2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高二上学期期中考试数学试题含答案

  高二期中考试数学试卷

一、选择题

1. 已知点,则（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】由点的坐标,即可得出向量坐标

【详解】由点,,则

故选：C

2. 两平行直线与之间的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】两平行直线与之间的距离．

故选：B

3. 圆与直线的位置关系是（    ）

A. 相交 B. 相切 

C. 相离 D. 不能确定

答案：

A

解析：

【分析】运用几何法与的关系判断圆与直线位置关系即可.

【详解】圆的圆心为,半径为,

所以圆心到直线的距离,

所以直线与圆的位置关系为相交.

故选：A.

4. 直线关于轴对称的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】利用对称性质可得原直线上的点关于轴的对称点,代入对称点,即可得到答案.

【详解】设点是所求直线上任意一点,则关于轴的对称点为,且在直线上,代入可得,即.

故选：C.

5. 如图,在四面体中,是的中点,设,,,则（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】根据三角形法则先求得向量、,进而求得．

【详解】,

,

．

故选：B．

6. 已知向量,则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】向量在向量上的投影为,投影向量为,其中为与同向的单位向量,分别计算,代入即可.

【详解】因为,所以.

向量在向量上的投影为

设为与同向的单位向量,则

向量在向量上的投影向量为

故选：C

7. 已知圆：（）,直线：．若对任意实数,圆上到直线的距离为的点有个,则的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】设直线过定点,根据圆到直线的距离最大为求解即可．

【详解】设直线过定点,

不论取何值,到直线最远的距离始终为,

,

解得．

故选：D．

8. 如图,在长方体中,点分别在棱上,且.若,则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,

由得,结合向量法的坐标表示可得,讨论、求的最小值即可

【详解】以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则.

设,则.

因,所以,即,化简得.

当时,显然不符合题意. 故,当且仅当时,等号成立. 故的最小值为.

故选：C

二、多选题

9. 如图,设直线的斜率分别为,,,则（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

B、C、D

解析：

【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角,再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小,得出答案.

【详解】由图可知直线的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角,

所以

又直线m最陡峭,则,

所以,,．故选项BCD正确.

故选：BCD

10. 已知圆：,圆：,下列直线中,与圆,都相切的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

答案：

A、C、D

解析：

【分析】根据两圆相切求得公切线方程即可．

【详解】、,

,

∴ 两圆相切,

的中点坐标为,,

所以内公切线方程为,

整理得．

设外公切线方程为,

到外公切线的距离为,

解得或,

∴ 外公切线方程为或．

故选：ACD．

11. 如图,在正四棱柱中,,为四边形对角线的交点,下列结论正确的是（    ）

A. 点到侧棱的距离相等 B. 正四棱柱外接球的体积为

C. 若,则平面 D. 点到平面的距离为

答案：

B、D

解析：

【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径,以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.

【详解】对于A,到侧棱的距离等于,

到侧棱的距离相等且等于,故A错误；

对于B,设正四棱柱外接球的直径为,则有,

即,所以外接球的体积等于,故B正确；

对于C,建立空间直角坐标系,如图,

则,

因为,所以,

所以,,,

所以,所以与平面不垂直,故C错误；

对于D,由以上知,设平面的法向量为,

则有,,

,即,令则,

所以,

因为,所以点到平面的距离为,故D正确.

故选:BD.

12. 已知曲线：,则（    ）

A. 曲线围成的面积为

B. 曲线截直线所得弦的弦长为

C. 曲线上的点到点的距离的最大值为

D. 曲线上的点到直线的距离的最大值为

答案：

A、B、D

解析：

【分析】对于A选项,通过分类讨论去掉绝对值后,可画出曲线图形,后可得面积

对于B选项,由图可得答案.

对于C选项,设点E到点P距离最大,由图形对称性知这样点有两个,设E在二象限,利用圆外一点到圆上距离最大距离相关知识点可解决问题.

对于D选项,由图可知相关点在第一象限,利用直线到圆上距离最大值相关知识解决问题。

【详解】当,时,曲线：；当,时,曲线：；当,时,曲线：；当,时,曲线：.画出曲线,如图所示.

对于A选项,曲线围成的面积如图可分割为一边长为的正方形和四个半径为的半圆,得曲线围成的面积为,故A正确.

对于B选项,由图可得曲线截直线所得弦的弦长为间距离.

则长度为,故B正确.

对于C选项,设点到点距离最大,由图形对称性知这样的点有两个,设在第二象限,

设其坐标为,则该点坐标满足方程.其中.

则问题相当于是从上找一点,使最大.

设圆心为.

由图可知,当且仅当三点共线时,最大.

此时,故C错误.

对于D选项,设点到直线距离最大,由图可得点在第一象限,

设为,则该点坐标满足方程.其中

则问题相当于从上找一点,使到直线距离最大.设圆心为.

由图,当且仅当与直线垂直时距离最大,设为到直线距离,则此时.故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13. 若点关于原点的对称点为,则___________.

答案：

解析：

【分析】由空间中两点距离公式求得,再由对称性得即可.

【详解】因原点,所以,

故由对称性得.

故答案为：.

14. 已知圆和圆的半径都为,圆心分别为,写出一个与圆和圆都相切的圆的方程：__________.

