意的，有，．集合．

请写出一个非空集合B，______．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】若选①，B可以为；若选②，B可以为；（答案不唯一）

【分析】由题意确定函数的单调性，结合，解不等式，求得集合A；

若选①，则,可写出一个非空集合B；若选②，则,可写出一个非空集合B；

【详解】由题意可知定义在R上的函数满足：对任意的，有，

则为单调递增函数，令函数，则该函数也单调递增，

由，因为，则，

故的解集为 ，则；

若选①，则,故B可以为；

若选②，则,故B可以为；

20．已知是定义在R上的偶函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)用定义法证明在上单调递增；

(3)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）当时，，利用函数的奇偶性代入函数表达式解得答案.

（2）设，计算，判断正负得到证明.

（3）根据函数的奇偶性和单调性将不等式化简为，平方，计算得到答案.

【详解】（1）当时，，则.

故当时，.

（2）设，则，

，，故，即，

函数在上单调递增.

（3）函数为偶函数，在上单调递增，故在上单调递减，

，故，平方得到，不等式的解集为.

21．在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为，制动距离为d．已知和d的大小取决于制动时汽车时速v（单位： ）和汽车的类型，且，（k为汽车刹车时的对应参数）假设第一阶段和第二阶段汽车均以时速v作匀速直线运动，取，．

(1)已知某汽车刹车时的对应参数，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离；

(2)若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由题意求出第三阶段汽车的制动时速以及制动距离，即可求得答案；

（2）由题意列出不等式，结合参数范围，即可求得答案.

【详解】（1）由题意可知汽车开始制动至完全停止，制动时间，

故制动时汽车时速，则制动距离，

故司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离为.

（2）由题意可得，即 ，

因为，故 ，

故，即 ，即得，

即汽车在该条道路的行驶速度应该限速为.

22．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．

(1)求的解析式；

(2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）利用奇偶性的定义列方程组求解即可；

（2）当时可得，对任意的，恒成立，利用一元二次函数判别式求的关系即可.

【详解】（1）因为为奇函数，

所以，即，

因为为偶函数，所以，即，

解得，所以的解析式为．

（2）由题可得，

令，则，故．

对任意的，，即恒成立，

所以且，

所以，此时，

所以，

当，，时，等号成立，

此时成立，

所以的最大值为．