答案：

（或或）

解析：

【分析】圆和圆外切,所以与圆和圆均相切的圆有两种情况,外切或内切,本题为开放性试题,所以可以假设圆半径,根据相切的关系式求出圆的圆心即可

【详解】与圆和圆都相切的圆如图所示,圆与圆和圆外切时,假设圆半径为,设圆方程为,则 ,解得：或,所以圆方程为：或.

圆和圆内切于圆时,假设圆半径为,设圆方程为,则 ,解得：,所以圆方程为：

故答案为：（或或

）,本试题为开放性试题,其他符合要求方程也可以

15. 坐标原点到直线的距离的取值范围是___________.

答案：

解析：

【分析】根据求出恒过定点,由于直线的斜率为满足.按住定点慢慢旋转直线即可求解.

【详解】由题知：,

直线恒过点,

且直线的斜率满足.如图所示,

当直线的斜率为时,

坐标原点到直线的距离最大,最大值为；

当直线的斜率趋于时,

坐标原点到直线的距离趋近.

即原点到直线的距离的取值范围为.

故答案为：

16. 如图,将正三角形绕旋转到三角形的位置,当二面角的大小在时,直线与直线所成角的余弦值的取值范围为________．

答案：

解析：

【分析】抓住分别用和表示,从而建立与之间的关系,进而求解可得．

【详解】取中点,连接,,,

则为二面角的平面角,

面,

过点作,过点作,,连接,

则面,四边形为菱形,

如下图

直线与直线所成角即为与所成角,设为,

设正三角形边长为,

则,

在中,

,

在中,

,

在中,由余弦定理得

,

,

即,

整理得,

,

,

,

又,

∴直线与直线所成角的余弦值为．

故答案为：．

四、解答题

17. 已知直线：,直线：．

（1）若,求实数的值；

（2）若,求实数的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据直线平行的条件列式计算即可,平行时要排除重合的情况；

（2）根据直线垂直的条件列式计算即可．

【详解】(1),

,

整理得,

解得或,

当时,与重合,舍去,

故．

(2),

,

,

或．

18. 已知,圆.

（1）将圆的方程化为标准方程；

（2）若圆半径为,且圆与圆外切,求的值.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）对圆的方程配方变形可得其标准方程；

（2）根据题意可得,求出,可求出圆的圆心和半径,再由两圆外切列方程可求出的值.

【详解】(1)由,得,

所以圆的标准方程为.

(2)因为,,所以,所以.

因为,所以,

解得或.

19. 已知空间三点．

（1）若点（异于点）在直线上,且,求点的坐标；

（2）求的面积．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据与列式计算即可求得；

（2）先求得、,再根据三角形面积公式可求得．

【详解】(1)设,

∵ 点（异于点）在直线上,

∴,

则,

,

,

,

,

,

,

,

(2)由（1）知,

,

,

．

20. 如图,在长方体中,底面是边长为的正方形,,,分别是,的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）取的中点,连接,,由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形,则,再由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求解.

【详解】(1)证明：取的中点,连接,,

∵,分别是,的中点,

∴,

∵底面是矩形,是的中点,

∴,

∴四边形是平行四边形,

∴,

∵平面,平面,

∴平面.

(2)以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,

,

设平面的法向量为,

则,

令,得.

取平面的一个法向量.

设平面与平面的夹角为,由图可知为锐角,

则

故平面与平面夹角的余弦值为.

21. 已知圆,直线过点.

（1）若直线与圆相切,求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于、两点,求面积的最大值,并求此时直线的斜率.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论,在直线的斜率不存在时,直接验证直线与圆的位置关系；当直线直线的斜率存在时,设直线的方程为,利用圆心到直线的距离等于半径求出的值,综合可得出直线的方程；

（2）分析可知直线的斜率存在,设直线的方程为,计算出圆心到直线的距离为,利用勾股定理结合三角形的面积公式可求得面积的最大值及其对应的的值,可得出关于实数的方程,解之即可得解.

【详解】

(1)圆的圆心为,半径为.

当直线的斜率不存在时,直线的方程为,圆心到直线的距离为,

此时直线与圆相切,符合题意；

当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,

由题意知,圆心到直线的距离等于半径,

即,解得,可得直线的方程为,

当直线与圆相切时,直线的方程为或.

(2)若直线与圆相交,由（1）可知,直线的斜率必定存在,

设直线的方程为,即,

则圆心到直线的距离.

的面积为,

当时,面积的最大值为,

即,可得,解得,

故面积的最大值为,此时直线的斜率为.

22. 如图,菱形的边长为,,为的中点.将沿折起,使到达,连接,,得到四棱锥.

（1）证明：；

（2）当二面角在内变化时,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据线面垂直即可得线线垂直,

（2）建立空间直角坐标系,利用法向量与方向向量的夹角求解线面角,结合基本不等式即可求解最值.

【详解】(1)在菱形中,因为为的中点,,所以,

在翻折过程中,恒有,,

又,平面,所以平面,

而平面,所以.

(2)由（1）知为二面角的平面角,记其为,则,

以的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,

则，

,

设平面的法向量,则,得

令,得,

,则.

令,,得.

,

当且仅当时,等号成立.

设直线与平面所成角为,则

故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.